通信原理第2章优秀PPT.ppt
2.2.3平稳随机过程自相关函数的性质平稳随机过程自相关函数的性质 对于平稳随机过程而言，对于平稳随机过程而言，它的自相关函数是特殊重要的一个函它的自相关函数是特殊重要的一个函数。缘由如下数。缘由如下:其一，平稳随机过程的统计特性，如数字特征等，其一，平稳随机过程的统计特性，如数字特征等，可通过自相可通过自相关函数来描述；关函数来描述；其二，自相关函数与平稳随机过程的其二，自相关函数与平稳随机过程的频谱特性频谱特性有着内在的联系。有着内在的联系。因此，我们有必要了解平稳随机过程自相关函数的性质。因此，我们有必要了解平稳随机过程自相关函数的性质。设设(t)为实平稳随机过程，为实平稳随机过程，则它的自相关函数为则它的自相关函数为:R()=E(t)(t+)(2.2-8)则具有如下性质则具有如下性质:（1）R(0)=E2(t)=S0 (t)的平均功率的平均功率 (2.2-9)即即:平稳随机过程的均方值就是自相关函数在平稳随机过程的均方值就是自相关函数在=0时的非负值时的非负值S。并且这个并且这个S代表了随机过程的平均功率。代表了随机过程的平均功率。（2）R()=E2(t)(t)的直流功率的直流功率 (2.2-10）当当时，时，(t)与与(t+)没有依靠关系，没有依靠关系，即统计独立，即统计独立，且认为且认为(t)中不含周期重量。中不含周期重量。（3）R()=R(-)的偶函数的偶函数 (2.2-11)（4）|R()|R(0)(2.2-12)即即:自相关函数在自相关函数在=0时具有最大值。时具有最大值。（5）R(0)-R()=2 方差，方差，(t)的沟通功率的沟通功率(2.2-13)且当均值为且当均值为0时，有时，有R(0)=2。（6）若平稳若平稳(t)满足满足(t)=(t+T)，则称其为周期平稳随机过程，其，则称其为周期平稳随机过程，其中中T为过程的周期。为过程的周期。并且其自相关函数并且其自相关函数R()也为周期函数，并且周期也为也为周期函数，并且周期也为T。（7）若平稳若平稳(t)含有一个周期重量，则其含有一个周期重量，则其R()也含有一个相同周期也含有一个相同周期的周期重量。的周期重量。这里举个例子说明：这里举个例子说明：例例1:设某接收机的输入混合信号设某接收机的输入混合信号X(t)是随机相位正弦信号是随机相位正弦信号S(t)和噪声和噪声电压电压N(t)的和，即：的和，即：，并且，并且 是是(0,2 )上匀整分布的随机变量。且上匀整分布的随机变量。且N(t)为平稳随机过程，求为平稳随机过程，求X(t)的自相关函数。的自相关函数。解解:既然既然N(t)为平稳随机过程，则可以设其自相关函数为为平稳随机过程，则可以设其自相关函数为RN()，则，则X(t)的自相关函数为：的自相关函数为：其中：其中：例例2:已知平稳随机过程已知平稳随机过程(t)的自相关函数为：的自相关函数为：利用自相关函数的性质求利用自相关函数的性质求(t)的均值与方差。的均值与方差。解解:依据性质依据性质2可得：可得：R()=E2(t)=36则有：则有：E(t)=6再由性质再由性质1可得：可得：R(0)=E2(t)=40最终可由性质最终可由性质5得：得：R(0)-R()=2=40-36=4因此求得，均值为因此求得，均值为36，方差为，方差为4。2.2.4 平稳随机过程的功率谱密度平稳随机过程的功率谱密度 随机过程的频谱特性是用它的随机过程的频谱特性是用它的功率谱密度功率谱密度来表述的。来表述的。我们知道，随机过程中的任一实现是一个确定的功率型信号。而对于随意的确定功率信号f(t)，它的功率谱密度为：式中，式中，FT()是是f(t)的截短函数的截短函数fT(t)（见图（见图 2-2）所对应的频谱）所对应的频谱函数。函数。（2.2-14）图图 2-2 功率信号功率信号f(t)及其截短函数及其截短函数 我们可以把我们可以把f(t)看成是平稳随机过程看成是平稳随机过程(t)中的任一实现，因而每一中的任一实现，因而每一实现的功率谱密度也可用式（实现的功率谱密度也可用式（2.2-14）来表示。）来表示。但是由于但是由于(t)是无穷多个实现的集合，哪一个实现出现是不能预是无穷多个实现的集合，哪一个实现出现是不能预知的，因此，某一实现的功率谱密度不能作为过程的功率谱密度。知的，因此，某一实现的功率谱密度不能作为过程的功率谱密度。这个时候可以把这个时候可以把随机过程的功率谱密度随机过程的功率谱密度应看做是应看做是任一实现任一实现的的功功率谱的统计平均率谱的统计平均，即，即(t)的的平均功率平均功率S则可表示成：则可表示成：（2.2-15）（2.2-16）其傅里叶反变换为：其傅里叶反变换为：虽然式（虽然式（2.2-15）给出了平稳随机过程）给出了平稳随机过程(t)的功率谱密度的功率谱密度P()，但我们很难干脆用它来计算功率谱。，但我们很难干脆用它来计算功率谱。那么，如何便利地求功率谱那么，如何便利地求功率谱P()呢？呢？我们知道，确知的我们知道，确知的非周期功率信号非周期功率信号的的自相关函数自相关函数与其与其频谱密度频谱密度函数函数是一对是一对傅立叶变换傅立叶变换关系。那么对于随机过程，也有类似的关系，关系。那么对于随机过程，也有类似的关系，即：即：于是有：于是有：因因为为R(0)表表示示随随机机过过程程的的平平均均功功率率，它它应应等等于于功功率率谱谱密密度度曲曲线线下的面积。下的面积。因因此此，P()必必定定是是平平稳稳随随机机过过程程的的功功率率谱谱密密度度函函数数。所所以以，平平稳稳随随机机过过程程的的功功率率谱谱密密度度P()与与其其自自相相关关函函数数R()是是一一对对傅傅里里叶叶变变换关系换关系,即即（2.2-17）（2.2-18）或或 简记为简记为:R()P()关系式（2.2-18）称为维纳-辛钦定理，在平稳随机过程的理论和应用中是一个特别重要的工具。它是联系随机过程的频域和时域两种分析方法的基本关系式。（2.2-19）2.2.5 平稳随机过程功率谱密度的性质平稳随机过程功率谱密度的性质 功率谱密度是平稳随机过程在频率域的重要统计参量功率谱密度是平稳随机过程在频率域的重要统计参量,它具有下它具有下列重要性质列重要性质:（1）功率谱密度是非负的，即：）功率谱密度是非负的，即：P()0，可以依据其定义式：，可以依据其定义式：可以得到：可以得到：，所以得到：所以得到：P()0（2）功率谱密度是）功率谱密度是的实函数，这里可以依据其定义式看出：的实函数，这里可以依据其定义式看出：是是的实函数，所以的实函数，所以P()必定为必定为的实函数。的实函数。（3）对于实随机过程来说，功率谱密度是）对于实随机过程来说，功率谱密度是的实函数，这里同样可的实函数，这里同样可以依据定义式证明。以依据定义式证明。因此有：因此有：P(-)=P()并且，并且，可定义可定义单边谱密度单边谱密度P1()为：为：0 P1()=（4）对于实随机过程来说，功率谱密度可积，即：）对于实随机过程来说，功率谱密度可积，即：依据：依据：可以说明功率谱密度函数曲线下的总面积（即随机过程的全部可以说明功率谱密度函数曲线下的总面积（即随机过程的全部功率）等于过程的均方值。由于平稳随机过程均方值是有限的，因功率）等于过程的均方值。由于平稳随机过程均方值是有限的，因此功率谱密度可积。此功率谱密度可积。例例3：某某随随机机相相位位余余弦弦波波 ，其其中中A和和0均均为为常常数数，是是在在(0,2)内内匀匀整整分分布布的的随随机机变变量量。求求(t)的的自自相相关关函函数数与功率谱密度。与功率谱密度。解解：(1)先考察先考察(t)是否广义平稳：是否广义平稳：可可见见(t)的的数数学学期期望望为为常常数数，而而自自相相关关函函数数只只与与时时间间间间隔隔有有关关，所以所以(t)为广义平稳随机过程。为广义平稳随机过程。依依据据平平稳稳随随机机过过程程的的相相关关函函数数与与功功率率谱谱密密度度是是一一对对傅傅里里叶叶变变换换，则依据：则依据：cosc (-c)+(+c)所以，功率谱密度为所以，功率谱密度为 P()=(-c)+(+c)平均功率为：平均功率为：S=R(0)=
