教学案例课题线段的定比分点.docx
教学案例 课题：俵般的定砧分立教学目的：1.掌握线段的定比分点坐标公式及线段的中点坐标公式;2熟练运用线段的定比分点坐标公式及中点坐标公式：工理解点夕分有向线段 g 所成比4的含义；4明确点的位置及入范围的关系.教学重点：线段的定比分点和中点坐标公式的应用.教学难点：用线段的定比分点坐标公式解题时区分40还是4V 0授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：，向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.向量加法的三角形法则和平行四边形法则.差向量的意义：OA = a, OB = b,贝ijR4 = a-b即a-b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量.实数与向晟的积：实数人与向量2的积是一个向量，记作：入2(1) |入2| = | A |2|； (2)人0时入5与口方向相同：入0时入5与不方向相反；x =0 时 X 0 = 6.运算定律 入(口彳)=( ' 川2 ,(入+日)5=入2+口五，(a+b )= a + b5 .向量共线定理 向量月与非零向量)共线的充要条件是：有且只有一个非零实数入，使 b八G.6 .平面向量基本定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内 的任一向量5,有且只有一对实数入1,入2使5= A I, +入海2(1)我们把不共线向量e1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；由定理可将任一向量a在给出基底e .、e 2的条件下进行分解;基底给定时，分解形式惟一X., L是被唯一确定的数量.平面向量的坐标表示分别取与x轴、)，轴方向相同的两个单位向量i、/作为基底任作一个向量，由平面向 量基本定理知，有且只有一对实数x、y,使得。=力+9Act = (Ax, Ay),Act = (Ax, Ay),把(戈,y)叫做向量。的(直角)坐标，记作。= (x,y)其中x叫做。在x轴上的坐标，y叫做。在y轴上的坐标，特别地，i = (1,0), j = (0,1), 0 = (0,0).平面向量的坐标运算若4 =(2，), Z? = (x2,y2),则a + /? = (X +，)1 +%)，a-b = (xi -x2,y -y2),若 A*i，y)，B(x2,y2),则 48 = (%-%，月 一凹). a / b (E)的充要条件是、1丫2凶丫尸0二、讲解新课：1 .线段的定比分点及入Pl, P2是直线/上的两点，P是/上不同于P,P2的任一点，存在实数人，使 P、P-PP2 ，人叫做点P分6所成的比，有三种情况：5：。：二 5?« a 7入 >0(内分) (外分)<0 ( x <-1)(外分)入 <0 (-K x <0).定比分点坐标公式:若点P. (xby,),尸2(x“2),久为实数，且则点尸的坐标为),我们称】为点分PR所成的比.设6夕=入PR,点Pl, P, P2坐标为(x1,yi) (x,y)(X2,y2)，由向量的坐标运算P=(x-xby-yi) , PP2 =( x2-x, y2-y)*.* PP- PP2 * (x-xi,y-yi) = X ( xz-x,yz-y)X-X1 = A(x2 -x) y-y =一)')x + Zr2x + Zr21 + + 定比分点坐标公式（/1工一1）点p令p2P所成的比与点p分pg所成的比是两个不同的比，要注意方向.3点户的位置与义的范围的关系：当4>0时，耳不与短同向共线，这时称点尸为瓶的内分点.特别地，当几=I时，有肝=而，即点P是线段尸I之中点，其坐标为（> + M + %）2 '20当/IV0 （义工一1）时，尸与6反向共线，这时称点尸为6鸟的外分点.探究：若巴、尸2是直线/上的两点，点是/上不同于尸2的任意一点，则存在一个实数3使9=入 短，久叫做尸分有向线段胭所成的比.而且，当点P在线段H尸2上时，A>0；当点尸在线段已尸2或2尸I的延长线上时, A<0.对于上述内容，逆过来是否还成立呢？（1）若4>0,则点P为线段P的内分点；（2）若4V0,则点为线段尸尸？的外分点.一般来说，（1）是正确的，而却不一定正确是因为，当人=一1时，定比分点的坐标公式x = X + *2,和j = M +显然都无意义,也就是说，当a=1时，定比分1 + 21 + 4点不存在.由此可见，当点为线段。I的外分点时，应有4V0且人工一14 线段定比分点坐标公式的向量形式：在平面内任取一点。，设丽=a, OR, = b,由于麻=而一丽=而一a, PP2=OP2-OP = b-OP且有蔗=1屉，所以而-a一（"而）即可得OP这一结论在几何问题的证明过程中应注意应用.jX三、讲解范例：Y例1已知前1, 3）, 8（-2, 0）, C （2, 1 ）为三角形的三个顶点，£、风川分别是8C、 CA.1占上的点，满足 BL ： BC=CM： CA=NA ： AB= 1 ： 3 ,求£、风N三点的坐标.分析：所给线段长度的比，实为相应向量模的比，故可转换所给比值为点£、风N分向 量前、CA.而所成的比，由定比分点坐标公式求三个点的坐标.另外，要求£、风"的坐标，即求应、而、丽的坐标(这里。为坐标原点)，为 此，我们可借用定比分点的向量形式下面给出第二种解法.解：V A ( 1 , 3) , B (2 , 0 ) , C (2, 1 ),：.0A= ( 1 , 3), OB = (-2, 0 ) , OC = (2, 1 )又：BL：BC=CM： CA=AN：AB=1：3可得：£分在，3分元，川分丽所成的比均为/1=21 + 21 + 233OM =-OA-OC1?=-(1,3)+ -(2 , 1 )=1 + /11 + A331 *I 12A OL =OC +0B=- (2, 1)+一(-2,0)=33 3 I 2. 12ON =OB + OA=- (-2, 0 ) +- ( 1 , 3) = (0, 2 ) 1 + 21 + 2332 15 5:.L-)、A/(_,_)、N(0,2)为所求.3 33 3上述两种解题思路，各有特色，各有侧重，望同学们比较选择，灵活应用.例 2 已知三点力(0, 8), 4( 4 , 0),。( 5 , 3 ), 点 内分丽 的比为1 ： 3 , 点在/范边上，且使例应的面积是 4%面积的一半，求应'中点的坐标.分析：要求应'中点的坐标，只要求得点、£的坐标即可, 又由于点£'在比上，明族与仍。有公共顶点区所以它们的 面积表达式选定一公用角可建立比例关系求解.一 1 一 DB4解：由已知有则得;=上3AB3SII又3 = 一,而 S48E=- II - I 8E I sin/颂,MBC 221 .*Sabc=- AB BC sinZABC,且NDBE=/ABC 2Db'BE 1BE 2国悯=5'即行同"3BEBE又点E在边比上，所以 =2,点E分3c成比1=2由定比分点坐标公式有4+2x5 r-21 + 2，即 E(2,2),0 + 2x(3) =-z1 + 2又由0 + ix(-4)一1 + -38 A丁+ -3记线段班的中点为"(乂。，则1 + (-1) 1 x =22-2 + 6 .)，=- = 2四、课堂练习:1 .己知点4( 2 , - 3 ),点6 ( 4 , 1 ),延长/应到R使I AP I = 3 | P8 | ,求点户的坐标.解：因为点夕在力?上的延长线上，为A8的外分点，所以，AP = A PB, A<0,又根据I AP I = 3 | PB I ,可知人=- 3,由分点坐标公式易得尸点的坐标为(7, 3).2 .已知两点八(3, 2 ),尸2 (8, 3),求点尸(；，y)分月月所成的比4及，的 值.解：由线段的定比分点坐标公式得15X =1749 V =221 _ 3 + 2(-8)2 - 1 + 22 + 4x3 y =1 + 2五、小结六、课后作业:1已知点/1分有向线段的比为2,则在下列结论中错误的是()A点。分AB的比是-上 4点C分BA的比是-3312,C点。分AC的比是-D点力分的比是2372 已知两点尺(一1 , 6 )、尸2 ( 3, 0 ),点。(一§,，)分有向线段耳鸟所成的 比为3则A y的值为()1 - 84De8I - 481 - 4A8I - 43仍。的两个顶点4(3, 7)和以-2, 5),若47的中点在X轴上，比的中点在y轴上，则 顶点。的坐标是()M(2, -7)以-7, 2)C.(-3, -5)-3)4已知点力(乂 2), 8(5,2x)在同一条直线上，那么灯.5力比、的顶点小2, 3), (-4, -2)和重心6(2, -1),则。点坐标为. 6.已知"为1, _/ABC边AB上的一点，且S4AMe= S4abc、则.M分AB所成的比为.8-7已知点/1(-1,-4)、夕(5,2),线段力月上的三等分点依次为百、尸”求Pi、刀2点的坐标 以及东笈分胭所成的比，7 Q&过吊(1, 3)、P2 (7, 2 )的直线与一次函数)，= (/ + 的图象交于点只求夕分 月月所成的比值.9已知平行四边形八8c。一个顶点坐标为421)，一组后边48、C。的中点分别为M(3, 0)、 M-1，-2)，求平行四边形的各个顶点坐标.71参考答案：LD 9 3*A 42 或一 5.(8, -4) 6.-277/(1,-2), 2(3,0),月、8分万后所成的比儿、九分别为-28. - 9. ( 8 , - 1 ) , C ( 4 , - 3 ) , Z? (- 6 , - 1 )12七、板书设计(略)八、课后记：
