1.2集合间的基本关系（原卷版）.docx

1.2集合间的基本关系【知识点梳理】知识点一.集合与集合的关系（1）一般地，对于两个集合A，B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素, 我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为3的子集.记作：AB （或5 ? A）读作：A包含于次或B包含4）.（2）如果两个集合所含的元素完全相同（AqB目.BqA）,那么我们称这两个集合 相等.记作：A = B知识点诠释：（1）“ A是B的子集”的含义是：A的任何一个元素都是B的元素，即由任意的A, 能推出（2）当4不是8的子集时，我们记作（或读作：“ A不包含于8”（或 “3不包含4"）.知识点二.真子集若集合Ar B,存在元素xw 8目/任4,则称集合A是集合B的真子集。记作：人同（或同）读作：A真包含于8 （或8真包含A）知识点三.空集不含有任何元素的集合称为空集，记作：0.规定：空集是任何集合的子集。结论：（I） AqA.（类比（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。（3）若 Aq 氏 则 AqC （类比 工 c 则（4） 一般地，一个集合元素若为个，则其子集数为2个，其真子集数为2-1个，特 别地，空集的子集个数为1，真子集个数为0。【题型归纳目录】题型一：写出给定集合的子集、真子集以及个数问题题型二：韦恩图及其应用题型三：由集合间的关系求参数的范围题型四：集合间的基本关系题型五：判断两集合是否相等题型六：根据两集合相等求参数题型七：空集的性质【典型例题】题型一：写出给定集合的子集、真子集以及个数问题例1.（2022广东金山高一期中）已知集合村=2,犬,则A的真子集有 个；若leA,则工=.12例2. （2022安徽高一期中）设集合A= -g/V ,则集合A的子集个数x+3为例3. （2022天津静海高一阶段练习）已知集合M =3g2+2/1=0.（1）若历有两个子集，求利的取值范围；（2）若例中至多有两个子集，求川的取值范围.例4. （2022湖南高一课时练习）设V是由6的全体正约数组成的集合，写出V的所有 子集.例5. （2022内蒙古乌兰浩特高一期中）已知集合4 = 。+ 3,/+2,0,且3".（1）求实数。的值；（2）写出集合A的所有子集.例6. （2022全国高一课前预习）写出集合a, b, c）的所有子集，并指出哪些是它 的真子集？例7. （2022.全国高一课前预习）已知集合M满足123,4,5,求所有满足条件的集合M.【技巧总结】（分类讨论是写出所有子集的方法）1 .分类讨论是写出所有子集的有效方法，一般按集合中元素个数的多少来划分，遵循由 少到多的原则，做到不重不漏.2 .若集合A中有个元素，则集合A有2"个子集，有（2-1）个真子集，有（2"-1）个非 空子集，有（2"-2）个非空真子集，该结论可在选择题或填空题中直接使用.题型二：韦恩图及其应用例8. （2022上海高一专题练习）已知集合火R,则正确表示集合例=-1, 0, 1和N=x|/-x=0）关系的文氏图是（）D.例9. （2022.全国高一课时练习）已知集合。=123,4,5,6, A = 1,2,3,集合A与8的 关系如图所示，则集合B可能是（）A. 2,4,5B. 1,2,5C. 1,6D. 1,3例10. （2022全国高一课时练习）已知集合U、5、T、尸的关系如图所示，则下列关 系正确的是（）S£U：尸GT；SG。SG广；®SEF； ®FQU.A.8.C.D【技巧总结】（Venn图应用）Venn是集合的又一种表示方法，使用方便，表达直观，可迅速帮助我们分析问题、解 决问题，但它不能作为严密的数学工具使用.题型三：由集合间的关系求参数的范围例11.（2022.天津市红桥区教师发展中心高一期中）已知A = x|f = i, B 31.1 = ， 若则。的值为0A. 1 或一 1比 0或 1 或一IC. -ID. 1例12.（2022安徽宜城高一期中）己知集合人=国1。工1, B = a-<x<2a-t若3=A,则实数。的取值范围是（）A. a<B. a<C. 0<a<D. 0<a<例13. （2022江苏镇江高一期中）已知集合A = x|你,1, 8 = 2,0,若B=A,则 实数。的取值范围是例14. （2022广东化州市第三高一阶段练习）已知集合4 =国0<工44,集合3 = x|xM，若人口8,则实数。的取值范围是.例15. （2022,湖南永州市第二高一阶段练习）己知A = x|-i<x<5,5 = x|«-lw R若2w 3,求实数的取值范围（2）若5工人，求实数。的取值范围例16. （2022.安徽.泾县高一阶段练习）已知A = ；d /+4% =。,8 = 削 x2+2（a4-l）x+6/2-l = 0|.（1）若A是8的子集，求实数的值；（2）若3是A的子集，求实数的取值范围.例17. （2022重庆高一阶段练习）已知集合4=1,2,3.（I）若M是A的子集，且至少含有元素3,写出满足条件的所有集合M；（2）若8 =卜/-3 = 0,且BqA,求实数。的取值集合.例18.（2022全国高一课时练习）已知集合人=幻（ + 2b+1=0, R = xxeR,x<0 t 若求实数的取值范围.例19. （2022湖南高一课时练习）已知集合人=1,+4工=0,工4，B = x|x2+2（« + 1）x + «2-1=0,xg/?,若求实数的取值范围.【技巧总结】（根据集合之间关系，求参数的值或范围）1 .求解此类问题通常是借助于数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来， 以形定数，同时还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“二”用实心点表示，不含 用空心点表示.2 .涉及“4G/T或“共从 且生。”的问题，一定要分A=。和A"两种情况进行讨论，其中 A=。的情况容易被忽略，应引起足够的重视.题型四：集合间的基本关系例20. （2022.湖南高一课时练习）已知集合A = 中是平行四边形, 8 = 小是矩形,C = x|x是正方形,。= 琲丫是菱形,求集合A, 8, C , £>之间的关系.例21. （2022.湖南高一课时练习）判断下列每对集合之间的关系：（1） 4 = . x = 2k, k w N, B = y| y = 4m,in e N；（2）C = 1,2,3,4,。= 是 12的约数;（3）E = .v|x-3<2,xgN+,尸=1,2,3,4,5.例22. （2022全国高一课时练习）集合A = a|x = （2Z 1）兀,&eZ与8 = 目工=（4±1）兀,wZ之间的关系为（）A. AjBB. B<AC. A=BD.不确定例23. （2022新疆巴音郭楞高一期末）已知集合用二卜尸=4, N为自然数集，则下 列结论正确的是（）4. 2 = MB. 2GMe. -2eMD. M qN例24. （2022.河南南阳.高一阶段练习）若集合4 = 小= 2"l«wZ,B = Mx = 2 + l,&eZ, C = Xx = 4& + l"cZ则 a、B、C 的关系是（）A. CA = BB. A = C=8C. A = Be CD. = C【技巧总结】判断两个集合间的关系的关键在于：弄清两个集合的元素的构成，也就是 弄清楚集合是由哪些元素组成的.这就需要把较为抽象的集合具体化（如用列举法来表示集 合）、形象化（用住图，或数形集合表示）.题型五：判断两集合是否相等例25. （2022江西新余高一期末）下列集合与集合4=2022,1相等的是（）A. （1,2022*. （x,），）|x = 2O22,y = lC. xx2-2023%+2022 = 0D. （2022,1）例26. （2022全国高一）下列各组两个集合A和8表示同一集合的是（）A. A = 泪,8 = 3.14B. A = 2,3,8 = （2,3）C.4=1,6,兀, = 九1,卜A = .d-l<x<1,xeN,B = l（多选题）例27. （2022全国高一课时练习）（多选）下列选项中的两个集合相等的是 （）A.尸=卜|了 -3x + 2 =。, 0 = |>'|/-3>' + 2 = o|B. P = 2/z-1, /? g N*|, Q = 2n +1,n e N* |。二% 叶用”zD. P = x|y = x + 1, Q = g，）|y = x+1题型六：根据两集合相等求参数例28. （2022.甘肃.永昌县第一高级高一阶段练习）集合=+ 则。刈6+/。15的值为（）A. 08. IC. D. ±1例29. （2022全国高一课时练习）若/,0,-1 = 力,0,则（必）2的值为（）A. 08. IC. -ID. ±1例 30. （2022全国高一课时练习）集合 4 = 工一），.+），,个, 5 = x2 + y2,x2-/,0, 若A=8,则+丁=.例31. （2022江苏省海头高级高一阶段练习）含有3个实数的集合既可表示成卜,5】卜 又可表示成忖M+，（）,则"+从值=.例32. （2022全国高一课时练习）含有三个实数的集合可表示为也可表示为/, + /）,求/+户22的值.题型七：空集的性质例33. （2022.全国高一课时练习）在下面的写法中:0 00£0您0£0；0eO,曾送的写法的序号是.例34. （2019山东荷泽高一阶段练习）下列各式中:0 w0,l,2；0,1,2 = 2,1.0；0G0,1,2： 0 = 0；0,1 =（0,1）；0 = 0.正确的个数是（）A. B. 2C. 3D. 4（多选题）例35. （2022四川巴中高一期中）下列关系中正确的是（）A. 0UOB. Og0C 0,1 q 0,1。. （。 q （A。）（多选题）例36. （2022全国高一课时练习）下列关系式正确的为（）A.0 = 0 C. 0（=0 D. 0cO例37. （2022黑龙江大庆外国语高一阶段练习）己知集合=六网小2-24+1 = 0）, 在下列条件下分别求实数m的取值范围：（1）4 = 0;（2） A恰有一个元素.【同步练习】一、单选题1. （2022海南三亚市崖州区崖城高一期中）若斗=1,2,3,则（）A. AB. VAC. li AD. 0eA2. （2022安徽蚌埠高一阶段练习）若集合H g?+x + 1=（）的子集只有一个，则实 数”的取值情况是（）A.。= 0或a = 48. a = 4C. a> - D. 0<«<443. （2022江西南城县第二高一阶段练习）设.=。, y） |x+1|+（j-2）2=0, B=-1, 2, 则必有（）A. 4。AB. AU4C. A=BD. ACB=04. （2022河南高一阶段练习）已知集合4 = 1,3,», 4 = 1,而, BqA,则，=（）A. 98. 0 或 1C.。或 9/）.（）或 1 或 95. （2022湖北宜昌市夷陵高一阶段练习）若一个集合是另一个集合的子集，则称两个 集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素且互不为对方的子集，则称两个集合构成“蚕食”, 对于集合人=72, 5 = x|«x2=2,«>0,若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，贝壮的取 值集合为（）A.卜;,2卜.g2 c. 。,2。. ；,1,2 6. （2022安徽霍邱县第一高一阶段练习）已知集合4 = «"1,8 = -1,2M2,若4 = 3, 则4 +2的值为（）A. IB. 2C. 3D. 1 或37. （2022全国高一课时练习）已知集合4二加2-2.1-3 = 0, B = av-l = 0,若 3 =则实数的取值集合是（），一gJ c. .-一：,0,1 .I 3 J 3J 38. （2022宁夏青铜峡市宁朔高一阶段练习）若集合B = L|x = -1,/zezL C = x|x =4 + :，ez|,则 A, B, C 之间的关系是（） 2 32 6 JA. a = b = cb. a b=cc. a b cd. b c a二、多选题9. （2022广西高一阶段练习）已知集合加=斗？=4, N为自然数集，则下列结论正 确的是（）A. 2eMB. M =-2,2 c. 07Mo. M 三N10. （2022福建福州高一期中）已知集合加=2,4,集合MqN 1,2,3,4,5,则集 合N可以是（）A. 2,4处2,3,4C. 123,4 O. 1,2,3,4,511. （2022河北石家庄高一阶段练习）已知集合A = x|<k<2,B = x2a-3<x<a-2,下列说法正确的是（）A.不存在实数。使得A = 8B.当 =4时，八=8C.当时，D.存在实数“使得4aA12. （2022安徽省蚌埠第三高一开学考试）设集合则对 任意的整数，形如4,4+1,4+2,4+3的数中，是集合整中的元素的有A. 45. 4/1 +1 C. 4/7+2D. 4 + 3三、填空题13. （2022全国高一单元测试）若集合/,"/ = 123,4,且下列四个关系中有且只 有一个是正确的，则符合条件的有序数组（a,"c,d）的个数是.4 = 1；力wl；c = 2；dw4.14. （2022江苏高一）下列三个命题中若 A = 4r=2，£Z, B=xx=2 （- 1）, 仁Z,则 A=8；若 M-木=2-1, n£N, 8=小=2+1, £N,则 M=N；若。=397=0, Q=Mx=LddL, £Z,则。=O；2若P=小=2攵，&EZ, Q=xx=4k,女WZ,则尸GQ.其中真命题的是.15. （2022广东广州誉恩教育咨询高一期中）设。是实数，集合M=xx2+x-6 = 0, N = ），|a），+ 2 = 0,若 NqM ,则。的取值集合是.16. （2022.河北石家庄市第三十八高一阶段练习）已知集合用=1,234,5,6,集合 is?,，是集合M的含有两个元素的子集，且满足对任意的号=44,»a bSj =勺也（iw川，£1,2,3,A）都有max.今，才,wmax,蕾，1-,这里maxx,y表示两 ''JI J J ,个数X, y中的较大者，则A的最大值为.四、解答题17. （2022四川凉山高一期末）已知集合4 = 巾2+2+? = 0,是否存在这样的实数 加，使得集合A有且仅有两个子集？若存在，求出所有的?的值组成的集合M：若不存在, 请说明理由.18. （2022全国高一课时练习）已知集合M=x|-2WxW5.（l）若N = xM?+lWxK2Ll, NjM ,求实数？的取值范围；若N = Ml6KxK2? 1, MqN ,求实数l的取值范围.19. （2022上海浦东新高一期中）A = x|x2+4x = 0, 5 = x|x2+2（ + 1） + «2-1 = 0）.（1）若Aq",求实数"的值；（2）若4 U人，求实数，的取值范围.20. （2022河北石家庄市第三十八高一阶段练习）已知集合4 = x|a-I<x<2a+l,8 = x0cx< 1,（1）若A为空集，求实数。的取值范围；（2）若8是A的真子集，求实数。的取值范围.21. （2022全国高一课时练习）已知集合4 =卜,2+21-4 = 0.（1）若。是A的真子集，求的范围；若8 =卜产+工=0,且A是8的子集，求实数。的取值范围.22. （2022全国高一专题练习）设tN且23,有限集合加=卬生,，可,其中 0<a1 <a2< <.<an_i <an ,若对任意i、/ （ 1 KiK/K/?）,都有（勺-q）eM ,则称集合股 为“含差集合”.（1）分别判断集合4 = 。24和集合8 = 1,2,3是否是“含差集合”，并说明理由；（2）已知集合。=,4,%，%，%，集合。=*|1=履2，4£7,女44,若集合。是“含 差集合”，试判断集合C与集合。的关系，并加以证明.