高等数学第二章导数与微分优秀PPT.ppt

第第2 2章章 导数与微分导数与微分本章重点本章重点本章重点本章重点导数与微分的概念；导数与微分的概念；导数与微分的概念；导数与微分的概念；基本初等函数的求导公式；基本初等函数的求导公式；基本初等函数的求导公式；基本初等函数的求导公式；求导法则求导法则求导法则求导法则;导数的应用导数的应用导数的应用导数的应用本章难点本章难点本章难点本章难点导数与微分的概念；导数与微分的概念；导数与微分的概念；导数与微分的概念；复合函数的求导法则。复合函数的求导法则。复合函数的求导法则。复合函数的求导法则。2.1 2.1 2.1 2.1 导数的概念导数的概念2.2 2.2 2.2 2.2 初等函数的导数与求导法则初等函数的导数与求导法则2.4 2.4 2.4 2.4 函数的微分及其应用函数的微分及其应用2.3 2.3 2.3 2.3 中值定理与中值定理与中值定理与中值定理与导数的应用导数的应用第第2 2章章 导数与微分导数与微分2.1.1 2.1.1 2.1.1 2.1.1 两个实例两个实例两个实例两个实例 2.1.2 2.1.2 2.1.2 2.1.2 导数的定义导数的定义导数的定义导数的定义2.1.4 2.1.4 2.1.4 2.1.4 函数的可导性与连续性的关系函数的可导性与连续性的关系函数的可导性与连续性的关系函数的可导性与连续性的关系 2.1 2.1 导数的概念导数的概念2.1.3 2.1.3 2.1.3 2.1.3 导数的几何意义导数的几何意义导数的几何意义导数的几何意义1 1 1 1、变速直线运动的速度、变速直线运动的速度、变速直线运动的速度、变速直线运动的速度设一质点在设一质点在 t 轴上从某一点起先作变速直线运轴上从某一点起先作变速直线运动，已知运动方程为动，已知运动方程为 s=s(t).记记 t=t0 时质点的位置坐时质点的位置坐标为标为 s0=s(t0).当当 t 从从 t0 增加到增加到 t0 t 时，时，s 相应地相应地在在 t 这段时间内的位移为这段时间内的位移为2.1.1 2.1.1 两个实例两个实例 而在而在而在而在 t t 时间内质点的平均速度为时间内质点的平均速度为时间内质点的平均速度为时间内质点的平均速度为随着随着随着随着 t t 的减小，平均速度的减小，平均速度的减小，平均速度的减小，平均速度就愈接近质点在时刻就愈接近质点在时刻就愈接近质点在时刻就愈接近质点在时刻t t0 0的的的的瞬时速度瞬时速度瞬时速度瞬时速度(简称简称简称简称速度速度速度速度).).但无论但无论但无论但无论 t t 取得怎样小，取得怎样小，取得怎样小，取得怎样小，平均速度平均速度平均速度平均速度总不能精确总不能精确总不能精确总不能精确刻画质点在时刻刻画质点在时刻刻画质点在时刻刻画质点在时刻 t t=t t0 0的运动的运动的运动的运动变更率。变更率。变更率。变更率。实行实行“极限极限”的手段：假如平均速度的手段：假如平均速度时的极限存在，时的极限存在，当当则自然地把此极限则自然地把此极限(记为记为 v v)定义为质点在定义为质点在 t=t0 时的瞬时速度或速度时的瞬时速度或速度:该极限值就是该极限值就是该极限值就是该极限值就是 t t0 0 时刻的瞬时速度时刻的瞬时速度时刻的瞬时速度时刻的瞬时速度 v v（t t0 0 ）。）。）。）。2 2 2 2、曲线的切线斜率、曲线的切线斜率、曲线的切线斜率、曲线的切线斜率设曲线设曲线L的方程为的方程为为为 L上的一个定点上的一个定点.点点 P0 的切线，可在的切线，可在曲线上取邻近于曲线上取邻近于P0 的点的点割线割线 P0 P 的斜率的斜率:为求曲线为求曲线 y=f(x)在在算出算出割线的极限位置割线的极限位置割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置切线位置切线位置割线的极限位置割线的极限位置割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置切线位置切线位置割线的极限位置割线的极限位置割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置切线位置切线位置割线的极限位置割线的极限位置割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置切线位置切线位置割线的极限位置割线的极限位置割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置切线位置切线位置割线的极限位置割线的极限位置割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置切线位置切线位置割线的极限位置割线的极限位置割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置切线位置切线位置割线的极限位置割线的极限位置割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置切线位置切线位置割线的极限位置割线的极限位置割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置切线位置切线位置线线 P0P 的极限位置的极限位置即为点即为点 P0 处的切线。处的切线。当当时，割时，割2 2 2 2、曲线的切线斜率、曲线的切线斜率、曲线的切线斜率、曲线的切线斜率割线的斜率割线的斜率就会无限接近切线的斜率就会无限接近切线的斜率变速直线运动的变速直线运动的变速直线运动的变速直线运动的瞬时瞬时瞬时瞬时速度速度速度速度曲线的切线斜率曲线的切线斜率曲线的切线斜率曲线的切线斜率导数导数导数导数定义定义2-12-1存在，则称函数存在，则称函数 y=f(x)在点在点 x0可导可导，并称此并称此极限值为函数极限值为函数 y=f(x)在点在点x0 的的导数导数，记作，记作设函数设函数 y=f(x)在点在点x0的某一个邻域内有定义的某一个邻域内有定义.若极限若极限或或2.1.2 2.1.2 导数的定义导数的定义注注1 1注注2 2注注3 3若极限不存在，则称若极限不存在，则称f(x)f(x)在在x0 x0不行导不行导.若若则称则称 f(x)在在 x0的导数的导数为为无穷大无穷大.若令若令当当时，时，此即说明导数也可简述为此即说明导数也可简述为差商的极限差商的极限.曲线曲线曲线曲线 y=f(x)在点在点x0处处的的的的切线斜率切线斜率切线斜率切线斜率运动方程为运动方程为运动方程为运动方程为 s s=s s(t t)在时刻在时刻在时刻在时刻 t t0 0 的的的的瞬时速度瞬时速度瞬时速度瞬时速度设函数设函数 y=f(x)在点在点x0的某一个邻域内有定义的某一个邻域内有定义.若极限若极限存在，则称存在，则称 y=f(x)在点在点 x0 左可导左可导，且称此极限值且称此极限值为函数为函数 y=f(x)在点在点 x0 的的左导数左导数，左右导数左右导数左右导数左右导数记作记作 f(x)在在x0可导的充要条件是：可导的充要条件是：f(x)在在 x0 既左可导既左可导又右可导，且又右可导，且即即同样可定义同样可定义右导数右导数：导函数的概念导函数的概念导函数的概念导函数的概念若函数若函数 y=f(x)在开区间在开区间I内每一点都可导，则称内每一点都可导，则称 f(x)在在I 内可导内可导.此时对此时对有导数有导数与之与之对应，从而在对应，从而在I内确定了一个新的函数，称为内确定了一个新的函数，称为y=f(x)的的导函数导函数，简称导数，记为，简称导数，记为此时导函数（简称导数）定义为此时导函数（简称导数）定义为可以看作导函数可以看作导函数在在x0的函数值，即的函数值，即注注区分下面两组符号区分下面两组符号:表示导函数表示导函数表示在表示在x0点的左、右导数；点的左、右导数；在在x0点的点的左、右极限左、右极限.依据导数定义求导，可分为如下三个步骤：依据导数定义求导，可分为如下三个步骤：依据导数定义求导，可分为如下三个步骤：依据导数定义求导，可分为如下三个步骤：例例1 1解：解：求常值函数求常值函数 c 的导数的导数.所以所以常值函数常值函数 y=f(x)=c 证明：证明：例例2 2由导数定义得由导数定义得证明证明(a 0,a1为常数）为常数）即即例例例例3 3 3 3证明：证明：证明：证明：证明证明为正整数为正整数.令令则则即即由二项式定理由二项式定理由二项式定理由二项式定理例例4 4 已知已知解：解：公式公式公式公式求求（1）当）当 x 0时，时，由导数定义由导数定义由导数定义由导数定义（3）x=0时，由于时，由于所以所以于是得于是得左右导数相等左右导数相等2.1.3 2.1.3 导数的几何意义导数的几何意义函数函数 y=f(x)的在的在 x0 处的导数即为曲线处的导数即为曲线 C:y=f(x)在在点点(x0,f(x0)的切线的斜率。的切线的斜率。即即曲线曲线y=f(x)切线方程为切线方程为法线方程为法线方程为例例例例5 5 5 5由导数的几何意义由导数的几何意义,得切线斜率为得切线斜率为切线方程为切线方程为法线方程为法线方程为解：解：解：解：证明：证明：证明：证明：2.1.4 2.1.4 函数的可导性与连续性的关系函数的可导性与连续性的关系（1）若）若 f(x)在在 x0点可导，则它在点可导，则它在 x0点必连续点必连续.f(x)在在 x0点可导，则点可导，则则有则有所以所以 f(x)在在 x0点连续点连续.反例：反例：反例：反例：（2）若）若 f(x)在在 x0点连续，则它在点连续，则它在 x0点未必可导点未必可导.f(x)=|x|在点在点 x00处连续但不行导处连续但不行导.一方面一方面所以所以 f(x)在在 x0点连续点连续.另一方面另一方面所以所以 f(x)在在x0点不行导点不行导.导数的概念导数的概念小结小结2.1.1 2.1.1 2.1.1 2.1.1 两个实例两个实例两个实例两个实例 2.1.2 2.1.2 2.1.2 2.1.2 导数的定义导数的定义导数的定义导数的定义2.1.4 2.1.4 2.1.4 2.1.4 函数的可导性与连续性的关系函数的可导性与连续性的关系函数的可导性与连续性的关系函数的可导性与连续性的关系 2.1.3 2.1.3 2.1.3 2.1.3 导数的几何意义导数的几何意义导数的几何意义导数的几何意义变速直线运动的变速直线运动的变速直线运动的变速直线运动的瞬时瞬时瞬时瞬时速度速度速度速度曲线的切线斜率曲线的切线斜率曲线的切线斜率曲线的切线斜率导数导数导数导数的本的本的本的本质质质质2.1.1 2.1.1 两个实例两个实例 物理意义物理意义物理意义物理意义几何几何几何几何意义意义意义意义定义定义2-12-1存在，则称函数存在，则称函数 y=f(x)在点在点 x0可导可导，并称此并称此极限值为函数极限值为函数 y=f(x)在点在点x0 的的导数导数，记作，记作设函数设函数 y=f(x)在点在点x0的某一个邻域内有定义的某一个邻域内有定义.若极限若极限或或2.1.2 2.1.2 导数的定义导数的定义注注1 1注注2 2注注3 3若极限不存在，则称若极限不存在，则称f(x)f(x)在在x0 x0不行导不行导.若若则称则称 f(x)在在 x0的导数的导数为为无穷大无穷大.若令若令当当时，时，导数定义其它常见形式：导数定义其它常见形式：设函数设函数 y=f(x)在点在点x0的某一个邻域内有定义的某一个邻域内有定义.若极限若极限存在，则称存在，则称 y=f(x)在点在点 x0 左可导左可导，且称此极限值且称此极限值为函数为函数 y=f(x)在点在点 x0 的的左导数左导数，左右导数左右导数左右导数左右导数记作记作 f(x)在在x0可导的充要条件是：可导的充要条件是：f(x)在在 x0 既左可导既左可导又右可导，且又右可导，且即即同样可定义同样可定义右导数右导数：导函数的概念导函数的概念导函数的概念导函数的概念若函数若函数 y=f(x)在开区间在开区间I内每一点都可导，则称内每一点都可导，则称 f(x)在在I 内可导内可导.此时对此时对有导数有导数与之与之对应，从而在对应，从而在I内确定了一个新的函数，称为内确定了一个新的函数，称为y=f(x)的的导函数导函数，简称导数，记为，简称导数，记为可以看作导函数可以看作导函数在在x0的函数值，即的函数值，即平均变更率平均变更率平均变更率平均变更率瞬时变更率瞬时变更率瞬时变更率瞬时变更率依据导数定义求导，可分为如下三个步骤：依据导数定义求导，可分为如下三个步骤：依据导数定义求导，可分为如下三个步骤：依据导数定义求导，可分为如下三个步骤：函数函数 y=f(x)的在的在 x0 处的导数即为曲线处的导数即为曲线 C:y=f(x)在在点点(x0,f(x0)的切线的斜率。的切线的斜率。即即曲线曲线y=f(x)切线方程为切线方程为法线方程为法线方程为2.1.3 2.1.3 2.1.3 2.1.3 导数的几何意义导数的几何意义导数的几何意义导数的几何意义2.1.4 2.1.4 函数的可导性与连续性的关系函数的可导性与连续性的关系（1）若）若 f(x)在在 x0点可导，则它在点可导，则它在 x0点必连续点必连续.（1）若）若 f(x)在在 x0点可导，则它在点可导，则它在 x0点必连续点必连续.（2）若）若 f(x)在在x0点连续，则它在点连续，则它在 x0点不确定可导点不确定可导.P58 习题习题2 2 1 ,3 作作 业业 2.1.2 2.1.2 2.1.2 2.1.2 函数函数函数函数四则运算的求导法则四则运算的求导法则四则运算的求导法则四则运算的求导法则2.1.3 2.1.3 2.1.3 2.1.3 反函数的求导法则反函数的求导法则反函数的求导法则反函数的求导法则2.1.6 2.1.6 2.1.6 2.1.6 隐函数的求导法隐函数的求导法隐函数的求导法隐函数的求导法2.1.1 2.1.1 2.1.1 2.1.1 几个基本初等函数的导数几个基本初等函数的导数几个基本初等函数的导数几个基本初等函数的导数2.1.4 2.1.4 2.1.4 2.1.4 复合函数的求导法则复合函数的求导法则复合函数的求导法则复合函数的求导法则2.1.7 2.1.7 2.1.7 2.1.7 对数求导法对数求导法对数求导法对数求导法2.1.8 2.1.8 2.1.8 2.1.8 高阶导数高阶导数高阶导数高阶导数2.1.5 2.1.5 2.1.5 2.1.5 基本初等函数的求导公式基本初等函数的求导公式基本初等函数的求导公式基本初等函数的求导公式2.2 2.2 初等函数的导数与求导法则初等函数的导数与求导法则例例1 1解：解：求常值函数求常值函数c 的导数的导数.对于常值函数对于常值函数 f(x)=c 的导数的导数.恒有恒有从而有从而有即即2.1.1 2.1.1 几个基本初等函数的导数几个基本初等函数的导数证明：证明：例例2 2由导数定义得由导数定义得证明证明(a 0,a1为常数）为常数）即即例例3 3证明：证明：由二项式定理由二项式定理推广：推广：证明证明为正整数为正整数.令令令令则则因此因此即即例例例例4 4 4 4解解解解例例例例5 5 5 5解解解解定理定理定理定理2.1.2 2.1.2 函数四则运算函数四则运算的求导法则的求导法则推论推论推论推论例例例例1 1 1 1解解解解例例例例2 2 2 2解解解解例例例例3 3 3 3解解解解同理可得同理可得例例例例4 4 4 4解解解解同理可得同理可得留意留意:分段函数分段函数求导时求导时,分界点导数用左右导数求分界点导数用左右导数求.例例例例5 5 5 5解解解解1.常数和基本初等函数的导数公式常数和基本初等函数的导数公式初等函数的导数初等函数的导数 小结小结2.函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则设设)(),(xvvxuu=可导，则可导，则（1）vuvu =)(,（2）uccu=)(（3）vuvuuv+=)(,（4）)0()(2 -=vvvuvuvu.(是常数是常数)定理定理定理定理2-52-5即即 反函数的导数等于干脆函数导数的倒数反函数的导数等于干脆函数导数的倒数.2.1.3 2.1.3 反函数的求导法则反函数的求导法则例例例例1 1 1 1解解解解同理可得同理可得例例例例2 2 2 2解解解解特殊地特殊地定理定理定理定理2-62-6即即 因变量对自变量求导因变量对自变量求导,等于因变量对中间变等于因变量对中间变量求导量求导,乘以中间变量对自变量求导乘以中间变量对自变量求导.(.(链式法则链式法则)2.1.4 2.1.4 复合函数的求导法则复合函数的求导法则推广推广推广推广例例例例3 3 3 3解解解解例例例例4 4 4 4解解解解例例例例5 5 5 5解解解解例例例例6 6 6 6解解解解例例例例7 7 7 7解解解解例例例例8 8 8 8解解解解例例例例9 9 9 9解解解解复合函数的求导法则复合函数的求导法则复合函数的求导法则复合函数的求导法则任何初等函数的导数都可以按基本初等函数的求导任何初等函数的导数都可以按基本初等函数的求导公式和上述求导法则求出公式和上述求导法则求出.反函数的导数等于干脆函数导数的倒数反函数的导数等于干脆函数导数的倒数反函数的导数等于干脆函数导数的倒数反函数的导数等于干脆函数导数的倒数小小 结结留意留意:初等函数的导数仍为初等函数初等函数的导数仍为初等函数.作作 业业 P58 习题习题2 2 第第4 4题的双号题题的双号题定义定义定义定义:隐函数的显化隐函数的显化2.1.6 2.1.6 隐函数的求导法隐函数的求导法 例例例例（显化）（显化）（不能显化）（不能显化）隐函数求导法则隐函数求导法则隐函数求导法则隐函数求导法则:把隐函数（把隐函数（y）看成自变量（）看成自变量（x）的复合函数，）的复合函数，用复合函数求导法则用复合函数求导法则:问题问题问题问题:隐函数不易显化或隐函数不易显化或 不能显化如何求导不能显化如何求导?方程两边干脆对自变量（方程两边干脆对自变量（x）求导）求导.例例例例1 1 1 1解解解解解得解得例例例例2 2 2 2解解解解所求切线方程为所求切线方程为明显通过原点明显通过原点.2.1.7 2.1.7 对数求导法对数求导法视察函数视察函数方法方法:先在方程两边取对数先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导然后利用隐函数的求导方法求出导数方法求出导数.-对数求导法对数求导法对数求导法对数求导法适用范围适用范围:例例例例3 3 3 3解解解解等式两边取对数得等式两边取对数得解解解解等式两边取对数得等式两边取对数得例例例例4 4 4 41.1.1.1.高阶导数的定义高阶导数的定义高阶导数的定义高阶导数的定义问题问题问题问题:变速直线运动的加速度变速直线运动的加速度变速直线运动的加速度变速直线运动的加速度.定义定义定义定义2.1.8 2.1.8 高阶导数高阶导数记作记作三阶导数的导数称为四阶导数三阶导数的导数称为四阶导数,二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.二阶导数的导数称为三阶导数二阶导数的导数称为三阶导数,2.2.2.2.高阶导数求法举例高阶导数求法举例高阶导数求法举例高阶导数求法举例例例例例5 5 5 5解解解解干脆法干脆法干脆法干脆法:由高阶导数的定义逐步求高阶导数由高阶导数的定义逐步求高阶导数.解解解解例例例例6 6 6 6解解解解例例例例7 7 7 7解解解解同理可得同理可得例例例例8 8 8 8例例例例9 9 9 9解解解解两边取对数两边取对数对数求导法对数求导法对数求导法对数求导法先在方程两边取对数先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求然后利用隐函数的求导方法求出导数导方法求出导数.适用范围适用范围:隐函数求导法则隐函数求导法则隐函数求导法则隐函数求导法则用复合函数求导法则干脆对方程两边求导用复合函数求导法则干脆对方程两边求导.小小 结结高阶导数高阶导数高阶导数高阶导数记作记作二阶导数的导数称为三阶导数二阶导数的导数称为三阶导数,(二阶和二阶以上的导数二阶和二阶以上的导数)作作 业业导数的应用导数的应用P58 习题习题2 5(1)(3);6(4)(5)(6);5(1)(3);6(4)(5)(6);7(3)(4);8.7(3)(4);8.2.1 2.1 2.1 2.1 导数的概念导数的概念导数的概念导数的概念2.2 2.2 2.2 2.2 初等函数的导数与求导法则初等函数的导数与求导法则初等函数的导数与求导法则初等函数的导数与求导法则2.4 2.4 2.4 2.4 函数的微分及其应用函数的微分及其应用函数的微分及其应用函数的微分及其应用2.3 2.3 2.3 2.3 中值定理与中值定理与中值定理与中值定理与导数的应用导数的应用导数的应用导数的应用第第2 2章章 导数与微分导数与微分2.3 2.3 中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用一、拉格朗日一、拉格朗日(LagrangeLagrange)中值定理中值定理二、洛必达法则二、洛必达法则二、洛必达法则二、洛必达法则三、函数的单调性和极值三、函数的单调性和极值三、函数的单调性和极值三、函数的单调性和极值五、五、五、五、函数曲线的凹凸性与拐点函数曲线的凹凸性与拐点函数曲线的凹凸性与拐点函数曲线的凹凸性与拐点七七七七、函数图形的描绘、函数图形的描绘、函数图形的描绘、函数图形的描绘六、六、六、六、函数曲线的渐近线函数曲线的渐近线函数曲线的渐近线函数曲线的渐近线四、四、四、四、函数的最大值与最小值函数的最大值与最小值函数的最大值与最小值函数的最大值与最小值定理定理2-72-7（罗尔（罗尔（Rolle）中值定理）中值定理）若 f(x)满足：（1）在a,b上连续，（2）在(a,b)内可导，（3）f(a)=f(b)，则至少存在一点使得一、拉格朗日(Lagrange)中值定理罗尔中值定理的几何意义罗尔中值定理的几何意义在两端高度相同的一段连续曲线上，若除端点外它在每一点都有不垂直于x 轴的切线，则在其中必至少有一条切线平行于x 轴.定理定理定理定理2-82-82-82-8（拉格朗日（拉格朗日（拉格朗日（拉格朗日(Lagrange)(Lagrange)(Lagrange)(Lagrange)中值定理）中值定理）中值定理）中值定理）几何说明几何说明:注注论.因此，罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一个特殊情形.若f(x)在a,b上满足拉格朗日中值定理的条件，则当f(a)=f(b)时，即得出罗尔中值定理的结推论推论推论推论1 1推论推论推论推论2 2留意留意留意留意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.#定义定义定义定义例如例如,二、洛必达法则二、洛必达法则定理定理2-9(2-9(洛必达法则洛必达法则)设设 满足满足例例例例1 1 1 1解解解解例例例例2 2 2 2解解解解例例例例3 3 3 3解解解解例例例例4 4 4 4解解解解例例例例5 5 5 5解解解解例例例例6 6 6 6解解解解留意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，留意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，留意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，留意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，与其它求极限方法结合运用，效果更好与其它求极限方法结合运用，效果更好与其它求极限方法结合运用，效果更好与其它求极限方法结合运用，效果更好.例例例例7 7 7 7解解解解例例例例8 8 8 8解解解解关键关键关键关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型 步骤步骤步骤步骤:例例例例9 9 9 9解解解解步骤步骤步骤步骤:步骤步骤步骤步骤:例例例例10101010解解解解例例例例11111111解解解解例例例例12121212解解解解例例例例13131313解解解解极限不存在极限不存在极限不存在极限不存在洛必达法则失效。洛必达法则失效。留意：洛必达法则的运用条件留意：洛必达法则的运用条件留意：洛必达法则的运用条件留意：洛必达法则的运用条件#(一一)函数的单调性函数的单调性定理定理定理定理2-102-10三、函数的单调性和极值三、函数的单调性和极值三、函数的单调性和极值三、函数的单调性和极值证证证证应用拉氏定理应用拉氏定理,得得例例例例1 1 1 1解解解解例例例例2 2 2 2解解解解单调区间为单调区间为单调区间求法导数等于零的点和不行导点，可能是单调区间导数等于零的点和不行导点，可能是单调区间的分界点的分界点方法方法方法方法:例例例例3 3 3 3解解解解单调区间为单调区间为x例例例例3 3 3 3解解解解列表探讨：列表探讨：1200+单调区间为单调区间为函数的定义域为函数的定义域为例例例例4 4 4 4解解解解#x00+列表探讨：列表探讨：（二）函数的极值定义定义定义定义2-32-3函数的极大值函数的极大值与微小值统称与微小值统称为极值为极值,使函数使函数取得极值的点取得极值的点称为极值点称为极值点函数极值的求法函数极值的求法定理定理定理定理2-112-112-112-11(必要条件必要条件)定义定义定义定义留意留意留意留意:例如例如,定理定理定理定理2-12(2-12(2-12(2-12(第一充分条件第一充分条件第一充分条件第一充分条件)微小值微小值微小值微小值极大值极大值极大值极大值留意留意:函数的不行导点函数的不行导点,也可能是函数的极值点。也可能是函数的极值点。不是极值点不是极值点不是极值点不是极值点情形情形情形情形函数的驻点和不行函数的驻点和不行导点导点,统称为函数极统称为函数极值的可疑点。值的可疑点。求极值的步骤求极值的步骤求极值的步骤求极值的步骤:极值的极值的可疑点可疑点可疑点可疑点例例例例1 1 1 1解解解解列表探讨列表探讨极极大大值值微微小小值值图形如下图形如下例例例例2 2 2 2解解解解定理定理2-13 2-13（极值的其次充分条件）（极值的其次充分条件）注注 设 f(x)在x0二阶可导，且（1）若则 f(x)在x0取得极大值；（2）若则 f(x)在x0取得微小值.若则x0是不是极值，须要另行考虑.证证证证例例例例3 3 3 3解解解解图形如下图形如下留意留意留意留意:例例3 3 解：解：试问a 为何值时，函数在处取得极值？它是极大值还是微小值？求此极值.由假设知由此可得即 a=2.又当a=2时，且所以f(x)在处取得极大值，且极大值#小 结洛必达法则洛必达法则一、拉格朗日一、拉格朗日(LagrangeLagrange)中值定理中值定理二、洛必达法则二、洛必达法则二、洛必达法则二、洛必达法则(一一)单调性单调性定理定理定理定理1 1三、函数的单调性和极值三、函数的单调性和极值单调区间求法导数等于零的点和不行导点，可能是单调区间导数等于零的点和不行导点，可能是单调区间的分界点的分界点方法方法方法方法:定理定理定理定理2 2 2 2(第一充分条件第一充分条件)定理定理定理定理3(3(3(3(其次充分条件其次充分条件其次充分条件其次充分条件)求极值的步骤求极值的步骤求极值的步骤求极值的步骤:极值的极值的可疑点可疑点可疑点可疑点求函数的单调区间和极值的步骤求函数的单调区间和极值的步骤求函数的单调区间和极值的步骤求函数的单调区间和极值的步骤:极值的极值的可疑点可疑点可疑点可疑点#P58 习题习题2 10 (1)(2)(5)(7)(8)11 12(2)(4)13 作作 业业 2.1 2.1 2.1 2.1 导数的概念导数的概念导数的概念导数的概念2.2 2.2 2.2 2.2 初等函数的导数与求导法则初等函数的导数与求导法则初等函数的导数与求导法则初等函数的导数与求导法则2.4 2.4 2.4 2.4 函数的微分及其应用函数的微分及其应用函数的微分及其应用函数的微分及其应用2.3 2.3 2.3 2.3 中值定理与中值定理与中值定理与中值定理与导数的应用导数的应用导数的应用导数的应用第第2 2章章 导数与微分导数与微分2.3 2.3 中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用一、拉格朗日一、拉格朗日(LagrangeLagrange)中值定理中值定理二、洛必达法则二、洛必达法则二、洛必达法则二、洛必达法则三、函数的单调性和极值三、函数的单调性和极值三、函数的单调性和极值三、函数的单调性和极值五、五、五、五、函数曲线的凹凸性与拐点函数曲线的凹凸性与拐点函数曲线的凹凸性与拐点函数曲线的凹凸性与拐点七七七七、函数图形的描绘、函数图形的描绘、函数图形的描绘、函数图形的描绘六、六、六、六、函数曲线的渐近线函数曲线的渐近线函数曲线的渐近线函数曲线的渐近线四、四、四、四、函数的最大值与最小值函数的最大值与最小值函数的最大值与最小值函数的最大值与最小值定理定理2-9(2-9(洛必达法则洛必达法则)设设 满足满足洛必达法则洛必达法则(一一)单调性的判别法单调性的判别法定理定理定理定理2-102-10三、函数的单调性和极值三、函数的单调性和极值（二）单调区间求法导数等于零的点和不行导点，可能是单调区间导数等于零的点和不行导点，可能是单调区间的分界点的分界点方法方法方法方法:定义定义定义定义2-32-32-32-3（三）函数极值的定义函数的极大值与微小值统称为极值函数的极大值与微小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点使函数取得极值的点称为极值点.（四）函数极值的求法（四）函数极值的求法定理定理定理定理 2-11 2-11 2-11 2-11(必要条件必要条件)定义定义定义定义定理定理定理定理2-12(2-12(2-12(2-12(第一充分条件第一充分条件第一充分条件第一充分条件)函数的驻点和不行导点函数的驻点和不行导点,统称为函数极值的可疑点。统称为函数极值的可疑点。求极值的步骤求极值的步骤求极值的步骤求极值的步骤:极值的极值的可疑点可疑点可疑点可疑点求函数的单调区间和极值的步骤求函数的单调区间和极值的步骤求函数的单调区间和极值的步骤求函数的单调区间和极值的步骤:极值的极值的可疑点可疑点可疑点可疑点例例1 1 解：解：求的极值点与极值.在内连续，当 x 0时，有令得驻点 x=1.又当x=0时，函数的 导数不存在.列表探讨如下：不存在故得函数f(x)的极大值点 x=0，极大值 f(0)=0；微小值点 x=1，极大值 f(1)=3.极大值微小值#定理定理2-13 2-13（极值的其次充分条件）（极值的其次充分条件）注注 设 f(x)在x0二阶可导，且（1）若则 f(x)在x0取得极大值；（2）若则 f(x)在x0取得微小值.若则x0是不是极值，须要另行考虑.解：解：解：解：试问试问a 为何值时，函数为何值时，函数在在处取得极值？它是极大值还是微小值？求此处取得极值？它是极大值还是微小值？求此极值极值.由假设知由假设知由此可得由此可得即即 a=2.又当又当a=2时，时，且且,所以所以 f(x)在在处取得极大值，处取得极大值，且极大值且极大值#P P59 59 13 13 四、四、四、四、函数的最大值与最小值函数的最大值与最小值函数的最大值与最小值函数的最大值与最小值最值的取法分以下两种状况：最值的取法分以下两种状况：（1）f(x)的最值在的最值在(a,b)内取得，则这个最值内取得，则这个最值（2）f(x)的最值在边界点的最值在边界点x=a,b处取得处取得.明显为明显为 f(x)的极值；的极值；于是，可以通过比较极值点与边界点处的取值于是，可以通过比较极值点与边界点处的取值来确定最值来确定最值.取得，所以也可以干脆比较驻点，不行导点与边界取得，所以也可以干脆比较驻点，不行导点与边界点处的取值来确定最小值与最大值点处的取值来确定最小值与最大值.又由极值点只可能在驻点与不行导点处又由极值点只可能在驻点与不行导点处步骤步骤步骤步骤:1.求驻点和不行导点求驻点和不行导点;2.求区间端点及驻点和不行导点的函数值求区间端点及驻点和不行导点的函数值,比较大小比较大小,那个大那个就是最大值那个大那个就是最大值,那个小那个小 那个就是最小值那个就是最小值;留意留意留意留意:假如区间内只有一个极值假如区间内只有一个极值假如区间内只有一个极值假如区间内只有一个极值,则这个极值就则这个极值就则这个极值就则这个极值就是最值是最值是最值是最值.(.(.(.(最大值或最小值最大值或最小值最大值或最小值最大值或最小值)应用举例例例例例2 2 2 2解解解解计算计算比较得比较得例例3 3解解:实际问题求最值应留意实际问题求最值应留意:(1)建立目标函数建立目标函数;(2)求最值求最值;（一）曲线凹凸的定义（一）曲线凹凸的定义问题问题:如何探讨曲线的弯曲方向如何探讨曲线的弯曲方向?图形上随意弧段位图形上随意弧段位于所张弦的上方于所张弦的上方图形上随意弧段位图形上随意弧段位于所张弦的下方于所张弦的下方五、五、五、五、函数曲线的凹凸性与拐点函数曲线的凹凸性与拐点函数曲线的凹凸性与拐点函数曲线的凹凸性与拐点定义定义定义定义2-42-42-42-4如图所示：（二）曲线凹凸的判定定理定理定理定理2-142-142-142-14例例例例1 1 1 1解解解解留意到留意到留意到留意到,求拐点和凹凸区间的步骤求拐点和凹凸区间的步骤求拐点和凹凸区间的步骤求拐点和凹凸区间的步骤例例例例2 2 2 2解解解解凹的凹的凸的凸的凹的凹的拐点拐点拐点拐点例例3 3解解#凹 凸 性 小 结极值是函数的局部性概念极值是函数的局部性概念:极大值可能小于微极大值可能小于微小值小值,微小值可能大于极大值微小值可能大于极大值.判别法判别法判别法判别法第一充分条件第一充分条件;其次充分条件其次充分条件;留意留意留意留意:最值与极值的区分最值与极值的区分最值与极值的区分最值与极值的区分最值是整体概念。最值是整体概念。留意运用留意运用留意运用留意运用条件条件条件条件曲线的弯曲方向曲线的弯曲方向凹凸性凹凸性;变更弯曲方向的点变更弯曲方向的点拐点。拐点。凹凸性的判定；凹凸性的判定；接六渐进线P59 习题习题2 16,18,20(1)(3)作作 业业 2.3 2.3 中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用一、拉格朗日一、拉格朗日(LagrangeLagrange)中值定理中值定理二、洛必达法则二、洛必达法则二、洛必达法则二、洛必达法则三、函数的单调性和极值三、函数的单调性和极值三、函数的单调性和极值三、函数的单调性和极值五、五、五、五、函数曲线的凹凸性与拐点函数曲线的凹凸性与拐点函数曲线的凹凸性与拐点函数曲线的凹凸性与拐点七七七七、函数图形的描绘、函数图形的描绘、函数图形的描绘、函数图形的描绘六、六、六、六、函数曲线的渐近线函数曲线的渐近线函数曲线的渐近线函数曲线的渐近线四、四、四、四、函数的最大值与最小值函数的最大值与最小值函数的最大值与最小值函数的最大值与最小值直线 L 称为曲线C的渐近曲线是指：曲线上的点P 沿曲线无限远离原点时，点P与直线的距离趋于0.一般来说,渐近线可分为:斜渐近线斜渐近线,与垂直渐近线垂直渐近线,水平渐近线水平渐近线如下图所示：六、六、六、六、函数曲线的渐近线函数曲线的渐近线函数曲线的渐近线函数曲线的渐近线1.1.1.1.铅直渐近线铅直渐近线铅直渐近线铅直渐近线2.2.2.2.水平渐近线水平渐近线水平渐近线水平渐近线六、六、六、六、函数曲线的渐近线函数曲线的渐近线函数曲线的渐近线函数曲线的渐近线3.3.3.3.斜渐近线斜渐近线斜渐近线斜渐近线斜渐近线求法斜渐近线求法斜渐近线求法斜渐近线求法:留意留意留意留意:例例例例1 1 1 1解解解解图形图形图形图形#七七七七、函数图形的描绘、函数图形的描绘、函数图形的描绘、函数图形的描绘利用函数特性利用函数特性描绘函数图形描绘函数图形描绘函数图形描绘函数图形.其次步其次步第三步第三步第一步第一步求出函数的定义域求出函数的定义域,推断奇偶性、周期性；推断奇偶性、周期性；第六步第六步第六步第六步第四步第四步第四步第四步 确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐近线确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐近线 以及其他变更趋势以及其他变更趋势;第五步第五步第五步第五步例例2 2 解解列表探讨如下：作函数的图形.函数的定义域为令得 x=2或 1；令得 x=2.：单增凸；：单增凸；：单减凸；：单减凸；：单减凹；：单减凹；：单增凹：单增凹.又又又因为又因为所以所以 x=1是曲线的垂直渐近线是曲线的