专题2-2基本不等式（原卷版）.docx
专题2.2基本不等式知识点一基本不等式.基本不等式：如果。>。*>0,而工竺当且仅当=时，等号成立. 2其中数叫做正数出的算术平均数，疝叫做正数a,的几何平均数.2/1 X1 .变形： 2, a, b£R,当且仅当a=Z)时，等号成立.I 2 )+/?22疯，a, 都是正数，当且仅当=/?时，等号成立.知识点二用基本不等式求最值用基本不等式节?而求最值应注意：(I>v, i是正数.(2)如果盯等于定值P,那么当x=y时，和x+y有最小值25/F;如果x+v等于定值S,那么当x=y时，积盯有最大值,S?. 4(3)讨论等号成立的条件是否满足.知识点三基本不等式的两个变形A. -B. -C. D. 14241712 .若x>0, y>0 ,且一+二=1,则3x+y的最小值为（）x yA. 6B. 12C. 14D. 16.已知x, y>0且x + 2y =，q,则x + y的最小值为（）A. 3 + 2&B. 472C. 2y/2D. 6.已知正实数x, y满足2x+y = Ay,则x + 2），的最小值为（）A. 8B. 9C. 5D. 7.已知x>0, y>0,且4x+y =肛，则x+16），的最小值为（）A. 64B. 81C. 100D. 121.若正数a, 满足a + =则a + 2/?的最小值为（）A. 6B. 4>/2C. 3 + 2>/2D. 2 + 2>/2.设a>0, b>0 » - + - = 1 ,若不等式a +恒成立，则实数/"的取值范围是（）a bA. （-co, 8JB. （-8, 16C. （-co, 7D. 16, +8）.设a>0, >0, - + - = 2,则使得a + b.小恒成立，求机的取值范围是（）a b9A. （3,9）B. （0, 1C. （-00,-D. （-00, 8213 .已知x, ye/T且x+y = 4,则使不等式L + ±.?恒成立的实数机的取值范围为（79A. （2,+oo）B. （一8 , C. （3,+00）D. （-co ,44o 1.若x>0, y>0 ,且一+ = 1, x+2y >/+7”?恒成立，则实数？的取值范围是（A. 8</n< 1B, ？<一8或z>lC. /v1 或？>8 D. 1 </i<8.已知x>0, y>0且3x + 2y=10,则下列结论正确的是（）A. 0< y < 5C. C + y2的最小值为皆B.后+后的最大值为26D.9的最大值为支14 .已知。>0,方>0, 2a + b = ab,则下列结论正确的是（A. a +的最小值为3 + 2夜B. /+从的最小值为16C. g +5的最大值为亚D. /ga + lgb的最小值为31g223.设正实数满足。+。= 1,则下列结论正确的是（）A. L + J有最小值4B. 4而有最大值a b2C. & +乐有最大值&D. /+有最小值224 .设正实数小，满足利+ = 2,则下列说法正确的是（）A.'上的最小值为2B.，的最大值为1m nC.而十五的最大值为4D.>+2的最小值为425 .如图，计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园.设菜园的长为 x，宽为），.（1）若菜园面积为72,则一），为何值时，可使所用篱笆总长最小？17（2）若使用的篱笆总长度为30,求,+士的最小值.26 .经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量），（千辆/小时）与汽车的平均速度d （千米/小时）之间的函数关系为：尸、”（z>>0）.4+30+1600（I）在该时段内，当汽车的平均速度d为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（保 留分数形式）（2）若要求在该时段内车流量超过1。千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？27 .某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元，为了增加企业竞争力，决定优 化产业结构，调整出MxeN*）名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为 10（ -网）万元（。 0）,剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%.500（I）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调 整出多少名员工从事第三产业？（2）在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余与员工创造的年总 利润，则的取值范围是多少？28 . 2018年10月19日，由中国工信部、江西省政府联合主办的世界V7?（虚拟现实）产业 大会在南昌开幕，南昌在红谷滩新区建立VR特色小镇项目.现某厂商抓住商机在去年用450 万元购进一批作设备，经调试后今年投入使用，计划第一年维修、保养费用22万元，从第 二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该设备使用后，每年的总收入为 180万元，设使用1年后设备的盈利额为y万元.（1）写出），与x之间的函数关系式：（2）使用若干年后，当年平均盈利额达到最大值时，求该厂商的盈利额.4 + 丫)Nab（a,bsR ,当且仅当。=时取等号）;2."卜"之I - （a >0,/?>0 ,当且仅当。=时取等号）. 211一+ 一a b利用基本不等式求最值（1）拼凑法，拼凑法求解最值，其实质就是先通过代数式变形拼凑出和或积为常数的两项， 然后利用基本不等式求解最值.利用基本不等式求解最值时，要注意“一正、二定、三相等”， 尤其是要注意睑证等号成立的条件.（2）常数代换法，常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式 子，然后利用基本不等式求解最值.应用此种方法求解最值时，应把“1”的表达式与所求 最值的表达式相乘求积或相除求商.【例1】y = x + ±（r.l）的最小值为（）A. 2B. 3C. 4D. 5【变式训练1】函数/（x） = 5x +竺（x>0）的最小值为（）XA. 10B. 15C. 20D. 25【变式训练2若x>0,则函数/（x） = 2x +，的最小值是（）A. V2B. 2C. 2&D. 3&【变式训练3】已知x>0,则x + 2的最小值为（）XA. y/2B. 2C. 2V2D. 4【例2】函数），= x +L*>2）取最小值时X的值为（）x + 2A. 6B. 2C. GD. x/613一 47 - 4A.【变式训练1若。>1,则。+!有（）（7-1A.最小值为3B.最大值为3C.最小值为-1D.最大值为-1【变式训练2】函数），=A. 3x + !*>-2）的最小值为（）x+2B. 2C. 1D.0【变式训练3】函数），=A. 83x + ±（x）的最小值为（）3x-l 3B. 7C. 6D.5【例3】若“，力是两正实数，3 + 3 = 1,则 +的最小值是（ b a）A. 4GB. 85/3C. 7 + 473D.7 + 873【变式训练1若x>0,>,>0,且3=i,则3x+）的最小值为（）A. 12B. 6C. 14D.16【变式训练2】已知和）'都是正数，若x+y = 2,则_!_ +士的最小值为（）x y【变式训练3若x>0, 丁>。，且则3x+）'的最小值为（） x yA. 6B. 12C. 14D. 16【例4】已知x,且“+2），= 外,则"十丁的最小值为（）A. 3+2立B. 472C. 272D. 6【变式训练1】已知正实数X,）'满足2、+）'=冲，则% + 2），的最小值为（）A. 8B. 9C. 5D. 7【变式训练2】已知x>0, >，>0,且4x+）' = M',则x+0的最小值为（）A. 64B. 81C. 100D. 121【变式训练3】若正数“，满足"+力="，则 +给的最小值为（）A. 6B. 4夜C. 3 + 2&D. 2 + 2夜基本不等式与恒成立分离参数，转化为求代数式的最值问题.观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围.【例5】设。- + - = ,若不等式a + b.?恒成立，则实数，"的取值范围是（ a b）A. （-00, 8B. （一8 , 16C. （-oo, 7D. 16, 4-co）【变式训练1】设>0, ： + = 2,则使得a + ."恒成立，求机的取值范围是（）9A. （-oo,9）B. （0 , 11C. （-oo,jD. （-oo, 8【变式训练2】已知x,且x+y = 4,则使不等式_L + 恒成立的实数/的取值范围为（）79A. （2,-Foo）B. （-8 , C. （3,+co）D. （-oo ,44【变式训练3若x>0, >，>0,且2 + L1, ” + 2y>"+7?恒成立，则实数,的取值范 x y围是（）A. -8<m< B. /<-8或/%>1C. /<1 或/>8 D. I </?<8基本不等式综合 【例6】已知x>0, ）>°且3x + 2y = 10,则下列结论正确的是（）A. 0<y<5B.阮+后的最大值为C. 丁+的最小值为詈D.孙、的最大值为会【变式训练I】已知。2田=",则下列结论正确的是（）A. +的最小值为3 + 2夜B. /+的最小值为16C. A +的最大值为&D.松。+ /a的最小值为3/g2【变式训练2】设正实数。，力满足。+ 0 = 1,则下列结论正确的是（）A. L + _L有最小值4B.，石有最大值工a b2c. G+%有最大值&D. /+/有最小值2【变式训练3】设正实数/，满足?+ = 2,则下列说法正确的是（A. 上的最小值为2B.小的最大值为1m nC.而+6的最大值为4D.裙+2的最小值为*4不等式的证明(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步 的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”着“可知”，逐步推向“未知”. (2)注意事项：多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立;累加法是不等式证明中的一种常用方法, 证明不等式时注意使用；对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式 模型，再使用.【例7】己知。，3。均为正数，且血 =1,【变式训练I】已知。，b-,设工=疯，)，= /三叱，求证:【变式训练2】已知。>。，b>。，且 + = 1,求证：（i+l）（|+l）9. a b【变式训练3】解答下列各题.（1）设>0, /?>0 > a + b = 1,求证： I 1.8 ； a b ab（2）设且-恒成立，求实数小的取值范围.a-b b-c a-c基本不等式的实际应用应用基本不等式解决实际问题的步骤（1）认真审题，恰当选择变量（x或y）,并求其取值范围;用x或y表示要求最大（小）值的量z；（3）利用基本不等式，求出z的最大（小）值；（4）回到实际问题中去，写出实际问题的答案.【例8】如图，计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园.设菜园的 长为x,宽为y.（I）若菜园面积为72,则X,），为何值时，可使所用篱笆总长最小？（2）若使用的篱笆总长度为30,求2的最小值.【变式训练I】经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y （辆/小时）与汽车的平均速度D（千米/小时）之间的函数关系为：产，92°"_ t?+3u+1600（1）在该时段内，当汽车的平均速度u为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（保留分数形式）（2）若要求在该时段内车流量超过1（）千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？【变式训练2】某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元，为了增加企业竞争 力，决定优化产业结构，调整出MxwN.）名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年 创造利润为10（。-亮）万元（a> 0）,剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%.（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调 整出多少名员工从事第三产业？（2）在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余与员工创造的年总 利润，则a的取值范围是多少？【变式训练3】2018年10月19日，由中国工信部、江西省政府联合主办的世界1次（虚拟 现实）产业大会在南昌开幕，南昌在红谷滩新区建立城特色小镇项目.现某厂商抓住商机 在去年用450万元购进一批设备，经调试后今年投入使用，计划第一年维修、保养费用 22万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该设备使用后， 每年的总收入为180万元，设使用x年后设备的盈利额为y万元.（1）写出），与x之间的函数关系式；（2）使用若干年后，当年平均盈利额达到最大值时，求该厂商的盈利额.1.4），= x + （X.1）?的最小值为（）XA. 2B. 3C. 4D.52.on函数f (x) = 5x +(x > 0)的最小值为()XA. 10B. 15C. 20D.253.若x>0,则函数/(x) = 2x +，的最小值是()XA. V2B. 2C. 2&D.3拒4.己知x>0,则x +的最小值为()XA. x/2B. 2C. 25/2D.45.函数y = X + -IS (X > -2)取最小值时x的值为()x+2A. 6B. 2C. 5/3D.瓜6.若。1,则。+一有（）4 1A.最小值为3B.最大值为3C.最小值为-1D.最大值为-17.函数），= " +一"一2）的最小值为（）x + 2A. 3B. 2C. 1D.08.41函数y = 3x +(x>)的最小值为()3x-l3A. 8B.7 C.6D.59.若%是两正实数，3 + ± = 1,则。+的最小值是（）b aA. 4GB. 8x/3C. 7 + 46D.7 + 861013.若x>0, y>0 ,且一 + = 1,则3x+y的最小值为()x )'A. 12B. 6C. 14D.16111 4.已知x, y都是正数，若x+y = 2,则一+ 的最小值为（)
