群论在量子力学中的应用矩阵元的计算.ppt

第五章第五章 群论在量子力学中的应用群论在量子力学中的应用5.1 矩阵元的计算矩阵元的计算矩阵元定理1（即维格纳一埃伽定理）：属于两个不同的不可约不等价表示的任意两个基函数，或属于同一不可约表示的不同列的两个基函数相互正交。属于同一不可约么正表示同一行的基函数间的内积与行数无关。属于 的基为 属于 的基为上面定理意为：（*）其中 ，与 和 无关。=Cjjj显然，Cj与无关。如归一，Cj1。对于哈密顿算符的矩阵元，据PR的么正和H的对易性，有：两边对R求和:左边 右边 其中 ，它是与无关的常数。（*）矩阵元定理2：对于不等价的不可约表示或同一个不可约表示的不同列的函数，哈密顿矩阵元为零，而对于同一个表示的相同列的矩阵元都有相同的值。（*）和（*）两式被称为矩阵元定理。（*）（*）5.2 能量本征值和本征函数的近似计算能量本征值和本征函数的近似计算 设在S、E （）中待求的函数 可按已知的完整本征函数系列 展开：（）代入（），并将方程的两边与 构成内积得：（）这是对于未知数 的线性齐次代数方程组。其解存在的条件是：（久期方程）一般说，上面的求和是无穷级数，为此，只能取其N项作截断近似，而久期方程变为NN行列式，其根是本征值E，把它代回到（）式中去，便得复数 。一般，N越大，结果越精确，但工作量也随之正比于N!。应用矩阵元定理，以上工作可大大简化，关键在于重新编排（）式中的已知函数系，使得它们是H的对称群G的不可约表示的基函数。设：H的对称群为G，前面已证明：哈密顿H的对称群G的基函数即为H的本征函数。因此，可按各套表示的基函数展开：（求和，j为各表示求和）这样，久期方程为：据上节中的矩阵元定理：除了 同时 以外，上式中其余的矩阵元均为零。久期方程为：其中 是矩阵元，其值：上式化为：于是完整的本征值谱可由 即 求得，此式要比原久期方程的求解要简单得多！另外，由矩阵元定理可知：矩阵元的值与无关。这就使得对每个不可约表示 有 久期方程为：，任意于是对于每个不可约表示 ，只需解一个 的方程就够了，并因此求出的能量本征值是 重简并的。以上讨论中，已假定了对于不同的j，其表示只有一个。实际中，还可能有这样的情况：即有1个D(1)，2个D(2)，j个D(j)个D()，这时按上面同样讨论可得久期方程为准对角的行列式方程，其对角元素有些还是矩阵，尽管如此，它的维数要大大小于原久期方程的维数，从而也大大简化了计算，详细计算这里不作讨论。12m1维m2维5.3 微扰引起的对称性的降低微扰引起的对称性的降低 设在体系原哈密顿H0上加上一微扰H则系统哈密顿为：设群G是H0的对称群 群G是H的对称群虽说G的每个变换都将保持H0不变，但一般G的每个变换并不都能保持H不变。因此，G通常是G的子群。例：均匀电场 加到氢原子上。即：氢原子的斯塔克效应则G（球对称）（轴对称）的加入将引起电子能量中某些简并能级的劈裂，从而引起谱线的分裂。根据G和 的不可约表示之间的关系可以预言简并能级的分裂:是G的子群相应未被微扰的能级 的不可约表示 一般是 的可约表示即：其中 是 的不可约表示，共有r个对称性降低的作用是将对应表示 的能级劈裂成子能级，子能级的简并重数由 的不可约表示的维数确定。注意：群论只能预言谱线的分裂，但分裂的具体大小，还要靠详细计算。通常，对应这r个不可约表示的 的本征值，即对应的能量是不同的。例：设有量子系统，未微扰前的哈密顿 具有O群（八面体群）的对称性：八面体群，它包括立方体的24个对称转动。24个元素可分成5个类：因此它具有5个不可约表示 据Burnside定理 唯一的解为 因此，该群的不可约表示为：二个一维表示 一个二维表示 二个三维表示据正交定理得O群的特征标表：现给体系施加以对称性为点群 的场 时，三重简并 即要分裂。设 轴和O群的一个 重合，则O群的元素E，2 ，3 构成 ,表示 是这个子群的可约表示。下表给出了 的不可约表示的特征标，同时也把O群中相应 元素的 的特征标例于表中：作为 一个可约表示的分解。这说明：三重简并能级 在 的对称场作用下劈裂成非简并能级 和二重简并能级 。但是，在这里我不能给出劈裂值的大小和能级高低的次序，因此，对称性预言能级是否劈裂和简并的部分消除或全部消除。5.5 系统对称性和能级简并度系统对称性和能级简并度 定定义义：如果能级E对应的对称群G的表示是不可约表示，则此能级的简并称为正则简并；若对应可约表示，则称偶然简并。定理：（维格纳定理：（维格纳-埃伽定理）埃伽定理）属么正的线性变换群PG的两个不等价不可约么正表示的函数互相正交，属同一不可约么正表示不同行的函数也互相正交，属同一不可约么正表示同一行的函数间的内积与行数无关。证明：设 和分属不可约么正表示 行和 行：则：令 则 由Sohur引理知：其中常C是约化矩阵元，它与下标无关。PR么正R=单位元讨论：先假定偶然简并对应的可约表示中包含的不可约表示互不等价。设体系的哈密顿量为：其中原始哈密顿量为 ，微扰相互作 和 有相同的对称性，称为对称微扰：本征函数已按以前方法组合成属确定不可约表示 确定行的函数 ：经 作用，具有相同变换性质：能量一级微扰由 在 本征函数中的矩阵元决定。对正则简并，据维格纳埃伽定理；能量修正 与无关，故能级发生平移但不分裂，即对称微扰不能解除正则简并。事实上，这是一个非微扰的结论：对称性保证了正则简并的能级不会分裂，这可理解如下：设总哈密顿 ，当由零到一连续变化时，H的本征函数也由 的本征函数 出发进行连续变化，由于变化过程中对称性始终保持不变，由维格纳埃伽定理：在变化过程中H本征函数始终属于同一不可约表示同一行，而架设该表示空间的所有函数都是H同一能级的本征函数，即正则简并能级不会分裂。对偶然简并，属同一不可约表示各行的函数，能级移动相同，能级不会分裂。但属于两个不可约表示的函数，能级移动一般不相等，于是能级分裂了。在对称微扰作用下，偶然简并的能级可以分裂，但最多分裂到正则简并，而且用对称群不可约表示标记的原始波函数是好的零级波函数。若偶然简并对应的表示约化时出现两个相同的不可约表示，则原始波函数中出现两组属同一不可约表示的函数，它们的任意组合仍属同一不可约表示，此时 在这两组波函数间的矩阵未必对角化，尽管如此，维格纳埃伽定理说：可以任意选取确定的，计算22矩阵 （属两组属同一不可约表示的函数）把此矩阵对角化即可得到好的零级波函数和能量一级微扰，与不应用对称性选择零级波函数的一般方法相比，计算量大大减少了。如果 的对称群 是 对称群G的子群，即使 的能级关于G是正则简并，关于 仍可能是偶然简并。用 代替G，前面的讨论对现在情况仍适用，在 微扰的作用下，能级最多分裂到关于 的正则简并。一般说来，如果G包括了H的全部对称变换，能级只能是正则简并。偶然简并与尚有但还未发现的H的对称性有关。