数列、函数的极限.ppt
二、数列的极限二、数列的极限四、小结四、小结 三、函数的极限三、函数的极限1.4 1.4 数列、函数的极限数列、函数的极限一、中国古代数学的极限思想一、中国古代数学的极限思想经济数学微积分“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1.1.割圆术割圆术播放播放刘徽刘徽一、中国古代数学的极限思想一、中国古代数学的极限思想1.1.割圆术割圆术“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”刘徽刘徽1.1.割圆术割圆术“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”刘徽刘徽1.1.割圆术割圆术“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”刘徽刘徽1.1.割圆术割圆术“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”刘徽刘徽1.1.割圆术割圆术“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”刘徽刘徽正六边形的面积正六边形的面积正十二边形的面积正十二边形的面积正正 形的面积形的面积2.2.截杖问题截杖问题“一尺之棰，日截其半，万世不竭一尺之棰，日截其半，万世不竭”二、数列的极限二、数列的极限例如例如注意：注意：1.数列对应着数轴上一个点列数列对应着数轴上一个点列.可看作一可看作一动点在数轴上依次取动点在数轴上依次取2.数列是整标函数数列是整标函数二、数列的极限二、数列的极限问题：问题：当当 无限增大时无限增大时,是否无限接是否无限接近于某一确定的数值近于某一确定的数值?称该数列在称该数列在n无限增大时的极限为无限增大时的极限为1.数列极限的定义数列极限的定义定义定义发散发散收敛收敛收敛收敛发散发散收敛收敛数列极限的几何意义：数列极限的几何意义：aN当当时，时，xn与与a越来越接近越来越接近.性质性质1（极限的唯一性极限的唯一性）收敛数列的极限必唯一收敛数列的极限必唯一.数列数列是发散的是发散的.收敛数列必为有界数列收敛数列必为有界数列.性质性质2（有界性有界性）注意：注意：有界性是数列收敛的必要条件有界性是数列收敛的必要条件.推论推论 无界数列必定发散无界数列必定发散.常用数列极限常用数列极限收敛数列的性质：收敛数列的性质：三、函数极限三、函数极限 我们将主要研究以下两种情形：我们将主要研究以下两种情形：（1）自变量）自变量x的绝对值无限增大时，对应的的绝对值无限增大时，对应的函数值的变化情况；函数值的变化情况；（2）自变量无限接近于有限值）自变量无限接近于有限值x0时，对应的时，对应的函数值的变化情况函数值的变化情况.1.自变量趋向无穷大时函数的极限自变量趋向无穷大时函数的极限称该函数在称该函数在x无限增大时的极限为无限增大时的极限为0.函数函数 当当 时极限定义时极限定义结论：结论：自自变变量量趋趋于无于无穷穷（x）可分）可分为为两种情况两种情况:x+,x-当自变量当自变量x无限增大时无限增大时,函数值函数值f(x)无限无限接近一个确定的常数接近一个确定的常数A,则称则称A为函数为函数y=f(x)当当x+时的极限时的极限,记为记为 当自变量当自变量x无限减小时无限减小时,函数值函数值f(x)无限无限接近一个确定的常数接近一个确定的常数A,则称则称A为函数为函数y=f(x)当当x-时的极限时的极限,记为记为几何解释几何解释:当当时，函数值与时，函数值与A的差距越来越小的差距越来越小2.自变量趋于有限值时函数的极限自变量趋于有限值时函数的极限x0.90.990.99911.0011.011.10y1.111.01011.00100110.9990010.99010.91当当x1时时，y无限无限趋趋近于近于1，称，称x1时时函数的极限函数的极限为为1.x0.750.90.990.999911.0000011.011.251.5 f(x)1.751.91.991.99992.0000012.012.252.5例例3 3、例、例4 4中：中：定义定义 设设函数函数f(x)在在x0的某的某去去心心邻邻域域 内有内有定定义义,如果当如果当x无限接近无限接近x0时时,函数函数值值f(x)就无就无限接近一个确定的常数限接近一个确定的常数A,则则称称A为为函数函数f(x)当当x趋趋于于x0(xx0)时时的极限的极限,记为记为否则，称该极限否则，称该极限不存在不存在.函数函数 当当 时极限定义时极限定义(2)几何解释几何解释:注意：注意：在在x0的某去心的某去心邻邻域内，域内，对应对应的的f(x)的的值值与与A的差的差距随着距随着x与与x0的的靠近越来越小靠近越来越小.(3)左、右极限（单侧极限）左、右极限（单侧极限）即：即：设设函数函数f(x)在在x0的左的左邻邻域（域（x0可除外）内有可除外）内有定定义义,如果当自如果当自变变量量x从从x0的左的左侧趋侧趋于于x0,函数函数值值f(x)趋趋于一个确定的常数于一个确定的常数A,则则称称A为为f(x)当当xx0的的左极限左极限,记为记为类似可以定义右极限类似可以定义右极限.极限存在的充要条件：左右极限存在且相等极限存在的充要条件：左右极限存在且相等例例5证：证：左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,例例6 6证证性质性质2（函数极限的局部有界性函数极限的局部有界性）性质性质1（函数极限的唯一性函数极限的唯一性）3.函数极限的性质函数极限的性质 性质性质3(函数极限的局部保号性函数极限的局部保号性)推论推论1推论推论2思考题思考题数列极限数列极限:极限思想、几何意义极限思想、几何意义;收敛数列的性质收敛数列的性质:唯一性、有界性唯一性、有界性四、小结四、小结 函数极限的统一定义：函数极限的统一定义：
