空间想像能力、逻辑思维能力、解题能力.ppt

空间想象能力的培养空间想象能力的培养一、对空间观念的理解一、对空间观念的理解二、空间想象力的衡量指标二、空间想象力的衡量指标三、中学生空间想象力发展的特点三、中学生空间想象力发展的特点四、培养学生空间想象能力的基本途径四、培养学生空间想象能力的基本途径 一、对空间观念的理解一、对空间观念的理解空间观念主要表现在：能由实物的形状想像出空间观念主要表现在：能由实物的形状想像出几何图形，由几何图形想像出实物的开关，几何图形，由几何图形想像出实物的开关，进行几何体与其三视图、展开图之间的转化；进行几何体与其三视图、展开图之间的转化；能根据条件做出立体模型或画出图形；能从能根据条件做出立体模型或画出图形；能从较复杂的图形中分解出基本的图形，并能分较复杂的图形中分解出基本的图形，并能分析其中的基本元素及其关系；能描述实物或析其中的基本元素及其关系；能描述实物或几何图形的运动和变化；能采用适当的方式几何图形的运动和变化；能采用适当的方式描述物体间的位置关系；能运用图形形象地描述物体间的位置关系；能运用图形形象地描述问题，利用直观来进行思考。描述问题，利用直观来进行思考。二、空间想象力的衡量指标二、空间想象力的衡量指标第一，对基本的几何图形的熟悉程度，包括熟悉图第一，对基本的几何图形的熟悉程度，包括熟悉图形的特征和它们之间的关系；能正确画图；能在头形的特征和它们之间的关系；能正确画图；能在头脑中分析基本图形中基本元素之间的度量关系及位脑中分析基本图形中基本元素之间的度量关系及位置关系；等。置关系；等。第二，用坐标和向量等表明位置和描述空间关系的第二，用坐标和向量等表明位置和描述空间关系的熟练程度，包括能借助坐标系或向量正确地表征几熟练程度，包括能借助坐标系或向量正确地表征几何图形，以建立代数与几何的联系；能熟练地建立何图形，以建立代数与几何的联系；能熟练地建立坐标系并用坐标法分析问题和探讨数学，能熟练地坐标系并用坐标法分析问题和探讨数学，能熟练地用向量法解决某些几何问题；等。用向量法解决某些几何问题；等。第三，能正确地借助对称、变换等原理，分析几何第三，能正确地借助对称、变换等原理，分析几何图形的形状特征及几何元素的位置关系。图形的形状特征及几何元素的位置关系。第四，熟练地识图，包括能从复杂的图形中区分出第四，熟练地识图，包括能从复杂的图形中区分出基本图形；能在平面图形、立体图形和它们的表征基本图形；能在平面图形、立体图形和它们的表征之间进行转换；等。之间进行转换；等。三、中学生空间想象力发展的特点三、中学生空间想象力发展的特点1.几何思维的五级水平几何思维的五级水平弗赖登塔尔的学生海尔弗赖登塔尔的学生海尔(Van Hiele)提出的数学提出的数学化过程的教学理论中，把几何思维区分为五化过程的教学理论中，把几何思维区分为五个水平：个水平：0一水平：直观一水平：直观1一水平：分析一水平：分析2一水平：抽象一水平：抽象 3一水平：演绎一水平：演绎4一水平：严谨一水平：严谨三、中学生空间想象力发展的特点三、中学生空间想象力发展的特点2中学生空间想象力发展的特点中学生空间想象力发展的特点学学生生的的空空间间想想象象力力也也由由低低水水平平到到高高水水平平顺顺次次发发展。展。中中学学生生空空间间想想象象力力的的发发展展具具有有年年龄龄特特征征，表表现现在在：每每一一级级水水平平的的空空间间想想象象力力都都随随着着年年级级的的升高而呈上升发展的趋势。升高而呈上升发展的趋势。对对同同一一年年级级的的学学生生而而言言，随随着着能能力力水水平平层层次次的的升升高高，进进入入到到高高一一级级水水平平的的学学生生人人数数在在不不断断下下降降，即即随随着着能能力力水水平平的的提提高高，达达到到相相应应水水平层次的学生人数越来越少。平层次的学生人数越来越少。三、中学生空间想象力发展的特点三、中学生空间想象力发展的特点3对几何课程体系的思考对几何课程体系的思考从从初初中中二二年年级级开开始始，应应当当适适当当渗渗透透观观察察三三维维图图形形、了了解解图图形形的的整整体体性性质质等等方方面面的的内内容容和和要要求求；平平面面几几何何内内容容的的安安排排，在在保保持持“扩扩大大的的公公理理化化体体系系”、注注重重逻逻辑辑演演绎绎、强强调调严严谨谨准准确确的的前前提提下下，要要加加强强平平面面几几何何定定理理的的发发生生发发展展过过程程，以以利利于于渗渗透透合合情情推推理理成成分分；立立体体几几何何的的课课程程结结构构，先先安安排排对对空空间间几几何何体体进进行行整整体体认认识识的的内内容容，然然后后安安排排对对整整体体几几何何图图形形的的分分解解与与组组合合空空间间点点、线线、面面的的位位置置关关系系和度量问题。和度量问题。空间想象能力的培养空间想象能力的培养数学中的空间想象能力数学中的空间想象能力是空间想象力是人们是空间想象力是人们对客观事物的空间形式进行观察、分析和抽对客观事物的空间形式进行观察、分析和抽象的能力，它的特点在于善于在头脑中构成象的能力，它的特点在于善于在头脑中构成研究对象的空间形状和简明的结构，并能在研究对象的空间形状和简明的结构，并能在离开实物的条件下，在头脑中对空间元素进离开实物的条件下，在头脑中对空间元素进行一系列操作和变换，对它们的位置关系进行一系列操作和变换，对它们的位置关系进行相应的分析、归纳和概括等。行相应的分析、归纳和概括等。基本要求：基本要求：1.能够由形状简单的实物想象出几何图形，由能够由形状简单的实物想象出几何图形，由几何图形想象出相应的实物形状；几何图形想象出相应的实物形状；2.能够由复杂的平面图形分解出简单的、基本能够由复杂的平面图形分解出简单的、基本的图形；的图形；3.能够在基本的图形中找出基本元素及其关系；能够在基本的图形中找出基本元素及其关系；4.能够根据文字或符号表述的条件作出或画出能够根据文字或符号表述的条件作出或画出图形，对图形能够用文字或语言来表述。图形，对图形能够用文字或语言来表述。培养学生空间想象能力的基本途径培养学生空间想象能力的基本途径1.学好有关空间形式的基础知识学好有关空间形式的基础知识2.加强数学的直观教学，从事数学实习加强数学的直观教学，从事数学实习活动活动3.加强空间想象能力的训练，不断发展空加强空间想象能力的训练，不断发展空间想象能力间想象能力（1）深入研究同类图形或某个重要图形）深入研究同类图形或某个重要图形各要素之间的联系，丰富学生的空间想各要素之间的联系，丰富学生的空间想象能力象能力（2）深入研究异类图形之间的联系，发）深入研究异类图形之间的联系，发展学生的空间想象能力展学生的空间想象能力（3）有效利用数形结合，锻炼学生的空）有效利用数形结合，锻炼学生的空间想象能力间想象能力例1 四个半径为1的等球，每一个与其余三个都相切，三球在下，置于一平面上，求最上一球的球心到平面的举例。例2 任意的三角形都是等腰三角形。ACBDOEFOB=OCOB=OCOE=OFOE=OFFB=ECFB=ECAF=AEAF=AEAB=ACAB=AC三、数学思维能力三、数学思维能力数学思维能力是指人们对数学对象（数量关数学思维能力是指人们对数学对象（数量关系和空间形式）的本质的认识能力。系和空间形式）的本质的认识能力。数学思维的分类：数学思维的分类：（1）逻辑思维能力）逻辑思维能力（2）创造性思维能力）创造性思维能力 发散思维能力、直觉思维能力发散思维能力、直觉思维能力数学思维能力及其培养一、对数学思维能力的理解一、对数学思维能力的理解二、逻辑思维能力的衡量指标二、逻辑思维能力的衡量指标 三、培养学生逻辑思维能力的基本途径三、培养学生逻辑思维能力的基本途径一、对数学思维能力的理解一、对数学思维能力的理解一是从数学思维过程、方法考察。数学思维能一是从数学思维过程、方法考察。数学思维能力主要是指：会观察、比较、分析、综合、力主要是指：会观察、比较、分析、综合、抽象和概括；会用归纳、演绎和类比进行推抽象和概括；会用归纳、演绎和类比进行推理；会合乎逻辑地、准确地阐述自己的思想理；会合乎逻辑地、准确地阐述自己的思想和观点；能运用数学概念、思想和方法，辨和观点；能运用数学概念、思想和方法，辨明数学关系，形成良好的思维品质。明数学关系，形成良好的思维品质。二是从数学所特有的思维对象出发，数学思维二是从数学所特有的思维对象出发，数学思维能力可以包括：空间想象、符号表示、运算能力可以包括：空间想象、符号表示、运算求解、体系建构等诸多方面。求解、体系建构等诸多方面。一、对数学思维能力的理解一、对数学思维能力的理解 2逻辑思维能力是数学思维能力的核心逻辑思维能力是数学思维能力的核心 逻辑思维能力就是正确、合理地进行思考的能力。不仅包括形式逻辑思维，而且包括辩证逻辑思维，同时也包括非形式化的逻辑思维，从逻辑思维能力与运算能力、空间想象能力的关系看，运算能力是逻辑思维与一些具体的运算知识和技能相结合而在处理数量关系方面表现出的个性心理特征；空间想象能力则是逻辑思维与一些经验几何知识和识图、作图技能相结合而在处理空间图形方面表现的个性心理特征。一、对数学思维能力的理解一、对数学思维能力的理解 2逻辑思维能力是数学思维能力的核心逻辑思维能力是数学思维能力的核心 从逻辑思维能力的作用考察其地位从逻辑思维能力的作用考察其地位 第一，只有具备较强的逻辑思维能力，才能正确地认第一，只有具备较强的逻辑思维能力，才能正确地认识数学规律，完成数学思维任务识数学规律，完成数学思维任务。第二，逻辑思维能力是正确、严谨、完备地论证数学第二，逻辑思维能力是正确、严谨、完备地论证数学定理、法则、公式和发现数学错误的前提。定理、法则、公式和发现数学错误的前提。第三，逻辑思维能力是揭露错误思想的有力武器。例第三，逻辑思维能力是揭露错误思想的有力武器。例如，逻辑思维能力强的人，可以及时而有效地识破如，逻辑思维能力强的人，可以及时而有效地识破和揭露偷换概念、同语反复、循环论证等现象。和揭露偷换概念、同语反复、循环论证等现象。第四，逻辑思维能力是掌握数学知识的根本保证。第四，逻辑思维能力是掌握数学知识的根本保证。二、逻辑思维能力的衡量指标二、逻辑思维能力的衡量指标 中学生数学逻辑思维能力，我们强调三条，即中学生数学逻辑思维能力，我们强调三条，即严密性，准确性，明确性。严密性，准确性，明确性。首先，逻辑思维的严密性是数学思维的最基本首先，逻辑思维的严密性是数学思维的最基本精神，也是数学逻辑思维能力最根本的衡量精神，也是数学逻辑思维能力最根本的衡量标准。标准。其次，数学的计算具有无可争辩的准确性，数其次，数学的计算具有无可争辩的准确性，数学定理只有当它从逻辑的推理上得到准确的学定理只有当它从逻辑的推理上得到准确的证明才能被认可。证明才能被认可。最后，每一个数学结论都是明确的，数学结论最后，每一个数学结论都是明确的，数学结论的推理过程也必须具有明确性，的推理过程也必须具有明确性，三、三、逻辑思维能力的基本内容逻辑思维能力的基本内容及层次及层次逻辑思维能力逻辑思维能力逻辑思维能力逻辑思维能力是指在一定的逻辑法则下进行思考活是指在一定的逻辑法则下进行思考活动的一种思维能力。它是最基本、最重要的能力，动的一种思维能力。它是最基本、最重要的能力，是发展学生思维的基础、是发展学生思维的基础、中心环节中心环节和和主要标志主要标志。逻辑思维能力的基本内容逻辑思维能力的基本内容逻辑思维能力的基本内容逻辑思维能力的基本内容：（1）能正确理解和运用各种逻辑推理方法）能正确理解和运用各种逻辑推理方法 演绎、归纳、类比演绎、归纳、类比（2）能正确理解和运用各种论证方法）能正确理解和运用各种论证方法 分析、综合、反证法、同一法、比较、抽象、概分析、综合、反证法、同一法、比较、抽象、概 括等括等（3）思维过程目的明确、条理清楚）思维过程目的明确、条理清楚（4）善于将知识系统化，结构化）善于将知识系统化，结构化逻辑思维能力的层次逻辑思维能力的层次（1）给出条件和结论，能说明推理的依据；若）给出条件和结论，能说明推理的依据；若给出条件和依据，能得出结论，并了解基本给出条件和依据，能得出结论，并了解基本推理格式。推理格式。（2）根据给出条件能完成一步推理过程，并掌）根据给出条件能完成一步推理过程，并掌握简单的证明方法。握简单的证明方法。（3）能够独立完成两步和两步以上的推理论证）能够独立完成两步和两步以上的推理论证过程，并能说明依据。过程，并能说明依据。（4）能够独立分析具有综合性和实际应用性的）能够独立分析具有综合性和实际应用性的问题。问题。四、四、培养学生逻辑思维培养学生逻辑思维能力的基本途径能力的基本途径1.重视数学基础知识的教学重视数学基础知识的教学绝对值概念、三角形相似，全等的判定等绝对值概念、三角形相似，全等的判定等例例1 已知方程已知方程 的两根是的两根是 求求 的值。的值。2.教师要重视论证格式的教学，并作出正确的教师要重视论证格式的教学，并作出正确的示范示范 在教学过程中，教师要通过示例训练学生在教学过程中，教师要通过示例训练学生掌握如下论证格式：综合法、分析法、反证掌握如下论证格式：综合法、分析法、反证法和归纳法等。法和归纳法等。论证思考过程和书写格式的正确示范。论证思考过程和书写格式的正确示范。例例2 已知实数已知实数x,y,z满足满足求求 的值。的值。3.教会学生运用逻辑常识教会学生运用逻辑常识 消除学生理解困难的关键。消除学生理解困难的关键。数学概念，公式、定理等数学知识间的逻辑关系；数学概念，公式、定理等数学知识间的逻辑关系；论证方法的逻辑依据；数学命题间的关系等。论证方法的逻辑依据；数学命题间的关系等。4.加强逻辑思维能力的训练加强逻辑思维能力的训练 循序渐进；各科渗透；重点突出循序渐进；各科渗透；重点突出例例3 谁先说到谁先说到66谁便输，如何玩法，胜者是谁？谁便输，如何玩法，胜者是谁？要想得胜，应如何玩这个游戏？要想得胜，应如何玩这个游戏？例例4 已知已知 ，则，则 的表达式为的表达式为_5.重视运用数学符号语言进行推理论证重视运用数学符号语言进行推理论证6.重视新旧知识间的逻辑联系重视新旧知识间的逻辑联系 分析和解决实际问题能力的培养分析和解决实际问题能力的培养实际问题：现实生活中的一些具体问题；数学学习中实际问题：现实生活中的一些具体问题；数学学习中的一些具体问题。的一些具体问题。解数学题解数学题是培养学生分析和解决实际问题能力的是培养学生分析和解决实际问题能力的主要主要途径途径解题在数学教育中的作用解题在数学教育中的作用关于数学解题的教学关于数学解题的教学 1.认真审题，理解题意；认真审题，理解题意；2.机动灵活，寻找途径；机动灵活，寻找途径；3.加强练习，尽力创造加强练习，尽力创造.数学解题的基本要求：数学解题的基本要求：正确、合理、简捷、完满、清楚正确、合理、简捷、完满、清楚波利亚波利亚“怎样解题表怎样解题表”弄清问题弄清问题未知数是什么？已知数是什么？条件是什么？满足条件是否可能？要确定未知数，条件是否充分？或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？画张图.引入适当的符号.把条件的各个部分分开.你能否把它们写下来？第一，你必须弄清问题.拟定计划拟定计划你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？你是否知道与此有关的问题？你是否知道一个可能用得上的定理？看着未知数！试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉问题.这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题.你能不能利用他它？你能利用它的结果吗？你能利用它的方法吗？为了能利用它，你是否应该引入某些辅助元素？你能不能重新叙述这个问题？你能不能用不同的方法重新叙述它？回到定义去.第二，找出已知数与未知数之间的关系.如果找不出直接的联系，你可能不得不考虑辅助问题.如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题.你能不能想出一个更容易着手的有关问题？一个更普遍的问题？一个更特殊的问题？一个类比的问题？你能否解决这个问题的一部分？仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分，这样对于未知数能确定到什么程度？它会怎样变化？你能不能从已知数据导出某些有用的东西？你能不能想出适合于确定未知数的其他数值？如果需要的话，你能不能想出适合于确定未知数的其他数值？如果需要的话，你能不能改变未知数或数据，或者二者都改变，以使新未知数和新数据彼此更接近？你是否利用了所有的已知数据？你是否利用了整个条件？你是否考虑了包含在问题中的所有必要的概念？你应该最终得出一个求解的 计划实现计划实现你的求解计划，检验每一步骤.你能否清楚地看出这一步骤是正确的？你能否证明这一步骤是正确的？回顾你能否验证这个论证？你能否用别的方法导出这个结果？你能不能一下子看出它来？你能不能把这个结果或方法用于其他的问题？第三，实行你的计划第四，验算所得到的解