大一高数复习资料【完整版】.docx

高等数学非数院无穷小与无穷大(的)相关定理与推论( ) 高等数学期末复习资料第5页共9页定理三假设 fx 为有界函数， g x 为无穷小，第一章 函数与极限第一节 函数函数基础高中函数部分相关知识邻域去心邻域则lim éë f (x)× g (x)ùû = 0定理四在自变量的某个变化过程中，假设 f (x)为无穷大，则 f -1 (x)为无穷小；反之，假设 f (x)U (a,d )=x | x - a < dU (a,d )= x | 0 < x - a < d为无穷小，且 f (x)¹ 0 ，则 f -1 (x)为无穷大【题型例如】计算： lim éë f (x)× g (x)ùû 或 x ® ¥ x® x第二节 数列的极限数列极限的证明1 f(x)0 M 函数 f(x)在 x = x00的任一去心【题型例如】已知数列x，证明limx= a邻域U (x,d )内是有界的；n【证明例如】e - N 语言x®¥n f(x) M ，函数 f(x)在 x Î D 上有界；1. 由 xn- a < e 化简得n > g(e )，2. lim g(x)= 0 即函数 g(x)是 x ® x0时的无穷小； N = éë g (e )ùûx ® x0 lim g(x)= 0 即函数 g(x)是 x ® ¥ 时的无穷小；2即对"e > 0 ， $N = éë g (e )ùû 。当 n > N 时，始终x ®¥3. 由定理可知lim éë f(x)× g(x )ùû = 0有不等式 x- a < e 成立，x® x0n lim x= ax®¥n第三节 函数的极限( ) x ® x 时函数极限的证明0【题型例如】已知函数 fx ，证明 lim f(x)= Alim éë f (x)× g (x)ùû = 0 x®¥第五节 极限运算法则极限的四则运算法则定理一加减法则定理二乘除法则e - dx® x关于多项式 p (x)、q(x)商式的极限运算0【证明例如】语言( )1. 由 f (x)- A < e 化简得0 < x - x< g (e )，ìï p x = a xm+ a xm -1 + ¼+ a0d = g(e )设： íïq(x =)0îb xn1m+ b xn -1 + ¼+ b2即对"e > 0 ， $d = g(e)，当0 < x - x< d 时，01nì¥n < m始终有不等式 f(x)0- A < e 成立，p(x)ïï a则有limq(x) = í 0n = m0 lim f (x)= Ax® x x ®0 ¥ 时函数极限的证明【题型例如】已知函数 f (x)，证明 lim f (x)= Ax®¥ï bïî00ì f (x )n > me - Xx®¥ï g (x )ïg (x0)¹ 0【证明例如】语言f (x)ï0()()1由 f (x)- A < e 化简得 x > g (e )，limg (x) = í¥gx= 0, fx¹ 0( )x® x0ï 000 X = g eïg (x )= f (x)= 02即对"e > 0 ， $X = g(e )，当 x > X 时，始终有ïî 000不等式 f (x)- A < e 成立，特别地，当limf (x)=0x®x0不定型时，通常分 lim f (x)= Ax®¥第四节 无穷小与无穷大无穷小(与)无穷大的本质()g (x)0子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值，也可以用罗比达法则求解函数 fx 无穷小Û lim fx = 0【题型例如】求值limx - 3函数 f (x)无穷大Û lim f (x)= ¥x®3x2 - 9【求解例如】解：因为x ® 3 ，从而可得 x ¹ 3 ，所以原æ 2x + 3 öx+1æ 2x +1+ 2 öx+1æ2öx+1x - 3x - 311解：lim ç 2x +1 ÷= limç2x +1÷=lim ç1+ 2x +1 ÷2式= lim= lim ()() = lim=x®¥ èøx®¥ èø2 x+1®¥ èøx®3x2 - 9x®3x + 3x - 3x®3x + 36æ2ö2 x+1×2 ×( + )éæ2ö2 x+1 ù 2 x+1×(2x+1)其中 x = 3 为函数 f (x)=x - 3ú的可去间断点=limç1+2x +1 ÷22 x+1 x 1=lim êê1+ 2x +1 ÷úx2 - 9倘假设运用罗比达法则求解详见第三章第二节：2 x+1®¥ èø2ölim é 22 +x 1®¥2 x+1®¥ ëèøû×(x+1)ùx - 3(x - 3)¢11é0æ= ê lim ç1+2 x+1 ù2÷úêë 2 x+1ûúçlimé 2×(x+1)ù= e2 x+1®¥êë 2 x+1úû解： lim=0 lim= lim=ê2 x+1®¥ è2x +1 øúx2 - 9x®3 x2 - 9 L¢ x®3 ()¢x®3 2x6ë2 x+1®¥èølimûæ 2 x+2 ö连续函数穿越定理复合函数的极限求解= eç 2 x+1 ÷ = e1 = e定理五假设函数 f (x)是定义域上的连续函数，û那么， lim f éëj (x)ùû = f éëê lim j (x)ùú第七节 无穷小量的阶无穷小的比较等价无穷小U sin U tanU arcsinU arctanU ln(1+ U )x®x0x®xx - 3x2 - 901 ()【题型例如】求值： limx®3eU -11x - 3x2 - 9lim x - 3x®3 x2 - 9166(【求解例如】lim=2 2 U 2 1 - cosUx®36乘除可替，加减不行ln 1 + x【题型例如】求值： lim)+ x ln(1 + x)第六节 极限存在准则及两个重要极限【求解例如】x®0x2 + 3x夹迫准则P53ln(1 + x)+ x ln(1 + x)x(x )+3解：因为x ® 0,即x ¹ 0, 所以原式= limlim sin x = 1()()()x®0x2 + 3x第一个重要极限：x= lim1 + x × ln 1 + x= lim1 + x × x = lim x + 1 = 1æp öx ®0sin xx®0x®0x(x + 3)x®0x + 33 "x Îç 0,÷ ， sin x < x < tan x lim= 1第八节 函数的连续性è2 øx1lim1x ®0x函数连续的定义lim f (x)= lim f (x )= f (x )x®0x®0lim sin x = lim sin x =x®0= 1limæ sin x öx® x -0x® x +00ç÷xx®0 èxøsin( x - x )间断点的分类P67ì跳越间断点（不等）第一类间断点（左右极限存在）í特别地， limx® x00x - x0= 1ì¼¼第二类间断点íî可去间断点（相等）单调有界收敛准则P57æ1 öxî无穷间断点（极限为¥）特别地，可去间断点能在分式中约去相应公因式第二个重要极限： limç1 +x®¥è÷= ex ø【题型例如】设函数 f(x)ìe2 xx < 0=í，应该怎样选一般地， lim éë f (x)ùû g (x) = éëlim f (x)ùûlim g (x) ，其中( )îa + xx ³ 0lim f (x)> 0 择数a ，使得 f【求解例如】x 成为在 R 上的连续函数？【题型例如】求值：limæ 2x + 3 öx +1ç 2x ÷+ 1èø1ì f (0- )= e2×0- = e1 = eï( )í f0+= a + 0+ = a【求解例如】x®¥ïïî f(0)= a( )( )( )2. 由连续函数定义 lim fx ®0-x = lim fx®0+x = f0 = e a = e第九节 闭区间上连续函数的性质零点定理【题型例如】证明：方程 f (x)= g (x)+ C 至少有一个根【题型例如】求函数 f -1 (x)的导数【求解例如】由题可得 f (x)为直接函数，其在定于域D( )( ) ¢1介于a 与b 之间【证明例如】上单调、可导，且 f ¢ x¹ 0 ； éë f -1x ùû =f ¢(x)x2-11. 建立辅助函数函数 j (x)= f (x)- g (x)- C 在复合函数的求导(法则 )闭区间a, b上连续；2j(a)×j (b)< 0端点异号3. 由零点定理，在开区间(a,b)内至少有一点x ，使【题型例如】设 y = ln earcsin【求解例如】解：y¢ = (1+x2 + a2，求 y¢x2 + a2)()¢× earcsin x2 -1 +得j(x )= 0 ，即 f (x )- g (x )- C = 00 < x < 1earcsin x2 -1 +x2 + a2æ()¢(2x2 + a2)¢ ö4. 这等式说明方程 f (x)= g (x)+ C 在开区间 (a,b)(1)çx2 -1x2 + a2÷=×ç earcsinx2 -1 ×()+÷内至少有一个根x 第二章 导数与微分earcsin x2 -1 +x2 + a2çèç(æ1- x2 -1÷ø2x2 -12 - x22x2 + a22xö第一节 导数概念ç高等数学中导数的定义及几何意义P83=1)× ç earcsinx2 -1 ×+2x÷í，÷【题型例如】已知函数 f (x)= ìex + 1x £ 0 在 x = 0earcsin x2 -1 +x2 + a2ç÷x2 -1 ×2 - x2x2 + a2è÷ø÷îax + bx > 0= (1æ)×ç earcsinx2 -1 ×x+xö处可导，求a ， b【求解例如】earcsin x2 -1 +x2 + a2èøì f ¢ (0)= e0 = 1ì f (0- )= e0-+1 = e0 +1 = 2第四节 高阶导数1 ï -， ï( )¢í f ¢ (0)= aí f0+= b¢d n yé d (n-1) y ùïîï+ f (n) (x)= é f (n-1) (x)ù或= êúf (0)= e0 +1 = 2ëû()ïîdxn()ë dx n-1 ûìï f ¢(0)= f ¢ (0)= a = 1【题型例如】求函数 y = ln 1 + x的n 阶导数2由函数可导定义í-( )+ ( )( )1 a = 1,b = 2ïî f0-= f0+= f0 = b = 2【求解例如】 y¢ =1+ x= (1+ x)-1 ，¢，【题型例如】求 y = f (x)在 x = a 处的切线与法线方程y¢ = é(1+ x)-1 ù= (-1)× (1+ x)-2或：过 y = f(x)图像上点 éëa, f(a )ùû 处的切线与法线ëû¢方程y¢¢ = é(-1)× (1+ x)-2 ù = (-1)×(-2)× (1+ x)-3ëû【求解例如】( )( )1 y¢ = f ¢ x ， y¢ |= f ¢ ax(= a )¢( )()y(n) = (-1)n-1 × (n -1)！× (1+ x)- n2. 切线方程： y - fa= fax - a第五节 隐函数及参数方程型函数的导数( )法线方程： y - f (a )= -1f ¢ a(x - a )隐函数的求导等式两边对x 求导【题型例如】试求：方程 y = x + ey 所给定的曲线 C ：第二节 函数的和差、积与商的求导法则函数和差、积与商的求导法则1线性组合定理一： (au ± bv)¢ = au¢ + bv¢ 特别地，当a = b = 1时，有(u ± v)¢ = u¢ ± v¢2. 函数积的求导法则定理二： (uv)¢ = u¢v + uv¢y = y(x)在点(1 - e,1)的切线方程与法线方程【求解例如】由 y = x + ey 两边对 x 求导即 y¢ = x¢ + (e y )¢ 化简得 y¢ = 1 + ey × y¢¢11æ u¢ö3. 函数商的求导法则定理三：= u¢v - uv¢ y =1 - e11 - evç÷èøv2第三节 反函数和复合函数的求导法则反函数的求导法则切线方程： y - 1 =11 - e(x - 1 + e)法线方程： y - 1 = -(1 - e)(x - 1 + e)"x > 0 ，函数 f (x)在闭区间0, x上连续，在开区参数方程型函数的求导ìx =【题型例如】设参数方程j(t)d 2 y，求间(0,p )上可导，并且 f ¢(x)=1；1+ xîí y = g (t )dx22由拉格朗日中值定理可得， $xÎ0, x使得等式öæ dy¢( )çln (1+x)- ln(1+ 0)=1(x - 0)成立，ø=dy【求解例如】1.g ¢ t( )2.d 2 y =è dx ÷1+ xdxj¢ tdx2j ¢(t )化简得ln (1+ x)=1x ，又x Î0, x，第六节 变化率问题举例及相关变化率不作要求第七节 函数的微分基本初(等)函数微分公式与微分运算法则 f ¢(x )=1+ x1< 1， ln (1+ x)< 1× x = x ，1+ xdy = f ¢ x× dx即证得：当 x > 1 时， ex> e × x第三章 中值定理与导数的应用第一节 中值定理引理费马引理罗尔定理【题型例如】现假设函数 f (x)在0,p上连续，在(0,p )第二节 罗比达法则运用罗比达法则进行极限运算的基本步骤1. 等价无穷小的替换以简化运算2. 判断极限不定型的所属类型及是否满足运用罗比达法则的三个前提条件上可导，试证明： $x Î(0,p )，A. 属于两大基本不定型 0 , ¥且满足条件，使得 f(x )cosx + f ¢(x )sinx = 0 成立f (x)0 ¥f ¢(x)【证明例如】x®a1建立辅助函数令j(x)= f(x)sin x则进行运算： limx®ag (x) = limg¢(x)显然函数j (x)在闭区间0,p 上连续，在开区间(0,p )上可导；2又j (0)= f (0)sin0 = 0再进行 1、2 步骤，反复直到结果得出B. 不属于两大基本不定型转化为基本不定型 0 ×¥ 型转乘为除，构造分式【题型例如】求值： lim xa ×ln xx®0j (p )= f (p )sinp = 0即j(0)= j (p )= 0【求解例如】ln x ¥(ln x)¢1解：lim xa ×ln x = lim=¥ lim= limx3由罗尔定理知x®0x®01L¢ x®0 æ 1 ö¢x®0 - a × xa-1$x Î(0,p )，使得 f (x )cosx + f ¢(x )sinx = 0 成立xaç xa ÷x2a拉格朗日中值定理【题型例如】证明不等式：当x > 1 时， ex> e × xèø1= -lim xa = 0a x®0【证明例如】1. 建立辅助函数令函数 f (x)= ex ，则对"x > 1，一般地， lim xa ×(ln x)bx®0= 0 ，其中a, b Î R 显然函数 f (x)在闭区间 1, x上连续，在开区间 ¥ - ¥ 型通分构造分式，观察分母(1, x)上可导，并且 f ¢(x)= ex ；【题型例如】求值： lim æ1- 1 öç÷sin xx2. 由拉格朗日中值定理可得， $x Î1,x使得等式ex - e1 = (x -1)ex 成立，x®0 èø【求解例如】æ11 öæ x - sin x öæ x - sin x ö解：lim ç-÷ = limç÷ = limç÷又 ex> e1 ， ex - e1> (x -1)e1 = e × x - e ，x®0 è sin xx øx®0 è x ×sin x øx®0 èx2ø0(x - sin x)¢1- cos x 0(1- cos x)¢sin x化简得ex> e × x ，即证得：当 x > 1 时， ex> e × x=0 lim= lim=0 lim= lim= 0【题型例如】证明不等式：当x > 0 时， ln (1+ x)< xL¢ x®0( )¢x®02xL¢ x®0(2x)¢x®02x2【证明例如】1建立辅助函数令函数 f(x)= ln(1+ x)，则对 00 型对数求极限法【题型例如】求值： lim xx0ì00x®00ï【求解例如】解：设y = xx , 两边取对数得：ln y = ln xx = x ln x =ln x¥ - ¥ ¾(¾1)®¬(¾2)¾ 0 ×¥ ¬(¾3)¾ í1¥¥¥ï1î¥0x对对数取x ® 0时的极限：lim(ln y )ln x ¥= lim=¥ lim(ln x)¢通分获得分式通常伴有等价无穷小的替换取倒数获得分式将乘积形式转化为分式形式x®0x®01L¢ x®0 æ 1 ö¢xç x ÷取对数获得乘积式通过对数运算将指数提前第三节 泰勒中值定理不作要求èø1第四节 函数的单调性和曲线的凹凸性= limx= - lim x = 0，从而有lim y = lim eln y = elim ln y= e0 = 1连续函数单调性单调区间x®0 - 1x2x®0x®0x®0x®0【题型例如】试确定函数 f(x)= 2x3 - 9x2 +12x - 3 的1¥ 型对数求极限法【题型例如】求值： lim(cos x + sin x)1单调区间【求解例如】f (x)Rxx®01. 函数在其定义域( )上连续，且可导【求解例如】 f ¢ x= 6x2 -18x +12解：令y = (cos x + sin x)1 , 两边取对数得ln y = ln (cos x + sin x),2令 f ¢(x)= 6(x -1)(x - 2)= 0 ，解得：x= 1, x= 2x对ln y求x ® 0时的极限，limln y = limx®0x®0xln(cos x + sin x)x12xf ¢(x)f (x)(-¥,1)+10(1,2 )-20(2, +¥)+4函数 f (x)的单调递增区间为(-¥,1,2, +¥)；极大值极小值3. 三行表0éln (cos x + sin x)ù¢cos x - sin x1- 0=0 lim ëû= lim= 1,从而可得L¢ x®0(x)¢x®0 cos x + sin x1+ 0x®0lim y= lim eln y = elimln y = e1 = ex®0x®0 ¥0 型对数求极限法【题型例如】求值：ç x ÷limæ 1 ötan x x®0 èø单调递减区间为(1,2 )【题型例如】证明：当 x > 0 时， ex > x +1【证明例如】1. 构建辅助函数设j (x)= ex - x -1， x > 0 【求解例如】解：令y = æ 1 ötan x , 两边取对数得ln y = tan x × ln æ 1 ö ,2j ¢(x)= ex -1 > 0 ， x > 0 ç x ÷ç x ÷j(x)> j(0)= 0èøèø对ln y求x ® 0时的极限，lim ln y =éx × ln æ 1 öù3既证：当 x > 0 时， ex > x +1lim êtanç x ÷úx > 0ln (1+ x)< xx®0x®0 ë¥()¢1èøû【题型例如】证明：当【证明例如】时，( )()= - limln x=¥- limln x= - limx1. 构建辅助函数设jx= ln1+ x- x ， x > 0 x®0 æ1ö L¢x®0 æ1ö¢x®0 - sec2 x1(¢)èøè tan x øç tan x ÷ç÷tan2 x2j ¢(x)=1+ x-1 < 0， x > 0 0sin2 xj(x)< j(0)= 0= lim sin2 x =0 lim= lim 2sin x ×cos x= 0,()x®0xL¢ x®0x¢x®013. 既证：当 x > 0 时， ln1+ x< xx®0从而可得lim y= lim eln y = elim ln y = e0 = 1x®0x®0运用罗比达法则进行极限运算的基本思路连续函数凹凸性【题型例如】试讨论函数 y = 1 + 3x2 - x3 的单调性、极值、凹凸性及拐点【证明例如】ìï y¢ = -3x2 + 6x = -3x (x - 2)1 í y ¢ = -6x + 6 = -6 (x -1)【求解例如】1. 函数 f(x)在其定义域-1,3上连续，且可导îïì y¢ = -3x (x - 2)= 0ìx = 0, x = 2 f ¢(x)= -3x2 + 3ï2令í y ¢ = -6(x -1)= 0解得： í12x = 12令 f ¢(x)= -3(x -1)(x +1)= 0 ，îïî解得： x1= -1, x= 13四行表x(-¥,0)0(0,1)1(1,2)2(2, +¥)y¢-0+0-y¢¢+-y1(1,3)523三行表()(x-1-1,111,3f ¢(x) f (x)0+极小值0-极大值4函数 y = 1 + 3x2 - x3 单调递增区间为(0,1) , (1,2)4又 f (-1)= -2, f (1)= 2, f (3)= -18单调递增区间为(-¥,0) , (2, +¥) ；函数 y = 1 + 3x2 - x3 的极小值在 x = 0 时取到， f (x)max= f (1)= 2, f (x)min= f (3)= -18为 f (0)= 1，极大值在 x = 2 时取到，为 f (2)= 5 ；函数 y = 1 + 3x2 - x3 在区间(-¥,0) , (0,1) 上凹， 在区间(1,2) , (2, +¥) 上凸；函数 y = 1 + 3x2 - x3 的拐点坐标为(1,3)第五节 函数的极值和最大、最小值函数的极值与最值的关系设函数 f (x)的定义域为 D ，如果$x的某个邻M域U (x)Ì D ，使得对"x ÎU (x)，都适合不(M )()M第六节 函数图形的描绘不作要求第七节 曲率不作要求第八节 方程的近似解不作要求第四章 不定积分第一节 不定积分的概念与性质原函数与不定积分的概念原函数的概念：假设在定义区间I 上，可导函数 F (x)的导函数为 F¢(x)，即当自变量 x Î I 时，有 F¢(x)= f (x)或 dF (x)= f (x)× dx 成立，则称 F (x)为 f (x)的一个原函数原函数存在定理：等式 fx < fx，(M )()如果函数 f(x)在定义区间 I 上连续，则在I 上ëû我们则称函数 fx 在点 é xfM ,xù 处有极大M必存在可导函数 F (x)使得 F¢(x)= f (x)，也就是值 f (x)；M令 xÎ x, x, x,., x说：连续函数一定存在原函数可导必连续不定积分的概念(M )M 1M 2M 3Mn在定义区间 I 上，函数 f (x)的带有任意常数项则函数 fx 在闭区间a, b上的最大值M 满足：( )M = maxf (a), x, x, x,., x, f (b)；C 的原函数称为 fx 在定义区间 I 上的不定积分，( )M 1M 2M 3Mn即表示为：ò f (x)dx = F (x)+ C设函数 fx 的定义域为 D ，如果$x的某个邻域()U (x )Ì D ，使得对 "x ÎU (xmm)，都适合不等 ò 称为积分号， f (x)称为被积函数， f (x)dx 称m式 fx > f(x )，m为积分表达式， x 则称为积分变量基本积分表ë我们则称函数 f (x)在点 é xm,f (xm)ùû 处有极小值不定积分的线性性质分项积分公式ò éëk f (x)+ k g (x)ùûdx = k ò f (x )dx + k ò g (x )dxf (x )；m令 xÎx, x, x,., x1212第二节 换元积分法第一类换元法凑微分(m )m1m2m3mn dy = f ¢(x)× dx 的逆向应用则函数 fx 在闭区间a, b 上的最小值m 满足：òj ( )j¢( )òj ( )j ( )m = minf (a), x, x, x,., x, f (b)；f éëx ùû ×x dx =f éëx ùû × d éëx ùû( m)1m2m3 mn【题型例如】求函数 fx = 3x - x3 在 -1,3上的最值高等数学期末复习资料 第6页共9页【题型例如】求ò【求解例如】1a2 + x2 dx第三节 分部积分法分部积分法设函数u = f (x)，v = g (x)具有连续导数，则其高等数学期末复习资料第9页共9页解：ò1dx = ò1dx = 1 ò1d æ x ö = 1 arctan x + C分部积分公式可表示为： òudv = uv - ò vdua2 + x2æ x ö21+ç a ÷aæ x ö21+ç a ÷è a øaaç÷分部积分法函数排序次序：“反、对、幂、三、指”èøèø【题型例如】求ò1dx2x +1【求解例如】运用分部积分法计算不定积分的基本步骤：遵照分部积分法函数排序次序对被积函数排序；就近凑微分：v¢ × dx = dv 使用分部积分公式： òudv = uv - ò vdu解：ò1dx = 1 ò1d (2x +1)= ò1d (2x +1)ò= ò × ¢2x +122x +122x +1展开尾项 vduv u dx ，判断=2x +1 + C( )第二类换元法去根式 dy = f ¢ x × dx 的正向应用对于一次根式a ¹ 0,b Î R ：t 2 - ba. 假设ò v × u¢dx 是容易求解的不定积分，则直接计算出答案容易表示使用基本积分表、换元法与有理函数积分可以轻易求解出结果；b. 假设ò v × u¢dx 依旧是相当复杂，无法通过 a 中ax + bax + b