函数的单调性与极值3理.ppt

第三节第三节 函数的单调性及极值函数的单调性及极值Function monotony and extreme value 一、单调性的判别法一、单调性的判别法二、单调区间求法二、单调区间求法三、函数极值的定义三、函数极值的定义四、函数极值的求法四、函数极值的求法五、小结五、小结 思考题思考题一、单调性的判别法定理定理证证应用拉氏定理应用拉氏定理,得得例例1 1解解注意注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性点处的导数符号来判别一个区间上的单调性二、单调区间求法问题问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的，如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调但在各个部分区间上单调定义定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的的，则该区间称为函数的单调区间单调区间.导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点的分界点方法方法:例例2 2解解单调区间为单调区间为例例3 3解解单调区间为单调区间为例例4 4证证注意注意:区间内个别点导数为零区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性不影响区间的单调性.例如例如,三、函数极值的定义定义定义函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值,使函数取得使函数取得极值的点称为极值的点称为极值点极值点.四、函数极值的求法定理定理1 1(必要条件必要条件)定义定义注意注意:例如例如,定理定理2(2(第一充分条件第一充分条件)(是极值点情形是极值点情形)求极值的步骤求极值的步骤:(不是极值点情形不是极值点情形)例例1 1解解列表讨论列表讨论极极大大值值极极小小值值图形如下图形如下定理定理3(3(第二充分条件第二充分条件)证证例例2 2解解图形如下图形如下注意注意:例例3 3解解注意注意:函数的不可导点函数的不可导点,也可能是函数的极值点也可能是函数的极值点.五、小结单调性的判别是拉格朗日中值定理定理的单调性的判别是拉格朗日中值定理定理的重要应用重要应用.定理中的区间换成其它有限或无限区间，定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立结论仍然成立.应用：利用函数的单调性可以确定某些方应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式程实根的个数和证明不等式.极值是函数的局部性概念极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小极大值可能小于极小值值,极小值可能大于极大值极小值可能大于极大值.驻点和不可导点统称为驻点和不可导点统称为临界点临界点.函数的极值必在函数的极值必在临界点临界点取得取得.判别法判别法第一充分条件第一充分条件;第二充分条件第二充分条件;(注意使用条件注意使用条件)思考题思考题2、下述命题正确吗？、下述命题正确吗？思考题思考题1解答解答不能断定不能断定.例例但但当当 时，时，当当 时，时，注意注意 可以任意大，故在可以任意大，故在 点的任何邻点的任何邻域内，域内，都不单调递增都不单调递增思考题思考题2解答解答不正确不正确例例在在1和和1之间振荡之间振荡故命题不成立故命题不成立练练 习习 题题1练练 习习 题题2练习题练习题1答案答案练习题练习题2答案答案当当 时，时，当当 时，时，注意注意 可以任意大，故在可以任意大，故在 点的任何邻点的任何邻域内，域内，都不单调递增都不单调递增