正弦定理 教学设计.docx

课题：§1. 1. 1正弦定理教学目标知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正 弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生 通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索 数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之 间的普遍联系与辩证统一。教学重点正弦定理的探索和证明及其基本应用。教学难点已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。教学过程I.课题导入如图1.1-1,固定A ABC的边CB及/B,使边AC绕着顶点C转动。 思考：ZC的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB的长度随着其对角/C的大小的增大而增大。能否 用一个等式把这种关系精确地表示出来？ II.讲授新课探索研究在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1. 1-2,在RtAABC中，设BC=a, AC=b, AB=c,根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有色= sin儿 c（图 L-2） = sinB ,又sinC = l = g, cc贝心='=，/sin/ sin5 sin。从而在直角三角形ABC中，三三 sin力 sin4 sine思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图L 1-3,当AABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD,根据任意角三角函数的定义，有同理可得同理可得sin。 sinB从而sin/ sin§sin/ sinZ? sin。（图 L 1-3）思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。C(证法二)：过点A作由向量的加法可得 AB = AC + CB则j.AB = j.(AC + CB):. j ,AB = j-AC j-CB力|叫85(90°_力=0+吊侬8$(90°_。)/. csinA=asinC, BP .4人二 sin A sinC同理，过点C作，_L8C,可得 靠=薪sin J sin 夕 sin。类似可推出，当AABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。(由学生课后自己推导)从上面的研探过程，可得以下定理正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 a _ b _ csin 力 sinj9 sinC理解定理(1)正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k ,a = ksixA , b = ksinB , c = ksinC ；(2)，= =等价于=，_ =，-，sin J sinB sin。 sin J sin 夕sinC sin£ sin/ sin。从而知正弦定理的基本作用为：已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如3 =如邛；sin6已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin/ = fsing。 b一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。例题分析例 L 在 AABC 中，已知 A=32.0°, 3=81.8°, a=42.9cm,解三角形。解：根据三角形内角和定理，C=180°-(A+B)=180°(32.0°+81.8°)=66.2° ； 根据正弦定理，«80.1(6vn)；»=qsin3 = 42.9sin81.8°-sinA - sin32.0°根据正弦定理,tzsinC 42.9sin66.2° 1Z、C-:=74.1(6771).sin A sin32.0°评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。例2.在AABC中，已知a=20cm, b=28cm, A=40° ,解三角形(角度精确到1° ,边长精确到1cm)。 解：根据正弦定理，sinB-sinB-bsinA 28sin40°200.8999.因为0° V3V1800,所以屈64°,或 5Ml60.当屈64°时,C=180°(A+3)b180°(40°+64°)=76°,QsinC 20sin760 ”/ 、 c-：=7 x 30(。).sin A sin 40°当3M16°时，C=1800(A+3)%180°(40°+116°)=24°,asinC 20sin24° 1OZ 、c=7«13(cm).sin Asin 40°评述：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。m.课堂练习第5页练习第1 (1)、2 (1)题。补充练习已知 A ABC 中，sin 力：sinJ:sinl = l:2:3,求(答案:1： 2： 3)IV.课时小结(由学生归纳总结)(1)定理的表示形式:sin J sin 夕 sinC sin J + sinZ? + sin= A(*>0)；a = AsinA , b = ksinB, c = ksinC (A >0)(2)正弦定理的应用范围：已知两角和任一边，求其它两边及一角；已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。V.课后作业第10页习题1. 1A组第1 (1)、2 (1)题。板书设计授后记课题：§L 1.2余弦定理授课类型：新授课教学目标知识与技能：掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基 本的解三角形问题。过程与方法：利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基 本的解三角形问题情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定 理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。教学重点余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；教学难点勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。教学过程I.课题导入如图 L 1-4,在 AABC 中，设 BC=a, AC=b, AB=c, 已知a, b和/ C,求边cII.讲授新课探索研究C联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题? 用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边c。 由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。如图1.从而1-5,设 CB = a , CA = b , AB = c ,那么 c = a 6,-c-c = (a-b(a -b =a + b -2a-b(Si. 1-5)同理可证同理可证a2 =b2 +c2 - 2bccosAb2 =a2 +c2 - 2accosB于是得到以下定理余弦定理:三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积 思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一 角？的两倍。即a21 -b1 +/ -26ccos力（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：cosA=cos 3=cosC=2bc /+022cic2ba理解定理从而知余弦定理及其推论的基本作用为：已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；已知三角形的三条边就可以求出其它角。思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平 方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？（由学生总结）若AABC中,090°,则cosC=0,这时。2="+由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。例题分析例 1.在 AABC 中，已知 4=2如，c=C+Ji, 3=60°,求 b 及 A (D解：V b2 =cr +c2-2accosB=(2拘2+(#+伪2 _ 2.2存函+夜) cos 45° =12+(V6+V2)2 -473( V3 +1)二8:b=25求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理:解法一:+c一片 (2V2)2+(V6+V2 )2-(273)2 1C°S A=b=-2x2依雨+&)=2，A=600.解法二:丁 sin sin B= 2 旺 sin45。b 242又丁 V6+V2 > 2.4+14=3.8,2V3 <2x1.8=34：.a <c ,即0°<AV90°,J A=60°.评述：解法二应注意确定A的取值范围。例 2.在 AABC 中，已知 a=134.6cm, Z?=87.8cm, c=161.7cm,解三角形(见课本第8页例4,可由学生通过阅读进行理解) 解：由余弦定理的推论得：cos A=/+。2-22hc_87.82+161.72-134.62 二-0.5543,A 才 56°20 ；cos B=cos B=2ca_134.62+161.72-87.82 二。0.8398,5。32°53'；C=180° -(A+B) «180° -(56°20f+32°53z)in.课堂练习第8页练习第1 (1)、2 (1)题。补充练习在AABC中，若/=62+/+A，求角人(答案：a=120° )IV.课时小结(1)余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；(2)余弦定理的应用范围：.已知三边求三角；.已知两边及它们的夹角，求第三边。V.课后作业课后阅读：课本第9页探究与发现课时作业：第11页习题L1A组第3 (1), 4 (1)题。板书设计授后记课题：§1. 1. 3解三角形的进一步讨论授课类型：新授课教学目标知识与技能：掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三 角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。过程与方法：通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公 式及三角形有关性质求解三角形问题。情感态度与价值观：通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系, 反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系。 教学重点在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。教学难点正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。教学过程I.课题导入创设情景思考：在AABC中，已知3 = 220/7, b = 25c/n, 4 = 133°,解三角形。(由学生阅读课本第9页解答过程)从此题的分析我们发现，在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条件下会出现 无解的情形。下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题。II.讲授新课探索研究例L在AABC中，已知讨论三角形解的情况分析：先由sin5 = 2皿1可进一步求出B；a则。= 180°(4 + 5) “k asinC从而c =A.当A为钝角或直角时，必须才能有且只有一解；否则无解。1 .当A为锐角时，如果a 2 6,那么只有一解；如果那么可以分下面三种情况来讨论：(1)若a>6sin/,则有两解；(2)若a = 6sin4,则只有一解；(3)若avbsinZ,则无解。(以上解答过程详见课本第9 10页)评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A为锐角且 6sin/vh<6时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。随堂练习1(1)在AABC中，己知3 = 80, 6 = 100, ZJ = 45°,试判断此三角形的解的情况。(2)在AABC中，若h = 1, c = - , /。= 40°,则符合题意的b的值有个。2(3)在AABC中，a = xcm, b = 2cm, N方= 45°,如果利用正弦定理解三角形有两解，求x的取值范围。(答案：(1)有两解；(2) 0； (3) 2<x<22 )例2.在AABC中，已知a = 7, b = 5, c = 3,判断AABC的类型。分析：由余弦定理可知/ = + T o力是直角o AABC是直角三角形/力2 +0 /是钝角=AABC是钝角三角形/ <+/ o/是锐角与mbC是锐角三角形(注意：/是锐角Waabc是锐角三角形)解：72 >52 + 32,即/>+/, AABC是钝角三角形。随堂练习2(1)在AABC 中，已知sin/:sin3:sin= l:2:3,判断AABC 的类型。(2)已知A ABC满足条件3cos力= 6cos方，判断AABC的类型。(答案：(1) AABC是钝角三角形；(2) AABC是等腰或直角三角形)例3.在AABC中，4 = 60°, 6 = 1,面积为g,求.十”：。. '的值2 sinJ + sm + sinC分析：可利用三角形面积定理S =：助sinC = ：dcsin夕= ：Asin/以及正弦定理 乙乙乙a _ b _ c _ a+b+csinA sinB sinC sin/ + sin 方+ sinC解：由 S = ：6csin/ =得。=2 ,乙乙则 <32 = Z?2 + c2 2bccos力=3,即 d = a/3 9从而山上= = 2sin/ + sin5 + sin。 sin Jin.课堂练习(1)在AABC中，若a = 55, 6 = 16,且此三角形的面积S = 220囱，求角C(2)在AABC中，其三边分别为a、b、c,且三角形的面积S = a十二 ，求角C4(答案:(1) 60° 或 120°； (2) 45° )IV.课时小结(1)在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形;(2)三角形各种类型的判定方法;(3)三角形面积定理的应用。V.课后作业(1)在AABC中，已知6 = 4, c = 10, 6 = 30°,试判断此三角形的解的情况。(2)设x、x+1、x+2是钝角三角形的三边长，求实数x的取值范围。(3)在 AABC 中，4 = 60°, 3 = 1, b+c = 2,判断 AABC 的形状。(4)三角形的两边分别为3cm, 5cm,它们所夹的角的余弦为方程51-7x-6 = 0的根,求这个三角形的面积。板书设计授后记