（讲义）1-1第二课时两个计数原理的综合应用含答案2.docx

第二课时两个计数原理的综合应用课堂讲练设计，举一能通类题选（抽）取与分配问题典例某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选 出会英语和日语的各一人，有多少种不同的选法？解由题意9人中既会英语又会日语的“多面手”有1人.则可分三类：第一类：“多面手”去参加英语时，选出只会日语的一人即可，有2种选法.第二类：“多面手”去参加日语时，选出只会英语的一人即可，有6种选法.第三类：“多面手”既不参加英语又不参加日语，则需从只会日语和只会英语中各选一人，有2X6 = 12（种）方法.故共有2+6+12=20（种）选法.选（抽）取与分配问题的常见类型及其解法（1）当涉及对象数目不大时，一般选用枚举法、树形图法、框图法或者图表法.（2）当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理.一般地，若抽取是有顺序的就按分步进行；若按 对象特征抽取的，则按分类进行.间接法：去掉限制条件计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即 可.活学活用1.甲、乙、丙3个班各有三好学生3,5,2名，现准备推选2名来自不同班的三好学生去参加校三好学 生代表大会，共有 种不同的推选方法.解析：分为三类：第一类，甲班选一名，乙班选一名，根据分步乘法计数原理有3义5=15种选法；第二类，甲班选一名，丙班选一名，根据分步乘法计数原理有3X2=6种选法；第三类，乙班选一名，丙班选一名，根据分步乘法计数原理有5X2=10种选法.综合以上三类，根据分类加法计数原理，共有15+6+10=31种不同选法.答案：312.图书馆有8本不同的有关励志教育的书，任选3本分给3个同学，每人1本，有 种不同的分法.解析：分三步进行：第一步，先分给第一个同学，从8本书中选一本，共有8种方法；第二步，再分 给第二个同学，从剩下的7本中任选1本，共有7种方法；第三步，分给第三个同学，从剩下的6本中任 选1本，共有6种方法.所以不同分法有8X7X6=336种.答案：336题型二题型二用计数原理解决组数问题典例用0,123,4五个数字，（1）可以排出多少个三位数字的电话号码？（2）可以排成多少个三位数？（3）可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？解（1）三位数字的电话号码，首位可以是0,数字也可以重复，每个位置都有5种排法，共有5X5X5 = 53=125（种）.（2）三位数的首位不能为0,但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除0外共有4种方法，第二、 三位可以排0,因此，共有4X5X5=100（种）.被2整除的数即偶数，末位数字可取0,2,4,因此，可以分两类，一类是末位数字是0,则有4义3 = 12（种）排法；一类是末位数字不是0,则末位有2种排法，即2或4,再排首位，因0不能在首位，所以 有3种排法，十位有3种排法，因此有2X3X3=18（种）排法.因而有12+18=30（种）排法.即可以排成 30个能被2整除的无重复数字的三位数.组数问题的常见类型及解决原则（1）常见的组数问题组成的数为“奇数”“偶数”“被某数整除的数”；在某一定范围内的数的问题；各位数字和为某一定值问题；各位数字之间满足某种关系问题等.（2）解决原则明确特殊位置或特殊数字，是我们采用“分类”还是“分步”的关键.一般按特殊位置（末位或首 位）由谁占领分类，分类中再按特殊位置（或特殊元素）优先的策略分步完成；如果正面分类较多，可采用间 接法求解.要注意数字“0”不能排在两位数字或两位数字以上的数的最高位.活学活用1 .从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为（）A. 24B. 18C. 12D. 6解析：选B 由于题目要求是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇，偶奇奇.如果是 第一种奇偶奇的情况，可以从个位开始分析（3种情况），之后十位Q种情况），最后百位（2种情况），共12 种；如果是第二种情况偶奇奇：个位（3种情况），十位（2种情况），百位（不能是0, 一种情况），共6种.因 此总共有12+6=18种情况.故选B.2.如果一个三位正整数如12的”满足且3*2,则称这样的三位数为凸数（如120,342,275等）, 那么所有凸数个数是多少?当中间数为4时,有3义4=12个;当中间数为5时,有4义5=20个;当中间数为6时,有 5X6=30 个;当中间数为7时,有 6X7=42 个;当中间数为8时,有 7X8=56 个;当中间数为9时,有 8X9=72 个.解：分8类，当中间数为2时，百位只能选1,个位可选1、0,由分步乘法计数原理，有1X2=2个;当中间数为3时,当中间数为3时,百位可选1,2,个位可选0,2,由分步乘法计数原理，有2X3=6个；同理可得:故共有 2+6+12+20+30+42+56+72=240 个.题型三用计数原理解决涂色（种植）问题典例如图所示，要给“优”、“化乂“指”、“导”四个区域分别 同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同 多少种不同的涂色方法？解优、化、指、导四个区域依次涂色，分四步.典例如图所示，要给“优”、“化乂“指”、“导”四个区域分别 同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同 多少种不同的涂色方法？解优、化、指、导四个区域依次涂色，分四步.第1步，涂“优”区域，有3种选择.第2步，涂“化”区域，有2种选择.第3步，涂“指”区域,由于它与“优”、“化”区域颜色不同，有1种选择.第4步，涂“导”区域,由于它与“化” “指”区域颜色不同，有1种选择.所以根据分步乘法计数原理，得不同的涂色方法共有3X2X1X1=6（种）.求解涂色（种植）问题一般是直接利用两个计数原理求解，常用方法有：（1）按区域的不同以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析；（2）以颜色（种植作物）为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”问题，用分类加法计数原理分析；（3）对于涂色问题将空间问题平面化，转化为平面区域涂色问题.活学活用有4种不同的作物可供选择种植在如图所示的4块试验田中，每块种植一种作物，相邻的试验田（有 公共边）不能种植同一种作物，共有多少种不同的种植方法？解：法一：第一步：种植A试验田有4种方法；第二步：种植3试验田有3种方法；第三步：若C试验田种植的作物与B试验田相同，则。试验田有3种方法，此时有1X3=3种种植 方法.若C试验田种植的作物与B试验田不同，则。试验田有2种种植方法,£）也有2种种植方法，共有2X2由分类加法计数原理知，有3+4=7种方法.第四步：由分步乘法计数原理有N=4X3X7=84种不同的种植方法.法二：（1）若A,。种植同种作物，贝"A、。有4种不同的种法，区有3种种植方法，。也有3种种植 方法，由分步乘法计数原理，共有4X3X3=36种种植方法.（2）若A,。种植不同作物，则A有4种种植方法，。有3种种植方法，8有2种种植方法，。有2种 种植方法，由分步乘法计数原理，共有4X3X2X2=48种种植方法.综上所述，由分类加法计数原理，共有N= 36+48=84种种植方法.课后层级训练，步步提升能力层级一学业水平达标1 .由数字1,2,3组成的无重复数字的整数中，偶数的个数为（）B. 12D. 5A. 15C. 10解析：选D 分三类，第一类组成一位整数，偶数有1个；第二类组成两位整数，其中偶数有2个;第三类组成3位整数，其中偶数有2个.由分类加法计数原理知共有偶数5个.2 .三人踢键子，互相传递，每人每次只能踢一下.由甲开始踢，经过4次传递后，穰子又被踢回甲,则不同的传递方式共有（）A. 4种则不同的传递方式共有（）B. 4种C. 5种C. 6种D. 12 种解析：选C 若甲先传给乙，则有甲一乙一甲一乙一甲，甲一乙一甲一丙一甲，甲一乙一丙一乙一甲 3种不同的传法；同理，甲先传给丙也有3种不同的传法，故共有6种不同的传法.3.若三角形的三边长均为正整数，其中一边长为4,另外两边长分别为儿c,且满足bW4Wc,则这 样的三角形有（）A. 10 个B. 14 个C. 15个D. 21个解析：选 A 当 b=l 时，c=4;当 b=2 时，c=4,5;当 b=3 时，c=4,5,6;当 b=4 时，c=4,5,6,7. 故共有10个这样的三角形.选A.4.已知集合用=1, -2,3，N=-4,5,6, 7,从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则在直 角坐标系中，第一、二象限不同点的个数为（）B. 16A. 18C. 14D. 10解析：选C 分两类：一是以集合M中的元素为横坐标，以集合N中的元素为纵坐标有3X2=6个 不同的点，二是以集合N中的元素为横坐标，以集合M中的元素为纵坐标有4义2=8个不同的点，故由 分类加法计数原理得共有6+8=14个不同的点.5.从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60。的共有（）A. 24对B. 30对04/8C. 48对D. 60对解析：选C 与正方体的一个面上的一条对角线成60。角的对角线有8条，故共有8对.正方体的1296条面对角线共有12X8=96（对），且每对均重复计算了一次，故共有3=48（对）.支线路可通中线路中有16 .如图所示为一电路图，则从A到B共有 条不同的单电.解析：按上、中、下三条线路可分为三类：从上线路中有3条, 条，下线路中有2X2=4（条）.根据分类加法计数原理，共有3+1+4=8（条）.答案：87 .将4种蔬菜种植在如图所示的5块试验田里，每块试验田种植一种蔬菜，相邻试验田不能种植同一种蔬菜，不同的种法有 种.（种植品种可以不全）解析：分五步，由左到右依次种植，种法分别为4,3,3,3,3.由分步乘法计数原理共有4X3X3X3X3=324（种）.答案：3248 .古人用天干、地支来表示年、月、日、时的次序.用天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、 寅、辰、午、申、戌”相配，用天干的“乙、丁、己、辛、癸”和地支的“丑、卯、巳、未、酉、亥”相 配，共可配成 组.解析：分两类：第一类，由天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相 配，则有5X6=30组不同的结果；同理，第二类也有30组不同的结果，共可得到30+30=60组.答案：609 .某高中毕业生填报志愿时，了解到甲、乙两所大学有自己感兴趣的专业，具体情况如下：甲大学乙大学专业生物学数学化学会计学医学信息技术学工商管理学物理学如果这名同学只能选择一所大学的一个专业，那么他的专业选择共有多少种？解：由图表可知，分两类，第一类：甲所大学有5个专业，共有5种专业选择方法；第二类：乙所大学有3个专业，共有3种专业选择方法.由分类加法计数原理知，这名同学可能的专业选择有N=5+3=8（种）.10 .若直线方程Ax+为=0中的A, B可以从0,1,2,3,5这五个数字中任取两个不同的数字，则方程所 表示的不同直线共有多少条？解：分两类完成.第1类，当A或3中有一个为0时，表示的直线为x=0或y=0,共2条.第2类，当A, 3不为0时，直线Ax+砂=0被确定需分两步完成.第1步，确定A的值，有4种不同的方法；第2步，确定8的值，有3种不同的方法.由分步乘法计数原理知，共可确定4X3=12条直线.由分类加法计数原理知，方程所表示的不同直线共有2+12=14条.层级二应试能力达标1 .把10个苹果分成三堆，要求每堆至少有1个，至多5个，则不同的分法共有（）A. 4 种,B. 5 种C. 6种D. 7种解析：选A 分类考虑，若最少一堆是1个，由至多5个知另两堆分别为4个、5个，只有一种分法; 若最少一堆是2个，则由3+5=4+4知有2种分法；若最少一堆是3个，则另两堆为3个、4个共1种 分法，故共有分法1+2+1=4种.2.要把3张不同的电影票分给10个人，每人最多一张，则有不同的分法种数是（）A. 2160B. 720C. 240D. 120解析：选B可分三步：第一步，任取一张电影票分给一人，有10种不同分法；第二步，从剩下的两张中任取一张，由于一人已得电影票，不能再参与，故有9种不同分法.第三步，前面两人已得电影票，不再参与，因而剩余最后一张有8种不同分法.所以不同的分法种数 是 10X9X8=720（种）.3.用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须全部使用，且同一数字不能相邻，这样的四 位数有（）A. 36 个B. 18 个C. 9个D. 6个解析：选B 分三步完成，第一步，确定哪一个数字被使用2次，有3种方法；第二步，把这2个相 同的数字排在四位数不相邻的两个位置上，有3种方法；第三步，将余下的2个数字排在四位数余下的两 个位置上，有2种方法.故有3X3X2=18个不同的四位数.4 .用4种不同的颜色涂入图中的矩形A, B, C,。中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂色方法 共有（）A. 12 种 B. 24 种C. 48 种 D. 72 种解析：选D 先涂C,有4种涂法，涂。有3种涂法，涂A有3种涂法，涂5有2种涂法.由分步 乘法计数原理，共有4X3X3X2=72（种）涂法.5 .从234,5,6,7,8,9这8个数中任取2个不同的数分别作为一个对数的底数和真数，则可以组成 个不同的对数值.解析：要确定一个对数值，确定它的底数和真数即可，分两步完成：第1步，从这8个数中任取1个作为对数的底数，有8种不同取法；第2步，从剩下的7个数中任取1个作为对数的真数，有7种不同取法.根据分步乘法计数原理，可以组成8X7=56个对数值.在上述 56 个对数值中，Iog24=log39, Iog42=log93, Iog23=log49, Iog32=log94,所以满足条件的 对数值共有56-4=52个.答案：52要求每个点共 有C, F的顺序6 .如图，用四种不同颜色给图中的A, B, C, D, E,厂六个点涂色， 涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色.则不同的涂色方法 种.解析：先涂A, £>, E三个点，共有4X3X2=24种涂法，然后再按8,涂色，分为两类：一类是3与E或。同色，共有2X（2X1 + 1X2）=8种涂法；另一类是3与E或。不 同色，共有1X（1X1 + 1X2）=3种涂法.所以涂色方法共有24X（8+3）=264种.答案：264个区域中相7 .用6种不同颜色为如图所示的广告牌着色，要求在A, B, C, D四 邻（有公共边的）区域不用同一种颜色，求共有多少种不同的着色方法？解：法一：分类：第一类，A, D涂同色，有6X5X4=120（种）涂法，第二类，A, D涂异色，有6X5X4X3=360（种）涂法，共有120+360=480（种）涂法.法二：分步：先涂B区，有6（种）涂法，再涂C区，有5（种）涂法，最后涂A, D区域，各有4（种）涂 法，所以共有6X5X4X4=480（种）涂法.|我迭做题8 .有六名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法？（不一定六名 同学都能参加）（1）每人恰好参加一项，每项人数不限；（2）每项限报一人，且每人至多参加一项；（3）每项限报一人，但每人参加的项目不限.解：（1）每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同选法，由分步乘法计数原理，知共有 报名方法36=729（种）.（2）每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有 5种选法，第三个项目只有4种选法，由分步乘法计数原理，得共有报名方法6X5X4=120（种）.（3）由于每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛，由分步乘法计数原理, 得共有不同的报名方法63=216（种）.