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高等数学上册总复习高等数学上册总复习学问脉络学问脉络 定义、定理、公式及重要结论定义、定理、公式及重要结论 函函 数数的定义的定义反函数反函数隐函数隐函数反函数与干脆反函数与干脆函数之间关系函数之间关系基本初等函数基本初等函数复合函数复合函数初等函数初等函数函函 数数的性质的性质单值与多值单值与多值奇偶性奇偶性单调性单调性有界性有界性周期性周期性双曲函数与双曲函数与反双曲函数反双曲函数第第1章章 函数与极限函数与极限左右极限左右极限两个重要两个重要极限极限求极限的常用方法求极限的常用方法无穷小无穷小的性质的性质极限存在的极限存在的充要条件充要条件判定极限判定极限存在的准则存在的准则无穷小的比较无穷小的比较极限的性质极限的性质数列极限数列极限函函 数数 极极 限限等价无穷小等价无穷小及其性质及其性质唯一性唯一性无穷小无穷小两者的两者的关系关系无穷大无穷大左右连续左右连续在区间在区间a,ba,b上连续上连续连续函数连续函数的的 性性 质质初等函数初等函数的连续性的连续性间断点定义间断点定义连连 续续 定定 义义连续的连续的充要条件充要条件连续函数的连续函数的运算性质运算性质非初等函数非初等函数的连续性的连续性 振振荡荡间间断断点点 无无穷穷间间断断点点 跳跳跃跃间间断断点点 可可去去间间断断点点第一类第一类 第二类第二类求求 导导 法法 则则基本公式基本公式导导 数数微微 分分关关 系系高阶导数高阶导数高阶微分高阶微分第第2章章 一元函数的微分学一元函数的微分学洛必达法则洛必达法则Rolle定理定理LagrangeLagrange中值中值定理定理常用的常用的泰勒公式泰勒公式CauchyCauchy中值定理中值定理TaylorTaylor中值定理中值定理单调性单调性,极值与最值极值与最值,凹凸性凹凸性,拐点拐点,函数函数图形的描绘图形的描绘;曲率曲率;求根方法求根方法.导数的应用导数的应用积分法积分法原原 函函 数数选选择择u u有有效效方方法法基基本本积积分分表表第一换元法第一换元法 其次换元法其次换元法干脆干脆积分法积分法分部分部积分法积分法不不 定定 积积 分分几种特殊类型几种特殊类型函数的积分函数的积分第第3章章 一元函数的一元函数的积积分学分学问题问题1:1:曲边梯形的面积曲边梯形的面积问题问题2:2:变速直线运动的路程变速直线运动的路程存在定理存在定理广义积分广义积分定积分定积分定定积积分分的的性性质质定定积积分分的的计计算算法法牛顿牛顿-莱布尼茨公式莱布尼茨公式微微 元元 法法理理 论论 依依 据据名名称称释释译译所所求求量量的的特特点点解解 题题 步步 骤骤定积分应用中的常用公式定积分应用中的常用公式常数项级数常数项级数函数项级数函数项级数一一般般项项级级数数正正项项级级数数幂级数幂级数三角级数三角级数收收敛敛半半径径R R泰勒绽开式泰勒绽开式数或函数数或函数函函 数数数数任任意意项项级级数数傅氏绽开式傅氏绽开式傅氏级数傅氏级数泰勒级数泰勒级数满足狄满足狄 氏条件氏条件在收敛在收敛 级数与数级数与数条件下条件下 相互转化相互转化 第第4 4章章 无穷级数无穷级数函数的定义函数的定义函数的分类函数的分类函函数数初初等等函函数数非初等函数非初等函数(分段函数分段函数,有无穷多项等函数有无穷多项等函数)代代数数函函数数超越函数超越函数有有理理函函数数无理函数无理函数有理整函数有理整函数(多项式函数多项式函数)有理分函数有理分函数(分式函数分式函数)(1)单值性与多值性单值性与多值性:函数的性质函数的性质(2)函数的奇偶性函数的奇偶性:偶函数偶函数奇函数奇函数yxo(3)函数的单调性函数的单调性:设函数设函数f(x)的定义域为的定义域为D，区间，区间I D，如果对于区间，如果对于区间I上上任意两点任意两点 及及 ，当，当 时，恒有：时，恒有：(1),则称函数则称函数 在区间在区间I上是上是单调增加的单调增加的；或或(2),则称函数则称函数 在区间在区间I上是上是单调递减的单调递减的；单调增加和单调减少的函数统称为单调增加和单调减少的函数统称为单调函数单调函数。(4)函数的有界性函数的有界性:设函数设函数 f(x)的定义域为的定义域为D，如果存在一个不为零的，如果存在一个不为零的数数l,使得对于任一使得对于任一 ,有有 .且且 f(x+l)=f(x)恒成立恒成立,则称则称f(x)为为周期函数周期函数,l 称为称为 f(x)的的周期周期.（通常（通常说周期函数的周期是指其最小正说周期函数的周期是指其最小正周期周期）.(5)函数的周期性函数的周期性:oyx反函数反函数隐函数隐函数反函数与干脆函数之间的关系反函数与干脆函数之间的关系基本初等函数基本初等函数1）幂函数幂函数2）指数函数）指数函数3）对数函数）对数函数4）三角函数）三角函数5）反三角函数）反三角函数复合函数复合函数初等函数初等函数由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示一个式子表示的函数的函数,称为称为初等函数初等函数.双曲函数与反双曲函数双曲函数与反双曲函数双曲函数常用公式双曲函数常用公式极限的定义极限的定义左极限左极限右极限右极限无穷小无穷小:极限为零的变量称为极限为零的变量称为无穷小无穷小.确定值无限增大的变量称为无穷大确定值无限增大的变量称为无穷大.无穷大无穷大:在同一过程中在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小无穷大的倒数为无穷小;恒不为恒不为零的无穷小的倒数为无穷大零的无穷小的倒数为无穷大.无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大无穷小与无穷大定理定理1 在同一过程中在同一过程中,有限个无穷小的代数和有限个无穷小的代数和仍是无穷小仍是无穷小.定理定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论1 在同一过程中在同一过程中,有极限的变量与无穷小的有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小乘积是无穷小.推论推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小.无穷小的运算性质无穷小的运算性质定理定理推论推论1 1推论推论2 2极限的性质极限的性质求极限的常用方法求极限的常用方法a.多项式与分式函数代入法求极限多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限利用左右极限求分段函数极限.判定极限存在的准则判定极限存在的准则(夹逼准则夹逼准则)(1)(2)两个重要极限两个重要极限定义定义:无穷小的比较无穷小的比较定理定理(等价无穷小替换定理等价无穷小替换定理)等价无穷小的性质等价无穷小的性质极限的唯一性极限的唯一性连续的定义连续的定义定理定理连续的充要条件连续的充要条件单侧连续单侧连续间断点的定义间断点的定义(1)跳动间断点跳动间断点(2)可去间断点可去间断点间断点的分类间断点的分类跳动间断点与可去间断点统称为第一类间断点跳动间断点与可去间断点统称为第一类间断点.特点特点:可去型可去型第第一一类类间间断断点点跳动型跳动型0yx0yx0yx无穷型无穷型振荡型振荡型其其次次类类间间断断点点0yx其次类间断点其次类间断点闭区间的连续性闭区间的连续性连续性的运算性质连续性的运算性质定理定理定理定理1 1 严格单调的连续函数必有严格单调的连严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数续反函数.定理定理2 2初等函数的连续性初等函数的连续性定理定理3 3定理定理4 4 基本初等函数在定义域内是连续的基本初等函数在定义域内是连续的.定理定理5 5 一切初等函数在其一切初等函数在其定义区间定义区间内都是连续的内都是连续的.定义区间是指包含在定义域内的区间定义区间是指包含在定义域内的区间.闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质定定理理1(1(最最大大值值和和最最小小值值定定理理)在在闭闭区区间间上上连连续续的函数确定有最大值和最小值的函数确定有最大值和最小值.定定理理2(2(有有界界性性定定理理)在在闭闭区区间间上上连连续续的的函函数数确确定定在该区间上有界在该区间上有界.推论推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值与最小值m之间的任何值之间的任何值.导数的定义导数的定义定义定义2.右导数右导数:单侧导数单侧导数1.左导数左导数:基本导数公式基本导数公式（常数和基本初等函数的导数公式）（常数和基本初等函数的导数公式）（常数和基本初等函数的导数公式）（常数和基本初等函数的导数公式）求导法则求导法则(1)(1)函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则(2)(2)反函数的求导法则反函数的求导法则反函数的求导法则反函数的求导法则(3)(3)复合函数的求导法则复合函数的求导法则复合函数的求导法则复合函数的求导法则(4)(4)对数求导法对数求导法对数求导法对数求导法 先在方程两边取对数先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方然后利用隐函数的求导方法求出导数法求出导数.适用范围适用范围适用范围适用范围:(5)(5)隐隐隐隐函数求函数求函数求函数求导导导导法法法法则则则则用复合函数求用复合函数求导导法法则则干脆干脆对对方程两方程两边边求求导导.(6)(6)参参参参变变变变量函数的求量函数的求量函数的求量函数的求导导导导法法法法则则则则高阶导数高阶导数记作记作二阶导数的导数称为三阶导数二阶导数的导数称为三阶导数,(二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数)微分的定义微分的定义定义定义(微分的实质微分的实质)导数与微分的关系导数与微分的关系定理定理 微分的求法微分的求法求法求法:计算函数的导数计算函数的导数,乘以自变量的微分乘以自变量的微分.基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式 函数和、差、积、商的微分法则函数和、差、积、商的微分法则 微分的基本法则微分的基本法则 微分形式的不变性微分形式的不变性罗尔中值定理罗尔中值定理拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理有限增量公式有限增量公式.柯西中值定理柯西中值定理推论推论推论推论洛必达法则洛必达法则定义定义 这种在确定条件下通过分子分母分别求导再这种在确定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.关键关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决将其它类型未定式化为洛必达法则可解决 的类型的类型 .留意：洛必达法则的运用条件留意：洛必达法则的运用条件留意：洛必达法则的运用条件留意：洛必达法则的运用条件.泰勒中值定理泰勒中值定理 常用函数的麦克劳林公式常用函数的麦克劳林公式导数的应用导数的应用定理定理(1)函数单调性的判定法函数单调性的判定法定义定义(2)函数的极值及其求法函数的极值及其求法定理定理(必要条件必要条件)定义定义函数的极大值与微小值统称为极值函数的极大值与微小值统称为极值,使函数取得使函数取得极值的点称为极值点极值的点称为极值点.极值是函数的局部性概念极值是函数的局部性概念:极大值可能小于微小极大值可能小于微小值值,微小值可能大于极大值微小值可能大于极大值.驻点和不行导点统称为临界点驻点和不行导点统称为临界点.定理定理定理定理(第一充分条件第一充分条件第一充分条件第一充分条件)定理定理定理定理(其次充分条件其次充分条件其次充分条件其次充分条件)求极值的步骤求极值的步骤:步骤步骤:1.求驻点和不行导点求驻点和不行导点;2.求区间端点及驻点和不行导点的函数值求区间端点及驻点和不行导点的函数值,比比较大小较大小,那个大那个就是最大值那个大那个就是最大值,那个小那个就那个小那个就是最小值是最小值;留意留意:假如区间内只有一个极值假如区间内只有一个极值,则这个极值就则这个极值就是最值是最值.(.(最大值或最小值最大值或最小值)最大值、最小值问题最大值、最小值问题实际问题求最值应留意实际问题求最值应留意:1)建立目标函数建立目标函数;2)求最值求最值;(4)曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点定义定义定理定理1 1方法方法1:1:方法方法2:2:利用函数特性描绘函数图形利用函数特性描绘函数图形.第一步第一步其次步其次步 函数图形的描绘函数图形的描绘第三步第三步第四步第四步 确定函数图形的水平、铅直渐近线以及其确定函数图形的水平、铅直渐近线以及其他变更趋势他变更趋势;第五步第五步弧微分弧微分 曲率曲率 曲率圆曲率圆 曲率的计算公式曲率的计算公式定义定义原函数原函数定义定义原函数存在定理原函数存在定理即：连续函数确定有原函数即：连续函数确定有原函数不定积分不定积分(1)定义定义(2)微分运算与求不定积分的运算是微分运算与求不定积分的运算是互逆互逆互逆互逆的的.(3)不定积分的性质不定积分的性质基本积分表基本积分表是常数是常数)第一类换元法第一类换元法干脆积分法干脆积分法第一类换元公式（第一类换元公式（凑微分法凑微分法凑微分法凑微分法）由定义干脆利用基本积分表与积分的性质求不由定义干脆利用基本积分表与积分的性质求不定积分的方法定积分的方法.常见类型常见类型:其次类换元法其次类换元法其次类换元公式其次类换元公式常用代换常用代换:分部分部积积分法分法分部分部积积分公式分公式选择选择u的有效方法的有效方法:“反反反反对幂对幂对幂对幂指三指三指三指三”几种特殊类型函数的积分几种特殊类型函数的积分（1）有理函数的积分）有理函数的积分定义定义两个多项式的商表示的函数称之两个多项式的商表示的函数称之.真分式化为部分分式之和的真分式化为部分分式之和的待定系数法待定系数法四种类型分式的不定积分四种类型分式的不定积分此两积分都可积此两积分都可积,后者有递推公式后者有递推公式令令（2）三角函数有理式的积分三角函数有理式的积分定义定义 由三角函数和常数经过有限次四则运算由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之一般记为构成的函数称之一般记为（3）简洁无理函数的积分简洁无理函数的积分探讨类型：探讨类型：解决方法：解决方法：作代换去掉根号作代换去掉根号问题的提出问题的提出实例实例1 （求曲边梯形的面积（求曲边梯形的面积A）实例实例2 （求变速直线运动的路程）（求变速直线运动的路程）方法方法:分割、求和、取极限分割、求和、取极限.定积分的定义定积分的定义定义定义记为记为可积的两个可积的两个充分充分条件：条件：定理定理1定理定理2存在定理存在定理定积分的性质定积分的性质性质性质性质性质1 1性质性质性质性质2 2性质性质性质性质3 3性质性质性质性质5 5推论：推论：推论：推论：（1）（2）性质性质性质性质4 4性质性质性质性质7(7(定积分中值定理定积分中值定理定积分中值定理定积分中值定理)性质性质性质性质6 6积分中值公式积分中值公式积分中值公式积分中值公式牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式定理定理定理定理1 1定理定理定理定理2 2（原函数存在定理）（原函数存在定理）（原函数存在定理）（原函数存在定理）定理定理定理定理 3 3（微积分基本公式）（微积分基本公式）（微积分基本公式）（微积分基本公式）也可写成也可写成牛顿牛顿牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式莱布尼茨公式莱布尼茨公式定积分的计算法定积分的计算法换元公式换元公式换元公式换元公式（1 1）换元法）换元法）换元法）换元法（2 2）分部积分法）分部积分法）分部积分法）分部积分法分部积分公式分部积分公式分部积分公式分部积分公式记住一些结论记住一些结论广义积分广义积分(1)无穷限的广义积分无穷限的广义积分(2)无界函数的广义积分无界函数的广义积分定积分应用的常用公式定积分应用的常用公式(1)平面图形的面积平面图形的面积直角坐标情形直角坐标情形假如曲边梯形的曲边为参数方程假如曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积曲边梯形的面积参数方程所表示的函数参数方程所表示的函数极坐标情形极坐标情形(2)体积体积xyo平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积(3)平面曲线的弧长平面曲线的弧长弧长弧长A曲线弧为曲线弧为弧长弧长B曲线弧为曲线弧为C曲线弧为曲线弧为弧长弧长(4)旋转体的侧面积旋转体的侧面积xyo常数项级数常数项级数级数的部分和级数的部分和定义定义级数的收敛与发散级数的收敛与发散性质性质1 1:级数的每一项同乘一个不为零的常数级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变敛散性不变.性质性质2 2:收敛级数可以逐项相加与逐项相减收敛级数可以逐项相加与逐项相减.性质性质3 3:在级数前面加上有限项不影响级数的敛在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性散性.性质性质4:4:收敛级数加括弧后所成的级数仍旧收敛收敛级数加括弧后所成的级数仍旧收敛于原来的和于原来的和.级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件:收敛级数的基本性质收敛级数的基本性质常数项级数审敛法常数项级数审敛法常数项级数审敛法常数项级数审敛法正正 项项 级级 数数任意项级数任意项级数1.2.4.充要条件充要条件5.比较法比较法6.比值法比值法7.根值法根值法4.绝对收敛绝对收敛5.交错级数交错级数(莱布尼茨定理莱布尼茨定理)3.按基本性质按基本性质;一般项级数一般项级数4.绝对收敛绝对收敛定定义义2、正、正项级项级数及其数及其审敛审敛法法审敛审敛法法(1)(1)比比比比较审敛较审敛较审敛较审敛法法法法(2)(2)比比比比较审敛较审敛较审敛较审敛法的极限形式法的极限形式法的极限形式法的极限形式定义定义 正正 、负项相间的级数称为交织级数、负项相间的级数称为交织级数.交织级数及其审敛法交织级数及其审敛法定义定义 正项和负项随意出现的级数称为随意项级数正项和负项随意出现的级数称为随意项级数.随意项级数及其审敛法随意项级数及其审敛法重要参考级数重要参考级数:几何级数几何级数,P-,P-级数级数,调和级数调和级数.函数项级数函数项级数(1)定义定义(2)收敛点与收敛域收敛点与收敛域(3)和函数和函数(1)定定义义幂级幂级数数(2)(2)收收收收敛敛敛敛性性性性推论推论定义定义:正数正数R称为幂级数的称为幂级数的收敛半径收敛半径.幂级数的收敛域称为幂级数的幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间收敛区间.a.代数运算性代数运算性质质:加减法加减法(其中其中(3)幂级数的运算幂级数的运算乘法乘法乘法乘法(其中其中其中其中除法除法除法除法b.b.和函数的分析运算性和函数的分析运算性和函数的分析运算性和函数的分析运算性质质质质:幂级数绽开式幂级数绽开式(1)(1)定义定义定义定义(2)充要条件充要条件(3)唯一性唯一性(3)(3)绽开方法绽开方法绽开方法绽开方法a.干脆法干脆法(泰勒泰勒级级数法数法)步步骤骤:b.b.间间间间接法接法接法接法 依据唯一性依据唯一性,利用常利用常见绽见绽开式开式,通通过变过变量量代代换换,四四则则运算运算,恒等恒等变变形形,逐逐项项求求导导,逐逐项积项积分等方分等方法法,求求绽绽开式开式.(4)常见函数绽开式常见函数绽开式(1)(1)(1)(1)三角函数系三角函数系三角函数系三角函数系三角函数系三角函数系傅里叶级数傅里叶级数 上的积分不等于上的积分不等于 0.两个相同的函数的乘积在两个相同的函数的乘积在(2)傅里叶级数傅里叶级数定义定义三角级数三角级数其中其中称为傅里叶级数称为傅里叶级数.(3)(3)狄利克雷狄利克雷狄利克雷狄利克雷(Dirichlet)(Dirichlet)充分条件充分条件充分条件充分条件(收敛定理收敛定理收敛定理收敛定理)由由由由DirichletDirichlet充分条件可知充分条件可知充分条件可知充分条件可知:留意留意留意留意:(4)正弦级数与余弦级数正弦级数与余弦级数周期延拓周期延拓傅里叶绽开傅里叶绽开上的傅上的傅里里叶级数叶级数.注意注意:对于非周期函数对于非周期函数,如果函数如果函数 只在区间只在区间 上有上有定义定义,并且满足狄氏充分条件并且满足狄氏充分条件,也可展开成傅氏级数也可展开成傅氏级数.定义在定义在定义在定义在-,上的函数上的函数上的函数上的函数 f(x)f(x)的傅氏级数绽开法的傅氏级数绽开法的傅氏级数绽开法的傅氏级数绽开法:周期延拓周期延拓 F(x)f(x)在在 0,上展成上展成周期延拓周期延拓 F(x)余弦级数余弦级数奇延拓奇延拓偶延拓偶延拓正弦级数正弦级数 f(x)在在 0,上展成上展成注：注：定义在定义在0,上的函数展成正弦级数与余弦级数上的函数展成正弦级数与余弦级数(1)(1)假如假如假如假如 f(x)f(x)为奇函数，则有为奇函数，则有为奇函数，则有为奇函数，则有(在在在在 f f(x x)的连续点处的连续点处的连续点处的连续点处)(在在在在 f f(x x)的连续点处的连续点处的连续点处的连续点处)其中系数其中系数 为：为：(2)(2)假如假如假如假如 f(x)f(x)为偶函数，则有为偶函数，则有为偶函数，则有为偶函数，则有其中系数其中系数 为：为：注注注注:无论哪种情况无论哪种情况,在在 f(x)的间断点的间断点 x 处处,傅里叶级数傅里叶级数都收敛于都收敛于说明：说明：说明：说明：当函数定义在随意有限区间上时当函数定义在随意有限区间上时当函数定义在随意有限区间上时当函数定义在随意有限区间上时,方法方法方法方法1 1令令即即在在 上展成傅里叶级数上展成傅里叶级数周期延拓周期延拓将将在在 上的傅里叶级数。上的傅里叶级数。代入绽开式代入绽开式其绽开方法为其绽开方法为其绽开方法为其绽开方法为:方法方法方法方法2 2令令在在 上展成上展成正弦正弦正弦正弦或或余弦余弦余弦余弦级数级数奇奇奇奇或或偶偶偶偶式周期延拓式周期延拓将将 代入展开式代入展开式即即在在上的上的正弦正弦正弦正弦或或余弦余弦余弦余弦级数级数
