同济版线性代数课件-1向量的内积、长度及正交性.ppt

第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型1 向量的内积、长度及正交性向量的内积、长度及正交性一、内积的定义及性质一、内积的定义及性质二、向量的长度及性质二、向量的长度及性质三、正交向量组的概念及求法三、正交向量组的概念及求法四、正交矩阵与正交变换四、正交矩阵与正交变换1.1.定义定义1 1内积内积一、内积的定义及性质一、内积的定义及性质(Inner product)2.2.内积的运算性质内积的运算性质施瓦茨不等式施瓦茨不等式1.1.定义定义2 2 令令长度长度范数范数向量的长度具有下述性质：向量的长度具有下述性质：二、向量的长度及性质二、向量的长度及性质(norm)解解单位向量单位向量夹角夹角2.正交的概念正交的概念 正交向量组的概念正交向量组的概念正交正交若一若一非零非零向量组中的向量向量组中的向量两两正交两两正交，则称该向，则称该向量组为量组为正交向量组正交向量组三、正交向量组的概念及求法三、正交向量组的概念及求法(orthogonal)证明证明 正交向量组的性质正交向量组的性质定理定理1例例1 1 已知三维向量空间中两个向量已知三维向量空间中两个向量正交，试求正交，试求 使使 构成三维空间的一个正交构成三维空间的一个正交基基.向量空间的正交基向量空间的正交基即即解之得解之得由上可知由上可知 构成三维空间的一个正交基构成三维空间的一个正交基.则有则有解解 规范正交基规范正交基例如例如定义定义3 同理可知同理可知 求规范正交基的方法求规范正交基的方法下面介绍下面介绍施密特正交化施密特正交化方法（方法（Gram-Schmidt orthogonalizations method）(2)单位化单位化,取取(1)正交化正交化,取取 ，例例 用施密特正交化方法，将向量组用施密特正交化方法，将向量组正交规范化正交规范化.解解 先先正交化正交化，取取施密特正交化过程施密特正交化过程再再单位化单位化，得规范正交向量组如下得规范正交向量组如下例例解解再把它们单位化，取再把它们单位化，取解解把基础解系正交化，即合所求亦即取把基础解系正交化，即合所求亦即取定义定义4 4定理定理四、正交矩阵与正交变换四、正交矩阵与正交变换 为正交矩阵的充要条件是为正交矩阵的充要条件是 的列向量都的列向量都是单位向量且两两正交是单位向量且两两正交定义定义5 5 若若 为正交阵，则线性变换为正交阵，则线性变换 称为正称为正交变换交变换性质性质 正交变换保持向量的长度不变正交变换保持向量的长度不变.(.(还有还有P118)P118)证明证明解解所以它不是正交矩阵所以它不是正交矩阵考察矩阵的第一列和第二列，考察矩阵的第一列和第二列，由于由于例例 判别下列矩阵是否为正交阵判别下列矩阵是否为正交阵所以它是正交矩阵所以它是正交矩阵由于由于