赵树嫄微积分第四版第一章-函数优秀PPT.ppt

在在一一切切理理论论成成就就中中，未未必必有有什什么么像像1717世世纪纪下下半半叶叶微微积积分分的的独独创创那那样样被被看看作作人人类类精精神神的的卓卓越越成成功功了了（恩格斯）（恩格斯）教材：教材：同时独同时独创了微积分，微积分探讨的主要对创了微积分，微积分探讨的主要对象就是函数。象就是函数。微积分(Calculus)是一门以变量为探讨对象、以极限方法作为探讨工具的数学学科，应用极限方法探讨各类变更率问题和几何学中曲线的切线问题，就产生了微分学；应用极限方法探讨诸如曲边梯形的面积等涉及到微小量无穷积累的问题，就产生了积分学。英国数学家牛顿和德国数学家和德国数学家莱布尼兹莱布尼兹第一章第一章 函函 数数(一一)集合的概念集合的概念第一节第一节 集合集合把一些确定的、彼此不同的事物作为一个整体来看待把一些确定的、彼此不同的事物作为一个整体来看待时，这个整体便称为是一个时，这个整体便称为是一个集合集合。组成集合的那些个体称为集合的组成集合的那些个体称为集合的元素元素。例如例如 全体中国人可组成一个集合，每一个中国人均全体中国人可组成一个集合，每一个中国人均是这个集合的元素。是这个集合的元素。通通常常用用大大写写字字母母 A、B、C 等等表表示示集集合合，用用小小写写字字母母 a、b、c 等表示集合的元素。等表示集合的元素。假如假如a是集合是集合A的元素，则记作的元素，则记作 a A，读作，读作a属于属于A；假如假如a不是集合不是集合A的元素，则记作的元素，则记作 a A，读作，读作a不属于不属于A。常见数集常见数集的记号：的记号：自然数集自然数集整数集整数集有理数集有理数集正整数集正整数集实数集实数集由有限个元素构成的集合称为由有限个元素构成的集合称为有限集有限集，由无限多个，由无限多个元素构成的集合称为元素构成的集合称为无限集无限集。例如：例如：2 N，2.5 N，-3 N，2.5 Q，-3 Z。(二二)集合的表示法集合的表示法通常集合的表示有两种方法：通常集合的表示有两种方法：(1)列列举举法法：按按随随意意依依次次逐逐一一列列举举集集合合中中的的元元素素于于花花括号内，元素之间用逗号隔开。括号内，元素之间用逗号隔开。(2)描描述述法法：给给定定一一个个条条件件 P(x)，当当且且仅仅当当元元素素 a 使使P(a)成立时，成立时，a A。其一般形式为其一般形式为 A=a|P(a)。例如例如 上述集合上述集合 B=a|a N 且且 4 a 8 又如又如例如：例如：A=2,a,b,9,B=4,5,6,7,8 BA集合以及集合间的关系可以用如下的图形表示，称集合以及集合间的关系可以用如下的图形表示，称为文氏图，即用一个平面区域表示一个集合。为文氏图，即用一个平面区域表示一个集合。BAE(三三)全集与空集全集与空集不含任何元素的集合称为不含任何元素的集合称为空集空集，记为，记为 。在探讨某一问题时，假如所探讨的集合都是某一集在探讨某一问题时，假如所探讨的集合都是某一集合的子集，则称此集合为全集，记作合的子集，则称此集合为全集，记作 U.(四四)子集子集假如集合假如集合 A 的元素也是集合的元素也是集合 B 的元素，则称的元素，则称 B 包含包含A，或称，或称 A 是是 B 的子集，记作：的子集，记作：假如假如 A 是是 B 的子集，且的子集，且 B 中至少有一个元素不属于中至少有一个元素不属于 A，则称，则称 A 是是 B 的真子集，记作的真子集，记作BA假如集合假如集合 A 和和 B 相互包含，即相互包含，即A B 且且 B A，则称，则称 A 和和 B 的相等的相等，记作，记作 A=B。对任一集合对任一集合 A，有，有常用数集：常用数集：(五五)集合的运算集合的运算1 1、并集、并集例如，例如，则则基本性质：基本性质：BAE2 2、交集、交集例如，例如，则则基本性质：基本性质：BAE3 3、差集、差集例如，例如，R-Q 表示全体无理数组成的集合。表示全体无理数组成的集合。基本性质：基本性质：BAEABE4 4、补集、补集其中其中 U为全集为全集。例如，例如，则则基本性质：基本性质：AU(六六)集合运算律集合运算律交换律：交换律：结合律：结合律：安排律：安排律：对偶律：对偶律：例例1 1 证明对偶律证明对偶律证明证明例例1 1 证明对偶律证明对偶律或证或证例例2 2 证明证明证明证明BAU例例3 3 证明吸取律证明吸取律 证明证明吸取律吸取律 证明留作练习。证明留作练习。例例4 4 证明证明证明证明例例5 5 证明证明证明证明集合元素的计数问题：集合元素的计数问题：定义定义 集合集合 A 中所含元素的个数称为集合中所含元素的个数称为集合 A 的的基数基数，记作记作|A|。容斥原理：容斥原理：设设 A,B 为有限集，则为有限集，则 特殊，假如特殊，假如(称为分别的称为分别的)则则例例1 1 有有100100名程序员，其中名程序员，其中4747名熟悉名熟悉FORTRANFORTRAN语言，语言，3535名熟悉名熟悉PASCALPASCAL语言，语言，2323名熟悉这两种语言。问有多少名熟悉这两种语言。问有多少人对这两种语言都不熟悉？人对这两种语言都不熟悉？解解23473541两种语言都不熟悉的人有两种语言都不熟悉的人有由容斥原理，至少熟悉一种语言的人有由容斥原理，至少熟悉一种语言的人有BAEABE例例2 2 在在1 2000的整数中，有多少整数的整数中，有多少整数(1)能被能被6或或8整除；整除；(2)既不能被既不能被6也不能被也不能被8整除；整除；(3)能被能被6整除而不能被整除而不能被8整除整除.解解则则例例2 2 在在1 2000的整数中，有多少整数的整数中，有多少整数(1)能被能被6或或8整除；整除；(2)既不能被既不能被6也不能被也不能被8整除；整除；(3)能被能被6整除而不能被整除而不能被8整除整除.解解解解例例3 3 某某地地区区有有100个个工工厂厂，其其中中，80个个生生产产甲甲种种机机床床，以以集集合合A表表示示这这些些工工厂厂；61个个生生产产乙乙种种机机床床，以以集集合合B表表示示这这些些工工厂厂；55个个两两种种机机床床都都生生产产。试试用用集集合合表表示示下下列列各各类类工工厂厂，并计算出各类工厂的数目：并计算出各类工厂的数目：(1)生产甲种机床而不生产乙种机床的工厂；生产甲种机床而不生产乙种机床的工厂；(2)生产乙种机床而不生产甲种机床的工厂；生产乙种机床而不生产甲种机床的工厂；(3)甲、乙两种机床至少生产其中一种的工厂；甲、乙两种机床至少生产其中一种的工厂；(4)甲、乙两种机床都不生产的工厂。甲、乙两种机床都不生产的工厂。(七七)集合的笛卡尔乘积集合的笛卡尔乘积 定义定义定义定义例例1设设 A,B 都是有限集，则有都是有限集，则有例例2 2它表示平面直角坐标系中一个矩形区域它表示平面直角坐标系中一个矩形区域：例例3 3 设设 R 为实数集，则为实数集，则RR 表示坐标平面，表示坐标平面，而而 RRR 表示三维实空间。表示三维实空间。(一一)实数与数轴实数与数轴实数实数有理数有理数无理数无理数整数整数分数分数(无限不循环小数无限不循环小数)正整数正整数零零负整数负整数实数与数轴上的点是一一对应的。实数与数轴上的点是一一对应的。有理数有理数:其中其中p,q为既约为既约整数整数,且且数轴数轴(二二)实数的确定值实数的确定值设设 a 为一实数，则其确定值定义为为一实数，则其确定值定义为几何意义：几何意义：|a|表示数轴上点表示数轴上点 a 到原点的距离。到原点的距离。|a-b|表示数轴上两点表示数轴上两点 a 和和 b 之间的距离。之间的距离。确定值的基本性质：确定值的基本性质：确定值不等式的解：确定值不等式的解：例例1 1 解下列确定值不等式：解下列确定值不等式：解解例例2 2 解确定值不等式：解确定值不等式：解解(三三)区间区间开区间开区间闭区间闭区间左开右闭区间左开右闭区间左闭右开区间左闭右开区间无限区间无限区间(四四)邻域邻域记作记作记作记作第三节第三节 函数关系函数关系(一一)函数关系函数关系x 称为称为自变量自变量，y 称为称为因变量因变量.留意：留意：例如，例如，是定义在是定义在R上的一个函数，上的一个函数，它的值域是它的值域是 例例1 1 推断下列各对函数是否相同？推断下列各对函数是否相同？相同相同不同不同(定义域不同定义域不同)不同不同(对应法则不同对应法则不同)相同相同不同不同(定义域不同定义域不同)=|x|确定函数的两要素：确定函数的两要素：定义域和对应法则。定义域和对应法则。(二二)定义域的确定定义域的确定(1)依据实际问题；依据实际问题；(2)自然定义域：使算式有意义的一切实数值。自然定义域：使算式有意义的一切实数值。如何求函数的自然定义域？如何求函数的自然定义域？(a)分式的分母不等于零；分式的分母不等于零；(b)偶次根号内的式子应大于或等于零；偶次根号内的式子应大于或等于零；(c)对数的真数应大于零；对数的真数应大于零；(e)若函数的表达式由多项组成若函数的表达式由多项组成,则定义域为各项则定义域为各项定义域的交集；定义域的交集；(f)分段函数的定义域是各段定义域的并集。分段函数的定义域是各段定义域的并集。例例2 2 求下列函数的求下列函数的(自然自然)定义域。定义域。因此，函数的定义域为因此，函数的定义域为解解即定义域为即定义域为因此，函数的定义域为因此，函数的定义域为解解例例3 3因此因此 g(x)的定义域为的定义域为 (三三)隐函数隐函数但有但有时时不易或不能不易或不能显显化化，如如Kepler 方程：方程：两个分支，两个分支，多值函数多值函数。第四节第四节 分段函数分段函数在自变量的不同变更范围中，对应法则用不同的式子在自变量的不同变更范围中，对应法则用不同的式子来表示的函数，称为分段函数。来表示的函数，称为分段函数。留意：分段函数在其定义域内表示一个函数，而不是留意：分段函数在其定义域内表示一个函数，而不是几个函数。几个函数。分段函数分段函数 在自变量的不同变更范围中在自变量的不同变更范围中,对应法则用不同的对应法则用不同的式子来表示的函数式子来表示的函数,称为分段函数称为分段函数.留意：分段函数在其定义域内表示一个函数，而不是留意：分段函数在其定义域内表示一个函数，而不是几个函数。几个函数。yOx11-12-2-13这也是分段函数，其定义域为这也是分段函数，其定义域为例例1 1解解几个分段函数的例子几个分段函数的例子.1)确定值函数确定值函数 2)符号函数符号函数3)取整函数取整函数 y=xx表示不超过表示不超过x的最大整数的最大整数.1 2 3 4 5 -2-4 -4 -3 -2 -1 -1-3xyo1234o有理数点有理数点无理数点无理数点1xy4)狄利克雷函数狄利克雷函数(Dirichlet)第五节第五节 建立函数关系的例题建立函数关系的例题例例1 1 某企业对某产品制定了如下的销售策略：购买某企业对某产品制定了如下的销售策略：购买不超过不超过20公斤，每公斤公斤，每公斤10元；购买不超过元；购买不超过200公斤，公斤，其中超过其中超过20公斤的部分，每公斤公斤的部分，每公斤7元；购买超过元；购买超过200公公斤的部分，每公斤斤的部分，每公斤5元。试写出购买量为元。试写出购买量为x公斤的费用公斤的费用函数函数C(x).解解例例2 2 有有一一工工厂厂A A与与铁铁路路的的垂垂直直距距离离为为a a公公里里，它它的的垂垂足足B B到到火火车车站站C C的的铁铁路路长长为为b b公公里里，工工厂厂的的产产品品必必需需经经火火车车站站C C才才能能转转销销外外地地。已已知知汽汽车车运运费费是是m m元元/吨吨公公里里，火火车车运运费费是是n n元元/吨吨公公里里(mn),(mn),为为使使运运费费最最省省，想想在在铁铁路路上上另另修修一一小小站站M M作作为为转转运运站站，那那么么运运费费的的多多少少确确定定于于M M的地点。试将运费表示为距离的地点。试将运费表示为距离|BM|BM|的函数。的函数。B MC A b x a 设设|BM|=x，运费为运费为y。其定义域为其定义域为0,b。解解依据题意，有依据题意，有于是于是例例3 3 设设某某工工厂厂生生产产某某型型号号车车床床，年年产产量量为为a a台台，分分若若干干批批进进行行生生产产，每每批批生生产产准准备备费费为为b b元元。设设产产品品匀匀整整投投入入市市场场，且且上上一一批批用用完完后后马马上上生生产产下下一一批批，即即平平均均库库存存量量为为批批量量的的一一半半。设设每每年年每每台台库库存存费费为为c c元元。试试求求出出一一年中库存费与生产准备费的和与批量的函数关系。年中库存费与生产准备费的和与批量的函数关系。设批量为设批量为x，库存费与生产准备费的和为，库存费与生产准备费的和为P(x)。定义域为定义域为(0,a 中中a的正整数因子。的正整数因子。每年生产的批数为每年生产的批数为 a/x,每年生产准备费为每年生产准备费为 ba/x,ba/x,解解每年平均库存量为每年平均库存量为 x/2,2,每年库存费为每年库存费为 cx/2,2,因此因此例例4 4 某某工工厂厂生生产产某某产产品品，每每日日最最多多生生产产100单单位位。它它的的日日固固定定成成本本为为130元元，生生产产一一个个单单位位产产品品的的可可变变成成本本为为6元。求该厂日总成本函数及平均单位成本函数。元。求该厂日总成本函数及平均单位成本函数。解解 设日总成本为设日总成本为C C，平均单位成本为，平均单位成本为CC，日产量为，日产量为x x。由由于于日日总总成成本本为为固固定定成成本本与与可可变变成成本本之之和和。依依据题意，日总成本函数为据题意，日总成本函数为 C=C(x)=130+6x C=C(x)=130+6x，D(C)=0,100D(C)=0,100；平均单位成本函数为平均单位成本函数为第六节第六节 函数的几种简洁性质函数的几种简洁性质(一一)函数的奇偶性函数的奇偶性偶函数偶函数偶函数的图形关于偶函数的图形关于 y 轴对称。轴对称。yxox-x奇函数奇函数 奇函数的图形奇函数的图形关于原点对称。关于原点对称。yxox-x例例1 1 推断下列函数的奇偶性：推断下列函数的奇偶性：偶函数偶函数非奇非偶非奇非偶偶函数偶函数奇函数奇函数奇函数奇函数奇函数奇函数奇函数奇函数解解所以为所以为奇函数奇函数。例例2 2 推断下列函数的奇偶性：推断下列函数的奇偶性：例例3 3是偶函数；而是偶函数；而是奇函数。是奇函数。证明是简洁的。证明是简洁的。由此可证：定义域关于原点对称的函数必可表示为由此可证：定义域关于原点对称的函数必可表示为一个偶函数和一个奇函数之和：一个偶函数和一个奇函数之和：(二二)函数的周期性函数的周期性(通常周期函数的周期是指其通常周期函数的周期是指其最小正周期最小正周期).留意：并非随意周期函数都有最小正周期。留意：并非随意周期函数都有最小正周期。(三三)函数的单调性函数的单调性例如例如,函数函数 y=x 3 在在(-,+)内单调增加。内单调增加。而而函函数数 y=x 2 在在区区间间(-,0)内内单单调调削削减减；在在区区间间(0,+)内单调增加。内单调增加。(四四)函数的有界性函数的有界性M-Mba因为存在因为存在 M=1，使对随意，使对随意x(-,+)，有，有|sin x|1，所以，所以 y=sinx 是是(-,+)内的有界函数。内的有界函数。y=sinx 有界吗有界吗?什么叫什么叫“无界无界”？有界：有界：第七节第七节 反函数与复合函数反函数与复合函数(一一)反函数反函数 定义定义 设函数设函数y=f(x)的定义域为的定义域为D，值域为，值域为Z。假如对于每个假如对于每个 y Z，存在唯一，存在唯一 x D，使，使 f(x)=y，则，则 x 是一个定义在是一个定义在 Z 上的函数，称为上的函数，称为 y=f(x)的反函数，的反函数，记为记为 x=f 1(y)。函数函数 y=f(x)与函数与函数 x=f 1(y)互为反函数。互为反函数。将将 x 与与 y 互换，就得所求反函数为互换，就得所求反函数为例例1 1 求求 y=3x 1 的反函数。的反函数。解解 例例如如，在在(-,+)内内，y=x2 不不是是一一一一对对应应的的函函数数关关系，所以它没有反函数。系，所以它没有反函数。一个函数若有反函数，它必定是一一对应的函数关系。一个函数若有反函数，它必定是一一对应的函数关系。在在(0,+)内内 y=x2 有反函数有反函数 在在(-,0)内，内，y=x2 有反函数有反函数 x-x y 干脆函数与反函数的图形关于直线干脆函数与反函数的图形关于直线 y=x 对称对称.(二二)复合函数复合函数例如例如：可以复合成可以复合成注：不是任何函数都可以复合成一个函数。注：不是任何函数都可以复合成一个函数。不能复合。不能复合。和和u 称为中间变量。称为中间变量。留意复合次序：留意复合次序：复合可以多次进行。复合可以多次进行。例例1 1重要问题：把一个困难的函数分解为几个简洁函数的重要问题：把一个困难的函数分解为几个简洁函数的复合运算或四则运算。复合运算或四则运算。例例3 3例例2 2的复合。的复合。第八节第八节 初等函数初等函数基本初等函数：基本初等函数：1 1、常数函数、常数函数 常函数的定义域常函数的定义域为为(-,+)，图形，图形为平行于为平行于x轴轴,在在y轴轴上截距为上截距为C的直线。的直线。幂函数的定义域随幂函数的定义域随a而异，而异，但不论但不论 a 为何值为何值,它在它在(0,+)内总有定义。幂函数图内总有定义。幂函数图形都经过形都经过(1,1)点。点。常见的幂函数及其图形：常见的幂函数及其图形：2 2、幂函数、幂函数 幂函数的定义域随幂函数的定义域随a而异，而异，但不论但不论 a 为何值为何值,它在它在(0,+)内总有定义。幂函数图内总有定义。幂函数图形都经过形都经过(1,1)点。点。常见的幂函数及其图形：常见的幂函数及其图形：2 2、幂函数、幂函数 幂函数的定义域随幂函数的定义域随a而异，而异，但不论但不论 a 为何值为何值,它在它在(0,+)内总有定义。幂函数图内总有定义。幂函数图形都经过形都经过(1,1)点。点。常见的幂函数及其图形：常见的幂函数及其图形：2 2、幂函数、幂函数 幂函数的定义域随幂函数的定义域随a而异，而异，但不论但不论 a 为何值为何值,它在它在(0,+)内总有定义。幂函数图内总有定义。幂函数图形都经过形都经过(1,1)点。点。常见的幂函数及其图形：常见的幂函数及其图形：2 2、幂函数、幂函数 幂函数的定义域随幂函数的定义域随a而异，而异，但不论但不论 a 为何值为何值,它在它在(0,+)内总有定义。幂函数图内总有定义。幂函数图形都经过形都经过(1,1)点。点。常见的幂函数及其图形：常见的幂函数及其图形：2 2、幂函数、幂函数3 3、指数函数、指数函数 定义域为定义域为(-,+)，值域为，值域为(0,+)，都通过点都通过点(0,1),当当a1时，函数单调增加；时，函数单调增加；当当0a1 时时,函数单调增加；函数单调增加；当当 0a1时时,函数单调削减。函数单调削减。正弦函数正弦函数余弦函数余弦函数 y=sin x与与y=cos x的定义域均为的定义域均为(-,+)，均以，均以2p p为周期。为周期。y=sin x为为奇函数奇函数，y=cos x为为偶函数偶函数。它们都是它们都是有界函数有界函数。5 5、三角函数、三角函数定义域定义域:x(2n+1)p p/2。周期周期:p p。奇函数。奇函数。正切函数正切函数定义域定义域:x np p。周期周期:p p。奇函数。奇函数。余切函数余切函数正割函数正割函数余割函数余割函数6 6、反三角函数、反三角函数定义域：定义域：值域：值域：单调增加函数；单调增加函数；奇函数奇函数.定义域：定义域：值域：值域：单调削减函数；单调削减函数；非奇非偶非奇非偶.xy定义域：定义域：值域：值域：单调增加函数；单调增加函数；奇函数奇函数.定义域：定义域：值域：值域：单调削减函数；单调削减函数；非奇非偶非奇非偶.xy由基本初等函数经过有限次的四则运算或复合运由基本初等函数经过有限次的四则运算或复合运算得到的一切函数统称为算得到的一切函数统称为初等函数初等函数.例如，例如，等等。等等。本本课课程探程探讨讨的函数的函数绝绝大多数都是初等函数大多数都是初等函数.END对数的基本性质：对数的基本性质：换底公式换底公式对数恒等式对数恒等式常用三角函数关系式常用三角函数关系式 1 1、同角三角函数的基本关系式、同角三角函数的基本关系式 倒数关系：倒数关系：商关系：商关系：平方关系：平方关系：2 2、两角和与差的公式：、两角和与差的公式：3 3、倍角公式：、倍角公式：4 4、半角公式：、半角公式：根号前的符号由半角所在像限来确定根号前的符号由半角所在像限来确定.5 5、积化和差公式：、积化和差公式：6 6、和差化积公式：、和差化积公式：7 7、万能公式：、万能公式：8 8、诱导公式：、诱导公式：“奇变偶不变，符号看象限奇变偶不变，符号看象限”例如：例如：等等。等等。