函数的单调性与最值.pptx
、文字语言：随着文字语言：随着x的增大，函数值也增大；随着的增大，函数值也增大；随着x的减小的减小函数值也减小。或反之。函数值也减小。或反之。、图形语言：一条上升的曲线或一条下降的曲线。图形语言：一条上升的曲线或一条下降的曲线。、符号语言符号语言：看复习书：看复习书1、函数的单调性是什么东西？为什么要研究函数的单调性？、函数的单调性是什么东西？为什么要研究函数的单调性？答：研究函数图像是上升还是下降。现实中经常碰到单调性，答：研究函数图像是上升还是下降。现实中经常碰到单调性，你如上山下山上楼下楼。正因为单调性在现实中非常普遍所以你如上山下山上楼下楼。正因为单调性在现实中非常普遍所以才研究。才研究。2、文字语言、图形语言、符号语言各有什么优劣？、文字语言、图形语言、符号语言各有什么优劣？答：文字语言不精确，比如说者无心听者有意，文字语言总是让答：文字语言不精确，比如说者无心听者有意，文字语言总是让人误会。人误会。图形语言直观，但一些函数图形很难画出来。图形语言直观，但一些函数图形很难画出来。符号语言精确、严格、简洁、漂亮、有助于减少人的思维量，符号语言精确、严格、简洁、漂亮、有助于减少人的思维量，让人更容易思考，减轻大脑负担。让人更容易思考，减轻大脑负担。3、单调性的三种语言、单调性的三种语言4、再画一个中间是弯折的整体式上升的曲线，问这个函数也满足再画一个中间是弯折的整体式上升的曲线，问这个函数也满足你说的，于是引出要你说的，于是引出要 两词。两词。“任意任意”5、证明一个函数的单调性文字语言、图形语言能不能当证明证明一个函数的单调性文字语言、图形语言能不能当证明？要证明一个函数的单调性只能用符号语言来证明。为什么？要证明一个函数的单调性只能用符号语言来证明。为什么？6、最大、小值的文字语言、图形语言、符号语言最大、小值的文字语言、图形语言、符号语言。看复习书。看复习书问哪种语言才是精确、严格、简洁、漂亮、可以当定义？问哪种语言才是精确、严格、简洁、漂亮、可以当定义？每次每次 根据函数单调性的定义判断有局限性，只能判断比较根据函数单调性的定义判断有局限性，只能判断比较简单特殊的函数的单调性，比如一元二次函数、简单的一元三次函简单特殊的函数的单调性，比如一元二次函数、简单的一元三次函数比如数比如y=x3 、简单组合的指数、对数函数（比如、简单组合的指数、对数函数（比如y=2x +2-x）或简单或简单的的分式函数比如分式函数比如y=1-1/x等等。等等。对于对于复杂的复杂的函数比如函数比如y=sinx-x 我们就无路可走。我们就无路可走。数学家数学家想有没有简单明了想有没有简单明了通俗易懂的判断方法？且不但能通俗易懂的判断方法？且不但能判断简单函数的单调性也能判断复杂函数的单调性。于是数学家发判断简单函数的单调性也能判断复杂函数的单调性。于是数学家发明了导数（微积分）明了导数（微积分）数学有三种语言，符号语言、图形语言、文字语言。对于数学有三种语言，符号语言、图形语言、文字语言。对于函数的单调性也是这三种语言。文字语言不严格，被人误会，因为函数的单调性也是这三种语言。文字语言不严格，被人误会，因为有时候说者无心听者有意。图形语言有缺陷因为有时候图画不出来。有时候说者无心听者有意。图形语言有缺陷因为有时候图画不出来。只有用符号语言表达的概念才是达到严格标准。只有用符号语言表达的概念才是达到严格标准。观 察:下图(1)表示高台跳水运动员的高度 h 随时间 t 变化的函数 的图象,图(2)表示高台跳水运动员的速度 v 随时间 t 变化的函数 的图象.运动员从起跳到最高点,以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别?aabbttvhOO 运动员从起跳到最高点,离水面的高度h随时间t 的增加而增加,即h(t)是增函数.相应地,从最高点到入水,运动员离水面的高度h随时间t的增加而减少,即h(t)是减函数.相应地,(1)(2)xyOxyOxyOxyOy=xy=x2y=x3 观察下面一些函数的图象,探讨函数的单调性与其导函数正负的关系.在某个区间(a,b)内,如果 ,那么函数 在这个区间内单调递增;如果 ,那么函数 在这个区间内单调递减.这个就是简单明了通俗易懂的判断方法。这也这个就是简单明了通俗易懂的判断方法。这也是导数为什么称人类历史上最伟大发明的原因。是导数为什么称人类历史上最伟大发明的原因。问：这些结论需要死记硬背吗？然后记住去套吗？问：这些结论需要死记硬背吗？然后记住去套吗？答：用最简单的具体例子套一下。比如答：用最简单的具体例子套一下。比如f(x)=x，g(x)=x，u=g(x)=x2学习数学是死记硬背住结论然后去套吗？学习数学是死记硬背住结论然后去套吗？答：用最简单具体的例子套一下，比如答：用最简单具体的例子套一下，比如f(x)=x，g(x)=x。如果死记硬。如果死记硬背住公式去套学习负担很重。背住公式去套学习负担很重。解答此题需要以下题目当导入，说明满足函数性质的函数不唯一解答此题需要以下题目当导入，说明满足函数性质的函数不唯一 此题需要准备两个知识点，如下。此题需要准备两个知识点，如下。数学知识有两个角度的本质，形的角度本质和数的角度本质即数学知识有两个角度的本质，形的角度本质和数的角度本质即代数角度本质的和几何角度本质。代数角度本质的和几何角度本质。代数角度本质是完全平方数大于等于代数角度本质是完全平方数大于等于0，几何角，几何角度本质是风车图案。度本质是风车图案。复习以前的知复习以前的知识。识。结论：结论：一般地，对于任意实数一般地，对于任意实数a a、b b，我们有，我们有 当且仅当当且仅当a=ba=b时，等号成立时，等号成立此不等式称为此不等式称为重要不等式重要不等式 类类 比比 联联 想想 推推 理理 论论 证证 （特别的）如果（特别的）如果 也可写成也可写成 a0 ,b0,当且仅当当且仅当 a=b a=b 时时“”号成号成立立 此不等式称为此不等式称为基本不等式基本不等式算术平均数算术平均数几何平均数几何平均数(1)(1)两个正数的算术平均数两个正数的算术平均数不小于不小于它们的几何平它们的几何平 均数均数.(2)(2)两个正数的等差中项两个正数的等差中项不小于不小于它们的等比中项它们的等比中项.aboABPQ对基本不等式的对基本不等式的几何意义几何意义作进作进一步探究一步探究:如图如图,AB,AB是圆是圆o o的的直径，直径，Q Q是是ABAB上任上任一点，一点，AQ=AQ=a a,BQ=,BQ=b b,过点过点Q Q作垂直于作垂直于ABAB的弦的弦PQPQ，连，连AP,BPAP,BP,则则PQ=PQ=_,_,半径半径AO=AO=_几何意义：几何意义：圆的半径不小于圆内半弦长圆的半径不小于圆内半弦长 数学知识有两个角度本质，形的角度本质和数的角度本质即数学知识有两个角度本质，形的角度本质和数的角度本质即代数角度本质和几何角度本质。代数角度本质和几何角度本质。代数角度本质是一是重要不等式的推论二是完全平方数大于代数角度本质是一是重要不等式的推论二是完全平方数大于等于等于0，几何角度本质是半径不小于半弦。，几何角度本质是半径不小于半弦。应用基本不等式求最值的条件：应用基本不等式求最值的条件：a a与与b b为正实数为正实数若等号成立，若等号成立，a a与与b b必须能必须能够相等够相等一正一正二定二定三相等三相等积定和最小积定和最小和定积最大和定积最大强调：强调：求最值时要考虑不等式是否能取到求最值时要考虑不等式是否能取到“”应用基本不等式求最值的条件：应用基本不等式求最值的条件：a a与与b b为正实数为正实数若等号成立，若等号成立，a a与与b b必须能必须能够相等够相等一正一正二定二定三相等三相等积定和最小积定和最小和定积最大和定积最大强调：强调：求最值时要考虑不等式是否能取到求最值时要考虑不等式是否能取到“”巩固练习巩固练习1.1.，当，当，当，当 取什么值，取什么值，取什么值，取什么值，的值最小？最小值是多少的值最小？最小值是多少的值最小？最小值是多少的值最小？最小值是多少?引申：若引申：若x0呢？呢？呢？呢？(2)已知已知 与与2的大小关系的大小关系,并说明理由并说明理由.(3)已知已知 能得到什么结论能得到什么结论?请说请说明理由明理由.以前知识复习完毕。以前知识复习完毕。注：数形结合。注：数形结合。
