解对初值的连续性与可微性定理.ppt
3.3 解对初值的连续性和可微性/Continuous and differentiable dependence of the solutions/解对初值的连续性解对初值的连续性 解对初值的可微性解对初值的可微性本节要求本节要求：1 了解解对初值及参数的连续依赖性定理；了解解对初值及参数的连续依赖性定理；2 了解解对初值及参数的可微性定理。了解解对初值及参数的可微性定理。内容提要内容提要3.3 Continuity&differentiability Continuity&differentiability考察考察的解的解 对初值的一对初值的一些基本性质些基本性质解对初值的连续性解对初值的连续性 解对初值和参数的连续性解对初值和参数的连续性 解对初值的可微性解对初值的可微性 内容内容内容内容:yxG图例分析图例分析图例分析图例分析(见右见右见右见右)解可看成是关于解可看成是关于的三元函数的三元函数满足满足 解对初值的对称性解对初值的对称性:前提前提前提前提解存在唯一解存在唯一例例:Q:Q:Q:Q:当初值发生变化时当初值发生变化时当初值发生变化时当初值发生变化时,对应的解是如何变化的对应的解是如何变化的对应的解是如何变化的对应的解是如何变化的?当初始值微小变动时当初始值微小变动时当初始值微小变动时当初始值微小变动时,方程的解变化是否也是很小呢？方程的解变化是否也是很小呢？方程的解变化是否也是很小呢？方程的解变化是否也是很小呢？按解的存在范围是否有限按解的存在范围是否有限按解的存在范围是否有限按解的存在范围是否有限,又分成下面两个问题又分成下面两个问题又分成下面两个问题又分成下面两个问题:Q1:Q1:解解在在某某有有限限闭闭区区间间 a,b 上上有有定定义义,讨讨论论初初值值 的的微微小小变变化化对对解解的的影影响响情情况况,称称为为解解对对初初值值的的连连续续性性.内内 容容包包 括括:当当初初值值发发生生小小的的变变化化时时,所所得得到到的的解解是是否否仍仍在在 a,b上上有有定定义义以以及及解解在在整整个个区区间间 a,b上上是是否否也也变变化化很很小小?Q2:Q2:解解在在某某个个无无限限闭闭区区间间 上上有有定定义义,讨讨论论初初值值 的的微微小小变变化化是是否否仍仍有有解解在在 上上有有定定义义,且且解解在在整整个个区区 间间 上上变变化化也也很很小小?这这种种问问题题称称为为解解的的稳稳定定性性问问题题.3.3.1 解对初值的对称性定理解对初值的对称性定理设 f(x,y)于域 G 内连续且关于 y 满足利普希茨条件，是初值问题的唯一解，则在此表达式中，与 可以调换其相对位置，即在解的存在范围内成立着关系式3.3 Continuity&differentiability Continuity&differentiability证明则由解的唯一性知则由解的唯一性知,即此解也可写成即此解也可写成:且显然有且显然有:解对初值的连续依赖性定理解对初值的连续依赖性定理假设 f(x,y)于域 G 内连续且关于 y 满足局部利普希茨条件，是初值问题的解，它于区间 有定义 ，那么，对任意给定的 ，必存在正数 使得当时，方程满足条件 的解在区间也有定义，并且3.3 Continuity&differentiability Continuity&differentiability引理引理 如果 f(x,y)在某域 D 内连续，且关于 y 满足利普希兹条件（利普希兹常数为L），则方程(3.1.1)任意两个解 在它们公共存在区间成立不等式其中 为所考虑区间内的某一值。证明证明设 在区间 均有定义，令不妨设因此，有3.3 Continuity&differentiability Continuity&differentiability则于是因此，在区间 a,b 上 为减函数，有3.3 Continuity&differentiability Continuity&differentiability对于区间则则并且已知它有解类似以上推导过程，令注意到因此两边取平方根，得3.3 Continuity&differentiability Continuity&differentiability解对初值的连续依赖性定理的证明解对初值的连续依赖性定理的证明解对初值的连续依赖性定理的证明解对初值的连续依赖性定理的证明条件条件条件条件:I.I.I.I.在在在在G G内连续且关于内连续且关于内连续且关于内连续且关于 满足局部满足局部满足局部满足局部L L L Lips.ips.ips.ips.条件条件条件条件;II.II.II.II.是是是是(1)(1)(1)(1)满足满足满足满足 的解的解的解的解,定义定义定义定义 区间为区间为区间为区间为 a,ba,b.结论结论结论结论:对对对对 ,使得当使得当使得当使得当时时时时,方程方程方程方程(1)(1)(1)(1)过点过点过点过点 的解的解的解的解 在在在在 a,ba,b 上也有上也有上也有上也有定义定义定义定义,且且且且 方程方程方程方程记积分曲线段记积分曲线段记积分曲线段记积分曲线段S S：显然显然显然显然S S是是是是xyxy平面上的有界闭集平面上的有界闭集平面上的有界闭集平面上的有界闭集.第一步第一步第一步第一步:找区域找区域找区域找区域D D,使使使使 ,且且且且 在在在在D D上满足上满足上满足上满足L Lips.ips.条件条件条件条件.yxG(见下图见下图见下图见下图)由已知条件由已知条件由已知条件由已知条件,对对对对 ,存在以它为中心的圆存在以它为中心的圆存在以它为中心的圆存在以它为中心的圆 ,使使使使 在其内在其内在其内在其内满足满足满足满足L L L Lips.ips.ips.ips.条件条件条件条件,李普希茨常数为李普希茨常数为李普希茨常数为李普希茨常数为 .根据有限根据有限根据有限根据有限覆盖定理覆盖定理覆盖定理覆盖定理,存在存在存在存在N N,当当当当 时时时时,有有有有 对对对对 ,记记记记则以则以则以则以 为半径的圆为半径的圆为半径的圆为半径的圆,当其圆心从当其圆心从当其圆心从当其圆心从S S的的的的左端点沿左端点沿左端点沿左端点沿S S 运动到右端点时运动到右端点时运动到右端点时运动到右端点时,扫过扫过扫过扫过的区域即为符合条件的要找区域的区域即为符合条件的要找区域的区域即为符合条件的要找区域的区域即为符合条件的要找区域D Dba思路分析：思路分析：思路分析：思路分析：00第二步第二步第二步第二步:证明证明证明证明 在在在在 a,ba,b 上有定义上有定义上有定义上有定义.断言，必存在这样的正数使得只要 满足不等式则解 必然在区间 也有定义。由于D是有界闭区域，且 f(x，y)在其内关于 y 满足利普希茨条件，由延拓性定理知，解 必能延拓到区域D的边界上。设它在D的边界上的点为这是必然有3.3 Continuity&differentiability Continuity&differentiability因为否则设 则由引理由 的连续性，对必存在使得当 时有取则当3.3 Continuity&differentiability Continuity&differentiability于是对一切 成立，特别地有即点均落在D的内部，而不可能位于D的边界上。与假设矛盾，因此，解 在区间a,b上有定义。3.3 Continuity&differentiability Continuity&differentiability第三步第三步第三步第三步:证明证明证明证明在不等式在不等式在不等式在不等式(*)(*)(*)(*)中将区间中将区间中将区间中将区间 c,dc,d 换成换成换成换成 a,ba,b 即得即得即得即得.的解 作为 的函数在它的存在范围内是连续的。解对初值的连续性定理解对初值的连续性定理假设 f(x,y)于域 G 内连续且关于 y 满足局部利普希茨条件，则方程3.3 Continuity&differentiability Continuity&differentiability1.1.含参数的一阶方程表示含参数的一阶方程表示2.2.一致利普希兹条件一致利普希兹条件 设函数满足局部利普希兹局部利普希兹 (Lipschitz)(Lipschitz)条件条件，为中心的球 ，使得对任何其中L 是与 无关的正数。在 内连续，且在 内 都存在以成立不等式3.3 Continuity&differentiability Continuity&differentiability一致地一致地关于 y 即对 内的每一点 由解的存在唯一性定理，对每一方程 的解唯一确定。记为3.3 Continuity&differentiability Continuity&differentiability解对初值和参数的连续依赖性定理解对初值和参数的连续依赖性定理假设 于域 内连续，且在 内关于 y 一致地满足局部利普希茨条件，是方程 通过点 的解，在区间 那么，对任意给定的 ，必存在正数时，方程满足条件 的解在区间也有定义，并且有定义其中使得当3.3 Continuity&differentiability Continuity&differentiability的解 作为 的函数在它的存在范围内是连续的。解对初值和参数的连续性定理解对初值和参数的连续性定理假设 于域 内连续，且在 内关于 y 一致地满足局部利普希茨条件，则方程3.3 Continuity&differentiability Continuity&differentiability解对初值的可微性定理解对初值的可微性定理的解 作为 的函数在它的存在范围内是连续可微的。若函数 f(x,y)以及 都在区域 G 内连续，则方程3.3 Continuity&differentiability Continuity&differentiability3.3 Continuity&differentiability Continuity&differentiability证明证明由在区域 G 内连续，推知 f(x,y)在G 内关于 y 满足局部利普希茨条件。因此，解对初值的连续性定理成立，即下面进一步证明对于函数 的存在范围内任一点的偏导数在它的存在范围内关于 是连续的。存在且连续。3.3 Continuity&differentiability Continuity&differentiability设由初值为足够小的正数）所确定的方程的解分别为即于是其中先证存在且连续。3.3 Continuity&differentiability Continuity&differentiability注意到 及的连续性，有其中 具有性质类似地其中 与 具有相同的性质，因此对3.3 Continuity&differentiability Continuity&differentiability即是初值问题的解，在这里 被视为参数。显然，当 时上述初值问题仍然有解。3.3 Continuity&differentiability Continuity&differentiability根据解对初值和参数的连续性定理，知是的连续函数。从而存在而是初值问题的解。且 ，显然的连续函数。它是3.3 Continuity&differentiability Continuity&differentiability再证存在且连续。为初值设所确定的方程的解。类似地可推证是初值问题的解。因而3.3 Continuity&differentiability Continuity&differentiability其中 具有性质故有至于 的存在及连续性，只需注意到显然它是的连续函数。是方程的解，因而由 及 的连续性即直接推的结论。证毕。证毕。3.3 Continuity&differentiability Continuity&differentiability作业作业：P.103 第第 3,4 题题1 已知方程试求3.3 Continuity&differentiability Continuity&differentiability课堂练习课堂练习按照公式，有由于，因此，我们有时有课堂练习答案提示课堂练习答案提示
