几何知识与三角形.ppt

第六讲 几何知识与三角形徐 燕一、几何初步考点梳理：1会比较角的大小，能估计一个角的大小，会计算角度的和与差，认识度、分、秒，会进行简单换算2相交线与平行线了解补角、余角、对顶角，知道等角的余角相等、等角的补角相等、对顶角相等.了解垂线、垂线段等概念，了解垂线段最短的性质，体会点到直线距离的意义 知道过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线，会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线.知道两直线平行同位角相等，进一步探索平行线的性质知道过直线外一点有且仅有一条直线平行于已知直线，会用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线体会两条平行线之间距离的意义，会度量两条平行线之间的距离.基础概要考点1.计算几何图形的数量考点2.两角互补、互余定义及其性质的应用考点3.角的有关运算考点4.图形的转化考点5.方位角二、三角形(基本认识)考点梳理：1了解三角形有关概念(内角、外角、中线、高、角平分线)，会画出任意三角形的角平分线、中线和高，了解三角形的稳定性2探索并掌握三角形中位线的性质.基础概要：考点1.三角形的三条重要线段三角形的中线、角平分线和高是三角形的三条重要线段，它们具有十分重要的性质，三角形的高构造了垂直的条件，三角形的中线隐含线段相等，通过三角形的中线可以把三角形的面积分成相等的两部分，三角形的角平分线提供了角相等的条件掌握这些概念，对解与三角形有关的问题十分重要考点2.三角形的相关定理(1)三角形的内角和等于_.(2)三角形的外角和为360(3)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和(4)三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角180三、等腰三角形考点梳理：1了解等腰三角形的有关概念，探索并掌握等腰三角形的性质和一个三角形是等腰三角形的条件2了解等边三角形的概念并探索及其性质.知识概要：考点1.等腰三角形的定义和性质(1)等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形(2)等腰三角形的性质：等腰三角形的两条腰相等；等边对等角：等腰三角形的两底角相等(3)三线合一：等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的角平分形三线合一(4)等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边上的高(中线、或角平分线)所在的直线考点2.等腰三角形的识别方法(判定)(1)定义：有两边相等的三角形是等腰三角形(2)等角对等边：有两个角相等的三角形是等腰三角形考点3.等边三角形1识别方法(判定)(1)定义：三边相等的三角形是等边三角形(2)三个角相等的三角形是等边三角形(或有两个角分别为60的三角形)(3)有一个角为60的等腰三角形2特征(性质)(具有等腰三角形的性质，除此之外的性质还有)：(1)等边三角形三条边相等；(2)等边三角形三个角相等都等于60.四、直角三角形考点梳理：1了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质和一个三角形是直角三角形的条件2体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单问题；会用勾股定理的逆定理判断直角三角形.基础概要：考点1.直角三角形的性质及其判定1性质：(1)直角三角形的两锐角互余(即它们的和为90)(2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半(3)直角三角形中30的角所对的直角边等于斜边的一半2判定：(1)有一个角是直角的三角形是直角三角形(2)如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半那么这个三角形是直角三角形考点2.勾股定理及其逆定理的应用(1)勾股定理：直角三角形中，两边的平方和等于斜边的平方(2)逆定理：如果一个三角形有两边的平方等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形要证明以三条线段(或线段所在的直线)为边的三角形是直角三角形，应设法求出三边的长或关系式，利用勾股定理的逆定理证明考点4.利用面积关系解决问题利用勾股定理求出直角三角形的边长，进而求出面积，再利用面积的关系列出方程，从而解决问题考点3.利用勾股定理解决折叠问题折叠问题与轴对称和图形全等是密不可分的做题时一定要抓住这一点，以免有无从下手之感考点5.实际问题运用能运用勾股定理解决简单的实际问题，将其转化为数学问题，建立直角三角形的模型，体现了学数学、用数学的思想，通过建模解决问题五、全等三角形考点梳理：了解全等三角形的概念、性质，探索并掌握判断三角形全等的条件.知识概要：考点1.三角形全等的判定与性质的综合应用 1.全等三角形的性质：(1)全等三角形的对应边、对应角相等；(2)全等三角形的对应角平分线、对应边上的中线、对应边上的高相等；(3)全等三角形的周长相等、面积相等2全等三角形的判定：(1)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)；(2)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)；(3)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)；(4)有三边对应相等的两个三角形全等(SSS)；(5)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL).三角形的全等的判定要根据题目的具体情况确定采用SAS，ASA，AAS，SSS，HL中的哪个定理，而且这几个判定方法往往要结合其性质综合解题考点2.三角形全等在平移，折叠、旋转中的应用对于几何图形的运动问题(如平移、旋转等)以及一些规律探究题，常常会出现一个基本图形，无论从图形上还是从解题方法上都比较简单，而其他的较复杂的图形，都是由基本图形通过变化得到的，它和基本图形有很多类似的条件和结论类比基本图形，可以解决复杂图形的问题，主要考查观察能力和推理、猜测能力六、锐角三角函数1通过实例认识锐角三角函数(sinA，cosA，tanA)，知道30、45、60角的三角函数值；会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它对应的锐角2运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题.考点1.锐角三角函数的定义1三角函数的定义：如图，ABC中，C90，(1)把锐角A的对边与斜边的比叫做A的正弦，记作sin A.(2)把锐角A的邻边与斜边的比叫做A的余弦，记作cos A.(3)把锐角A的对边与邻边的比叫做A的正切，记作tan A.(4)把锐角A的邻边与对边的比叫做A的余切，记作cot A.2锐角三角函数中几个重要的等式：sin2Acos2A1，(2)tanAcotA1，(3)sin Acos Atan A，(4)cos Asin Acot A 考点2.特殊角的三角函数值考点3.锐角三角函数与相关知识的综合运用锐角三角函数常与其他知识综合起来运用，考查综合运用知识解决问题的能力七、解直角三角形运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题.考点1.解直角三角形，仰角、俯角、坡度1解直角三角形：只要知道直角三角形中除直角以外的任意两个元素(至少有一条边)，就可以求出其它的所有元素由直角三角形中已知的元素求出另外未知的元素的过程叫做解直角三角形2朝上看时，视线与水平线所成的角叫做仰角；朝下看时，视线与水平面夹角为俯角3坡度是地表单元陡缓的程度，通常把坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度(或叫做坡比)用字母i表示，表示坡度最为常用的方法，即两点的高程差与其水平距离的百分比，其计算公式如下：坡度高程差水平距离小明在看书时发现这样一个问题：在一次聚会中，共有6人参加，如果每两人都握一次手，共握几次手呢？小明通过认真思考得出了答案为了解决一般问题，小明设计了下列图表进行探究：请你根据上面图表归纳出参加人数与握手次数之间关系的一般结论 【分析】本题研究的是握手次数问题，但可以将此问题转化成研究平面上的点构成线段的条数问题这里把每个人看作一个点，根据图表中的信息，通过探究推理可得到问题的答案 615【解答】若有人参加，则共握手次【结论】若有n(n2，且n为整数)人参加，则共握手(n1)(n2)(n3)4321n(n1)2(次)如图所示，将标号为A、B、C、D的正方形沿图中虚线剪开后，得到标号为P、Q、M、N的四组图形，试按照“哪个正方形剪开后得到哪组图形”的对应关系填空：A与_对应；B与_对应；C与_对应；D与_对应【分析】按照剪开的形状，找出对应的图形.【答案】M，P，Q，N如图1所示，我海军的两艘军舰(分别在A、B两处)同时发现了一艘敌舰，其中A舰发现它在北偏东15的方向上，B舰发现它在东北方向上，试画出这艘敌舰的位置(用字母C表示)【分析】如图2所示，分别以点A、点B为中心建立方位图，表示东北方向的射线 BE与表示北偏东15方向的射线AD的交点C即为这艘敌舰的位置【解析】利用角度来描述方位，以正北、正南的方向为基准，先确定是北还是南，然后确定东、西方向，最后确定偏东(或西)的角度，注意东北方向是北偏东45.如图所示，D为ABC中AC边上一点，AD1，DC2，AB4，E是AB上一点，且DEC的面积等于ABC的面积的一半，求EB.【分析】已知DEC的面积等于ABC的面积的一半，在图形中，DEC与ABC既不同底也不等高，因此需寻找桥梁AEC来建立二者之间的关系，因为AEC既与DEC等高也与ABC等高【解答】作EFAC于F，则SDECSAEC12DCEF12ACEFDCAC23，作CGAB于点G，则SAECSABC12AECG12ABCGAEABAE4，SDECSAECSAECSABC23AE4，即S DECSABC AE6.又S DECSABC 12，AE612，AE3，BEABAE1，即BE的长为1.【分析】等高的两个三角形的面积比等于底边长的比，它是面积问题中常用的解题策略(2012呼和浩特)如图，在ABC中，B47，三角形的外角DAC和ACF的平分线交于点E，则AEC_.分析】B47，BACBCA180 47133，CADACF360133227.又AE和CE是角平分线，CAEACE113.5，E180113.566.5【答案】66.5【解析】本题考查了三角形的内角和以及角平分线的性质(2012广东)如图，ABC中，ABAC，A36，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连结EC.(1)求ECD的度数；(2)若CE5，求BC长【解答】DE垂直平分AC，ADCD，ADECDE90，又DE DE，ADECDE，ECDA36.(2)ABAC，A36，BACB72，ECD36，BCEACBECD36，BEC72B，BCEC5.(2011江苏)已知：如图，锐角ABC的两条高BE、CD相交于点O，且OBOC，(1)求证：ABC是等腰三角形；(2)判断点O是否在BAC的角平分线上，并说明理由【解答】(1)证明：OBOC，OBCOCB.BD、CE是两条高，BDCCEB90.又BCCB,BDCCEB(AAS)DBCECB，ABAC.ABC是等腰三角形(2)点O是在BAC的角平分线上连结AO.BDCCEB,DCEB.OBOC，ODOE.又BDCCEB90，AOAO，ADOAEO(HL).DAOEAO.点O是在BAC的角平分线上(2012杭州)如图，在梯形ABCD中，ADBC，ABCD，分别以AB，CD为边向外侧作等边三角形ABE和等边三角形DCF，连接AF，DE.(1)求证：AFDE；(2)若BAD45，ABa，ABE和DCF的面积之和等于梯形ABCD的面积，求BC的长【分析】(1)根据等腰梯形的性质和等边三角形的性质以及全等三角形的判定方法证明AEDDFA即可；(2)如图作BHAD，CKAD，利用给出的条件和梯形的面积公式即可求出BC的长(1)【证明】在梯形ABCD中，ADBC，ABCD，BADCDA，而在等边三角形ABE和等边三角形DCF中，ABAE，DCDF，且BAECDF60，AEDF，EADFDA，ADDA，AEDDFA(SAS)，AFDE；(2)【解答】如图作BHAD，CKAD，则有BCHK，BAD45，HABKDC45，AB2BH2AH，同理：CD2CK2KD，S梯形ABCD(ADBC)HB2，ABa，S梯ABCD 2a222BC22a2a22aBC2，而SABESDCF34a2，a22aBC2234a2，BC622a.【解析】本题综合性的考查了等腰梯形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定、全等三角形的性质以及等于直角三角形的性质和梯形、三角形的面积公式，属于中档题目(2012 梅州)一副三角尺如图所示叠放在一起，若 AB14 cm，求阴影部分的面积.【解答】因为CAD45，易证ACF是等腰直角三角形，B30，ACAB27，ACF的面积为492.【解析根据三角形中特殊角求出边的关系，从而求出阴影的面积，这是解题中常用的思想方法(2012黑龙江)已知三角形相邻两边长别为 20 cm和30 cm,第三边上的高为10 cm，则此三角形的面积为_cm2.【解析】如图(1)，当高在三角形内部时，AB30，AC20，ADBC，AD10，BDAB2AD220 2，CDAC2AD210 3，BCBDCD20 210 3，SABC12BCAD100 250 3；如图(2)，当高在三角形外部时，BCBDCD20 210 3，SABC12BCAD100 250 3.图1图2【答案】(100 250 3)或(100 250 3)【点评】本勾股定理的应用及分类讨论的数学思想，易错点是只考虑一种情况 难度较大 如图所示，在三角形ABC中，C90，两直角边AC6，BC8，在三角形内有一点P，它到各边的距离相等，则这个距离是()A1 B2 C3 D无法确定【解析】要想直接计算，需找出表示这个相等距离的线段，由角平分线的性质可知，点P应是ABC各角平分线的交点，再由面积关系列方程求解 设P点到三边的距离为x，连接PA，PB，PC.在RtABC中，AC6，BC8，AB2AC2BC262823664100.AB10.又因为SABCSPABSPACSPBC，12681210 x126x128x.即4810 x6x8x.所以x2.【答案】B【点评】这是一道方程与几何图形相结合的数学题，在几何图形问题中经常涉及解方程、求面积等相关计算本题考查了勾股定理的实际应用 一船在灯塔C的正东方向8海里的A处，以20海里/时的速度沿北偏西30方向行驶(1)多长时间后，船距灯塔最近？(2)多长时间后，船到灯塔的正北方向？此时船距灯塔有多远？(其中：1628213.92)【分析】最近距离就是点C到船航线AB的垂线段的长度，所以构造直角三角形，再运用勾股定理及逆定理即可【解答】(1)如图所示，由题意可知，当船航行到D点时，距灯塔最近，此时，CDAB.BAC903060，ACD30.AD12AC1284(海里)又4200.2(小时)12(分)，12分后，船距灯塔最近 (2)当船到达灯塔的正北方向的B点时，BCAC.此时B30，所以AB2AC2816(海里)16200.8(小时)48(分)BC2AB2AC21628213.92.BC13.9(海里)48分钟后，船到达灯塔的正北方向，此时船距灯塔约13.9海里【解析】在运用勾股定理及其逆定理时，一定要区别它们各自的适用条件，不要混淆 如图所示，已知四边形纸片ABCD中，ADBC，将ABC，DAB分别对折，如果两条折痕恰好相交于DC上一点E，点C，D都落在AB边上的F处，你能获得哪些结论？【分析】对折前后重合的部分是全等的，从线段关系、角的关系、面积关系等不同方面进行探索，以获得更多的结论，这是一道开放性试题【解答】ADAF，EDEFEC，BCBF.ADBCAB，DEEC2EF.12，34，DAFE，CEFB，DEAFEA,CEBFEB.AEB90或EAEB.SDAESEAF，SECBSEFB.【解析】本题融操作、观察、猜想、推理于一体，需要具有一定的综合能力推理论证既是说明道理，也是探索、发现的途径善于在复杂的图形中发现、分解、构造基本的全等三角形是解题的关键需要注意的是，通常面临以下情况时，我们才考虑构造全等三角形：(1)给出的图形中没有全等三角形，而证明结论需要全等三角形(2)从题设条件中无法证明图形中的三角形全等，证明需要另行构造全等三角形分析：根据等腰三角形的性质,求出底角的的度数,判断出三角形为等边三角形,再根据正对的定义解答;求出度和度时等腰三角形底和腰的比即可;作出直角,构造等腰三角形,根据正对的定义解答.