基本不等式及其应用 教学设计.docx

7.4基本不等式及其应用考纲要求1 . 了解基本不等式的证明过程.2 .会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.梳理白测£知 谀梳理t|ZHISH【SHULI1 .基本不等式4/乙(1)基本不等式成立的条件：.(2)等号成立的条件：当且仅当时取等号.(3)其中号称为正数a,力的, 标称为正数热。的.2 .利用基本不等式求最值问题已知x>0, y>0.,则如果积是定值P,那么当且仅当时，x+y有是(简记：,积定和最小).如果和x+y是定值S,那么当且仅当时，灯有 值是(简记:和定积最大).3 .几个常用的不等式(1) a +Z?22ab(a, b£R).(2 a,"(a, 6£R).(4)、。>0).、/ 乙乙11a bb a(5)-+-2(a, b同号且不为0). a b工基础自测,|JICHUZ【CE1 .若x+2y=4,则2*+4,的最小值是().A. 4 B. 8 C. 2-72 D. 4/2 .函数y=(x> 1)的图象最低点的坐标是()./I I 1A. (1,2)(1, -2)C. (1, 1) D. (0, 2)3 .设 x>0, y>0,且 x+4y=40.,则 1g x+lg y 的最大值是().A. 40 B. 10 C. 4 D. 24 .当Z>2时，不等式x+32a恒成立，则实数a的取值范围是().x2A. ( 8, 2B. (8, 4C. 0, +8)D. 2,45 .建造一个容积为8 ni深为2 m的长方体无盖水池，如果池底和池壁1 n?的造价分别为120匹和80元，那么水池表面积的最低造价为元.探究突破cm仅反对能力的._ A ODIA NTANJIUTUPO-一、利用基本不等式证明不等式【例1】设a, b均为正实数,求证：.+1+数22m.方法提炼利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，综合法是指从已证不等式 和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为 所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”.请做演练巩固提升5二、利用基本不等式求最值【例2-11（2012浙江必考）若正数人y满足 叶3尸5盯,则3>+4y的最小值是（）.2428A. - B. C. 5 D. 6 【例22（1）设0VxV2,求函数42*的最大值；4（2）求一的取值范围； a-Z3 4（3）已知公>0, y>0,且x+y=l,求的最小值.方法提炼1 .在应用基本不等式求最值时，要把握三个方面，即“一正一一各项都是正数；二定 和或积为定值；三相等一一等号能取得“，这三个方面缺一不可.2 .对于求分式型的函数最值题，常采用拆项使分式的分子为常数，有些分式函数可以 拆项分成一个整式和一个分式（该分式的分子为常数）的形式，这种方法叫分离常数法.3 .为了创造条件使用基本不等式，就需要对式子进行恒等变形，运用基本不等式求最 值的焦点在于凑配“和”与“积”，并且在凑配过程中就应考虑到等号成立的条件，另外， 可利用二次函数的配方法求最值.请做演练巩固提升3,4三、基本不等式的实际应用【例3一1】某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、 每层2 （）00平方米的楼房.经测算，如果将楼房建为*（>210）层，则每平方米的平均建筑 费用为560+48x（单位：元）.为了使楼房每平方米，的平均综合费用最少，该楼房应建为多 少层？（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=翳翳卷）【例32】要设计如图的一张矩形广告，该广告含有大小相等的左中右三个矩形栏目， 这三栏的面积之和为60 000 cm2,四周空白的宽度为10 cm,栏与栏之间的中缝空白的宽度 为5 cm,怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：cm）,使整个矩形广告面积最小.方法提炼基本不等式实际应用题的特点：（1）问题的背景是人们关心的社会热点问题，如“物价、销售、税收、原材料”等，题 目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求 解.（2）当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基 本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解.请做演练巩固提升2E考题研析，AOT【YANXI忽视题目的隐含条件致误2【典例】在平面直角坐标系中，过坐标原点的一条直线与函数力=二的图象交于 X八0两点，则线段可长的最小值是.分析：由已知条件可知两交点必关于原点对称，从而设出交点代入两点间距离公式，整 理后应用均值不等式求解即可.2解析：由题意可知5).=一的图象关于原点对称，而与过原点的直线相交，则两交点必 X关于原点对称，故可设两交点分别为X，号与X，一号，由两点间距离公式可得等号当且仅当9=2,即/=±隹时取得.答案：4答题指导:4 .在解答本题时主要有两点误区：(1)对于题目自身的含义理解不透，无法掌握交点关系，造成不会解.9(2)有些同学设出直线方程与f(x)=一联立得出两交点关系，再应用两点间距离公式求 X解，出现运算繁琐情况，导致错解.5 .解决此类问题时还有以下几点在备考时要注意：(1)理解函数的图象、性质，明确其表达的含义；(2)熟记要掌握的公式，如本例中的两点间距离公式；(3)思考要周密，,运算要准确、快速.另外，由于此类题H往往以小题形式出现，因而能用简便方法的尽量使用简便方法.巩固提升、探1 .设J/是力比'内一点，且以艇的面积为1,定义/'(助=(勿，n,2)，其中6，n, p 分别是.必4的面积，若f(.切=(；，x,，则的最小值是().A. 8 B. 9 C. 16 D. 182 .某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元.若每批生产x件，则平 均仓储时间为1天，且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费 用与仓储费用之和最小，每批应生产产品().A. 60 件 B. 80 件 C. 100 件 D. 120 件3 .函数y=log,(x+3) 1 (a>0,且aHl)的图象恒过定点力，若点力在直线9+ 1=0上(其中勿，>0),则一+一的最小值等于(). m nA. 16 B. 12 C. 9 D. 84.已知向量 a=(x, 1), b= (y1, 1)» x, y£R 二 若 a方，则1=彳+,+9+，的最 x y 小值是().A. 4 B. 5 C. 6 D. 85.已知 a, b,。都是实数，求证：a' + Z? + c (a+ d+ c)2ab-bc-ac. o参考答案基础梳理自测知识梳理1. (l)a>0, 6>0 a=b (3)算术平均数 几何平均数2. (l)x=y最小值2巾(2)x=y最大y3. (1)2 (2)W (3)W基础自测1. B 解析：2'+4'22 -、/2* - 2>=2 -石=2 -、/?=8, 当且仅当2餐洛 即x=2y=2时取等号，2"+4'的最小值为8.2. D 解析：尸(+ 1 =(叶1) X I 1X I 1当且仅当*=0时等号成立.3. D 解析：x+4y=40,且 Z>0, y>0,x+4y22 - «x - 4y=4 弧(当且仅当x=4y时取“=”).4yxy4Q.100.A 1g x+lg y=lg 町Wig 100=2.*'-lg x+lg y的最大值为2.4. B解析：一恒成立，x2.”必须小于或等于x+£的最小值.Va>2, x2>0.x+-= (x-2) +-+224,x2x2当且仅当x=3时取最小值4.故选择R.5. 1 760解析：设水池底面的长度、宽度分别为am, 6 m,则加=4, 令水池表面的总造价为y,则 y=abX 120 + 2(2a+2。) X80=,480+320(a+ b) 2480+320X2近=48。+ 320X4=1 760,当且仅当a=b=2时取“=”.考点探究突破【例1】证明：由于a 6均为正实数，所以/A 3=与a b l a b ab当且仅当4=3，即时等号成立.a b又因为卷+ ab，2y,ab= 2y2.2当且仅当丁=劭时等号成立. ab所以+*+ abV ab2y2,【例21】C解析：/+3y=5中， +2=1 一5了 5x3x+4y= (3x+4。XI= (3x+4y)售+ 君3x 9 4=豆+温+当且仅当餐=等,即x=l,时等号成立.by oxL【例 22 解：(1) V0<a-<2, A2-x>0.:.尸山(4 -2>) =y2 - yjx(2 x)隹、+ ; *=$,当且仅当>=2一无 即门=1时取等号, ，当x= 1时，函数y=ylx(42x)的最大值是啦. (2)显然 aK2,当 a>2 时，&-2>0,44F+a=h(T)+221£(丁2)+2=6,4当且仅当一7=2,即a=4时取等号；a- 2当 a<2 时，a-2<0,44+a=9+ (a2) +2a2az41=-7+(2 4 +2_2aJ-2A(2-a)+2=-2,l 2 ci4当且仅当=2 4,2 ci即a=0时取等号，4口+a 的取值范围是(-8, -2U6, +8).=7+4/， OO, y>0,且 x+7=l,当且仅当=斗；即2x=/y时等号成立,3 4l一+；的最小值为7 + 4小.x y2 OOOx2 OOOx【例3-1 解：设将楼房建为x层,则每平方米的平均购地费用为2 16°义101() 800x每平方米的平均综合费用10 800y=560+48x+：(仑10),(仑10),=560+48995当x-取最小时，y有最小值. X,225、/225*.* x>0,x-22y x =30,x x99R当且仅当彳=一二，即x=15时，上式等号成立. X当x=15时，y有最小值2 000元.因此该楼房建为15层时，每平方米的平均综合费用最少. 【例32】 解：设矩形栏目的高为a cm,宽为b cm,则 ab=20 000,20 000 b= . a广告的高为a+20,宽为36+30(其中a>(), b>0),广告的面积S= (a+20) (36+30)(.40 000, =30 a+ 60 600a /=30(a+26)+60 60040 000230X2aX-4-60 600=12 000+60 600 = 72 600,当且仅当&="心，即a=200时，取等号，此时。=100.故当广告的高为220 cm,宽为330 cm时，可使整个矩形广告的面积最小.演练巩固提升1. D2. B解析：由题意得平均每件产品生产准备费用2. B解析：由题意得平均每件产品生产准备费用元,800 x匹八 -=20.x 8仓储费用为f元，从而费用和为弊+台2 当驷=9,即k80时等号成立.X o3. D解析：函数y=log“(x+3) 1的图象恒过定点力(一2, 1), ；2l+1=0, &P 2;7/+ n= 1.2,.+2=任2,+ )m n n)=2+2+% 片 4 + 2.n 4勿- 一=8, m n当片即0f鬲即片2创即=<，勿=:时，取得最小值g. 24 m n4. B 解析：由 ab,得 x+y=l,t= £ (*+y) =(1(/+ D= l+2+(j+>3+2y!-=5, 当时，片取得最小值5.5. 证明：:者+S与2ab,行 +/228c,才 + c?22wc, .2a'+2Zf+2/22a/?+2bc+2ac,:.3 (/+ 6 + /) 2 (a+ Z>+ c)2,即才+/+/2鼻(打+6+)2. o由 a2 + Z>2 4- c2 ab- bc+ ac,：./+ 毋 + /+2a+ 2 c+ 2ac2 3ab+ 3 bc+ 3ac,，(a+ + c) 2 2 3 (ab+ bc ac).；(a+ b+ c)2 2 ab+ c+ ac. o综上所述，a + If + c2(a+ b+ c)2>ab+ Z?c+ ac> 命题得证. 15