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天津大学自动控制原理考研复习资料天津大学自动控制原理笔记自动控制理论（1）第一章：绪论反馈控制原理1. 负反馈概念典型系统框图2. 闭环系统主要问题1.稳定2.性能3. 开环控制二.控制系统的基本组成三.控制系统的分类1 .从系统实现目标上分伺服系统，恒值系统2 .从输入输出变量的个数分 SISO.MISO3 .从信号性质连续，离散，混合4 .数学描述线性，非线性5 .从控制方式上分1. 按偏差控制2. 复合控制3. 先进的控制策略四.控制系统的基本要求1. .稳定2. 静态指标3. 动态指标品质、性能第二章：控制系统的数学模型§1.控制系统的微分方程描述1) RLC 电路根据电路基本原理有:dtRi+L+ Uc =U. duri = c-r d2ucdueLc -1 RcF u = udt2dtc r2)质量一弹簧一阻尼系统工由牛顿定律：3）电动机:Ur ：电枢控制输入2：被控电路方程：动力学方程:di,.Ur -Ea = La -T + Raiaat(1)(2)(3)(4)(4)9(2) W： ia =J dQ+-kd出(3)(5) f (1)得:k, dt2dtd r R. dt 如工整理并定义两个时间常数机电时间常数4 =R,电磁时间常数电机方程TJ,ndt1dt如果忽略阻力矩即=0,方程右边只有电枢回路的控制量与，则电机方程是一典型二阶方程如果忽略7；（7；=0）电机方程就是一阶的+ Q =m dt k,1）电位器组. up =kp（i/-（p）2）放大器-发电机励磁 di fdi f knR J（+ Lf= T f+/=f s f dt a p f dt f Rf3）发电机-电动机组Ef = kjf4)传动机构Q e鲍=kQdt整理得：dt2 L鲍2 k dtTfT«T电 d'（p +巴+，）d3（p k-jFk jFk k k kk="*'开环比例系数Rfkd解释衣的物理意义解释。跟踪无差§2 .传递函数Laplace变换Lf(t)F(s)从时域T复域定义：F(s)=0举例：/(/)=1(/)oo(S)=es,dt =0常见函数的Laplace变换:1(0->- S1L fis + a,asin at f S 4scos at > s +用Laplace变换解微分方程方程两边进行LaplacTs y(s)+ y(s)= r(s)一(、*s)111y(s)=.=Ts +1 Ts +1 s s_ t反变换 y(t)= l(r)-e T当 r(r)= S(r) y(s)= T , Ts +1i _£反变换y(t)=e T尸dt1=.«001p=一s 0 sa2a2哼+ y“i dty(0)=0e变换(零初始条件)II+-T11-T 1s + Ty(0-)= O,y(O+)=-,初值跳变问题!2砂/dce变换的初值定理x(0+)= lim5X(5)500终值定理：x(oo)= limsx(s) stO定义传递函数y(s)/r(s)= G(s)零初始条件下=传递函数输出的Laplace变换输入的Laplace变换把上面的随动系统用传递函数表示，并化成框图(勺=52 y(s)- sy(O)- y (0),什么是零初始条件? dt如何从该框图求得。与材之间的关系？从微分方程-传递函数§3 .框图及其变换驾= G(S)G2(S) ”(s)一.框图的几种连接方式串联传递函数相乘Gi(s)( GKs)工并联传递函数相加驾= G(S)+ G2(S)y反馈G(s)：前馈通道的传递函数H(s)：反馈通道的传递函数G(s)H(s)：开环传递函数(w - yH)G = yy(s)= G(s)371+ G(5)H(5)同理可得正反馈下:y(s)二 ”(s)G(s)l-G(s)H(s)前面随动系统的例子(P自己推导出少与“之间的关系（1）传递函数（2）微分方程二.框图变换1）交叉反馈此例说明交叉点左右移动对传递函数的影响，跨越点，求和点要注意2）有扰动输入的情况Qr=ff)c）为使y不受扰动F的影响应如何选?X5)=(G3-G.G,)G?当她=0即G4=5一不受,影响/"G6场)G,3）顺馈的例子:变换框图:(G,+G2)°3- y(s)'_1+ G3G4-r(s)也可把它看成是双输入系统补充题:§4 .信号流图节点表示变量G _乙（框图表示）（信号流图表示） 两节点之间的传递函数叫传输（增益），用直线加箭头表示 支路：两节点之间的定向线段 回路：闭合的通路 不接触回路：没有公共节点的回路前面补充题1用信号流图表示如下:G6计算信号流图中的两节点之间的传递函数用梅逊公式"（s）=!Z0（s）A（s）Q,（s）第i条前向通路传递函数的乘积A 流图的特征式=1-所有回路传递函数乘积之和+每两个互不接触回路传递函数乘积之和-每三个.=1- Z4+ZZ44-ab c与余子式，从中处除去与第i条前向通路接触的回路此例，有前向通路三条0= GQ2G3G4G5Qi = G。4G5G6。3= GG2G7回路四个L,=-G4Hl L、=-G2G7% L,=- G6G4G5”, II44，4J乙2G3G4G5也互不接触回路右，心互不接触A =1（L+乙2+乙3+ L4）+ L乙2A2=1c 1-= T(2A +。242+0343) r 2.顺馈的例子G2前向通路。|= GfG3回路：4=-G3G4无不接触回路。2= G2G3L2=G|G3A =1-(L,+ L2) A,=1,A2=1补充题2.前向通路：。1= GG2G3G4G5G6回路：LG2G3H2,L2=G,G2H, L3=-G5H4L4=G5G6H3, LsfG2G3G4,4=2G3G4G5G6%不接触回路： L1L3, L1L4, L2L3, L2L4, L5L3, L5L4A 1(L+)+(Z>| L3+ L L4+乙2右+ L、L4+ L5 L)+ L4)r 作业：2.1 a. b. c.2.5a (提示：用复数阻抗法)2.502.51补充二题.两种方法解：框图变换法和信号流图法§5.控制系统的基本单元1)比例：G(s)= k2)惰性(惯性)：G(s)=, T.时间常数阶跃响应特征Ts + l3)二阶振荡环节G(s)= r7时间常数，4阻尼系数T2s2+2口+1-2CT+、/忆一472特征方程的根5一一上专一0<7<1,一对共粗复根(实部为负)其响应表现为衰减振荡等幅振荡<=1,两个相等负实根单调衰减7>1，两个不相等的负实根，可分解为两个惰性单元单调衰减说明：系统动态响应的性质取决于其特征根的性质4)积分G(s)=1S6)微分环节以上三个环节2).3).4).的倒数分别称为一阶微分，二阶微分，纯微分这些环节不能单独存在，只能与其它环节配合使用§6.线性化问题以放大器为例：在一定范围内输出与输入是线性关系y=kx,但是当放大器饱和时，y与x 就不是线性关系了。微偏线性化在工作点附近的小邻域内，将y与x之间的关系展成台劳级数设y =/(无)在X。附近可以表示成/(X)=/(x0)+/'(x0)(x - x0)+/"(x0)(x - x0)2+对相当多的/(x),当x-Xo=Ar足够小，且在与点高阶导数不是8时，忽略Av的高阶项，得f(x)= f(xQ)+ f'(x0)(x-x0)即Ay =/(Xo)Ar ,这说明y的增量与x的增量之间的关系变成了线性关系举例:R = Ro + kA8, U0已知，研究当鹿化时，改口何变化Un=L+ Ri° dt=L+(7?0+M)z 两变量相乘，非线性! dt工作点设在8等于o处，有：/()=%，=/()+，于是：Uo = Q 卅)+(&+ M0)(/n + Az) dtU0=L+ R0I。+ kl 49+/?0Az +必必 i dt,: U。=%/()第三章：线性系统的时域分析方法 1 .稳定性前面讲的随动系统是一个四阶微分方程，代入参数得0.025/4)+0.550+1.5°+(p +(p-i/特征方程0.02554+0.5553+l.5s2+5+1=0特征根 S=-18.94,52=-2.62,534=-0.221±70.889(p(t)= Ae卬+ BeS2'+ Ce22It sin(0.889r +。)+/(p (?)为特解)46. C 由初始条件求出分析当Too,前三项-0,(P(4(P (0现将k (左为开环比例系数)增大10倍，再解特征方程得邑二18.89,1=4.13,534-0.501± J2.21于是得(p(t)= Aes>t + BeS2t + Ce°-501z sin(2.2t + O)+夕* Q)只要C w 0,当r ->8,°(r)->8,达不到°*。)Ajt可见以，)取决于特征根。组成e(f)的分量诸如e，叫运动模态由这个例子我们可以得到下面的结论：线性系统稳定的充分必要条件是特征方程的根部必须具有负的实部，或说特征根都在S平面的左半平面。但是，对于非线性方程，在有些初始条件下，解能达到一种确定的状态，称为稳定的运动，而在另一些初始条件下的解表现为不稳定的运动。所以，对一个非线性系统，不能笼统地称系统稳定与否，而只能说哪些解是稳定的，哪些是不稳定的。见书上图3.3例 2 2.稳定的Liapunov定义一.定义如果一个关于X的微分方程组，在初始条件X(2)= X。下有解X(t),且对于任意给定的正数e >0,总存在一个正数6(e),当初始条件X。变为X。时，只要 X。一 X。|6，其相应解X(r)在t>tQ的任何时刻都满足 X(z)- X(r)|<£,则称解x(r)是稳定的。如果不存在这样的正数8,则称解X。)是不稳定的。定义的几何解释见p.111图3.7A大范围稳定S任意大>渐进稳定稳定，存在b,x(r)无限趋于X。)工程上希望的系统是大范围渐进稳定的。补充说明：一个高阶方程可以化成一个一阶微分方程组+= Uxx-xc设：无2=Mx3= XVx= x2 r价 x2.1/、1X3= QHqX一IIx001001X2+001ll_£o_a2x343%a3L J二.Liapunov第一方法（见书 P. Ill112）1 .若线性化后系统特征方程的所有根均为负实数或实部为负的复数，则原系统的运动不但是稳定的而且是渐近稳定的。现性化过程中被忽略的高于一阶的项也不会使运动变成不稳定。2 .若线性化后系统特征方程的诸根中，只要有一个为正实数或实部为正的复数，则原系统的运动就是不稳定的。现性化过程中被忽略的高于一阶的项也不会使运动变成稳/to3 .若线性化后系统特征方程的诸根中，有一些是实部为零的，而其余均具有负实部，则实际系统运的稳定与否与被忽略的高阶项有关。这种情况下不可能按照线性化后的方程来判断原系统的运动稳定性。若要分析原系统的运动稳定性必须分析原系统的非线性数学模型。§3. Routh 判据 Routh-Hurwitz 判据根据微分方程特征方程的系数，不解方程来判断是否有右半平面的根这就是破“力和小分别独立提出来的稳定性判据，其功能是判断一个代数多项式有几个零点位于复数平面的右半面例1,特征方程2s6+5s5+3s4+4s3+6s2+145+7=0构造Routh表4123_7_2_26_2S554-55514-5J_27|2550|5s36s'18 T 115 IT 1589 TT-117看第一列:2575187115IT15891157一次变号又一次变号第一列系数全为正，是系统稳定的充分必要条件110520s16242424第一列系数出现0,用一个小正数£代替，如果£上下元素相同,表示有一对纯虚根存在，如果相反，则认为有一次变号此例解得根为：±2/,-2,-3.例3?-35 + 2 = 0这说明有两个根在右半平面+1，+1,-2例4.55+2j4+2453+4852-255-50=0S5124-25$4248-50s30(8)0(96)S224-50出现全零行时构造一辅助多项式254+48./-50求导得：853+96?用此行代替全0行一次变号说明有一个正的实根0上下同号说明有一对纯虚根全0行说明有一对大小相等关于原点对称的根。这一对根可以从辅助多项式构成的方程解出。2s4+48§2-50=0解得：±1,±5 j ,-2 关于稳定的必要条件设想方程全部为负实根或实部为负的共轨复数则一定可以分解成下面一些因式的乘积(5+ a)(5+/3+ jy)(s +/3- jy)夕,/>°(s + a)62+2佻+夕2+,2)可见全部系数必为正.得出：方程系数全为正是系统稳定的必要条件(但不充分) 用Routh判据来分析一.二.三.阶系统可得判断一.二.三.阶系数稳定的充要条件。15+4=0,%0,&0a2s2+a1s + a0=0,a2,ax,a0>0a3s+ a2s2+as + an =0, a3,a2,at >0,且a2al > a3ao作业：3.5,3.6,3.7,3.8,3.9,3.10,3.12关于也判据不讲，可自己练习(作业可不做)§4.参数对稳定性的影响，参数稳定域系统的参数集中体现在以开环比例系数)和诸T,它们是影响系统稳定的主要因素1. .一般情况下，过大不利于稳定(有些特殊情况，条件稳定)2. 增大时间常数，不利于稳定3. 增多时间常数，不利于稳定参数稳定域(单参数，双参数稳定域)设一个系统得开环传递函数G开（s）s + l)S(S + 1)(25 + 1)，试找出4的稳定范围百先列出特征方程:1+ G 开(s)=0即 s(s + l)(2s +1)+ s +1)=02s3+3s斜坡+(+-k)s + k=Ok>0根据Abut力判据，3(+ J_q >2女，0< k <3是k的稳定范围双参数稳定域G 开(s) =k,T>0k(rs +1)S(S +1)(25+1)特征方程：2s3+3s2+(l + k7)s + k=03(l + kr)>2k2 1T >3 k§5.静态误差一.引言1）静差表示系统的静态精度，只有稳定系统才谈得上静差2）静差与输入信号有关，衡量标准是用一些典型输入信号作为标准“、1阶跃1（。s二.定义基本定义e = y要求值一 y实际值表现在框图上b = yH反映y的实际值，r体现对y的要求值：.e = r-yH对于有些复杂情况，从框图上找不到e要求e=r-y是否可以把它变换成->0 W(s)一.开求出对应的W开(s),即求出对应于闭环传递函数(卬闭=/)的单位反馈的开环传递函数W开(s)卬一一九即：1+卬开rGHX+GF-GH卬-W闭所以:%=匚孤三.静态误差的计算针对一般情况（如前图）e(s)r(s)1 + G开/. c(s)=l + G/)r(s)可见误差与G开（S）和输入r（s）有关用ZaRace变换的终值定理求e（8）= limse（s）= e"J-+0系统在三种典型输入信号卜的误差r(s)= e = lim se(s)= lims= lims "1°sto 1+6开。)$1。1+6开(5)r(s) = -ys=limse(s) = lims.v->0A->05V = limX-1 + Gjf(5)s2 sGn(s)r(s) =s=lim se(s) = lims1-1。1 + Gjf(s)s3s->0= lim-!i°s G开(s)定义误差系数3=11"6开（$）位置误差系数5>U1=lim sG开（s）速度误差系数sf 0乩=lims2G开（s）加速度误差系数stO对三种典型输入的静态误差为一阶跃输入1+ kpess =< y-斜坡输入 k.-加速度输入四.系统类型与静差的关系以上我们定义了误差系数，导出了在特定输入信号的作用下，静差与误差系数的关系，而误差系数与系统的开环传递函数有关，也就是说与系统的参数和结构有关。设G开（s）=幺空士»二任D（7=0,1,2,分别称为0型，1型，2型系统），注意女的定义！对0型系统:k=k阶跃输入下的静差e.=kv =0斜坡输入下的静差esx = oo心=0加速度输入下的静差ess =oo对1型系统kp = oo阶跃输入下的静差e,=0Jkv = k斜坡输入下的静差ess =3=0加速度输入下的静差ess = oo对2型系统kp =8阶跃输入下的静差ess =0:kv = oo斜坡输入下的静差ess =0ka=k加速度输入下的静差e5S =k总结如下表：,静差中入阶跃斜坡加速度01 OO81+K1I0 V 811oo-K五.关于静差的物理解释初始条件：平衡位置%,阀门开度/。，进水。°，出水当材增大，水位才降低，变大，从而。变大，为回升，当Q = Qi达到新的平衡，此时用?=%如果要保证0。°，4就必须大于/。，二用晶这是一个有差系统现变成：初始状态：/?=%,“=0,/=/o，M（）=。（）当M升为h下降，Ah0,电动机动作，提高升为小。升为。直到。=M达到新平衡此时"?=%试想：只要用 W "（）, W 0,电动机就转，阀门就动作（不是开大就是关小）直到力=%达到新平衡这是一个无静差系统。两者不同，前者是o型，后者是i型，多了一个电动机，在把速度信号变为位置信号时多了一个积分环节。水箱模型.六.对扰动的误差1.扰动(P(t)也是一种输入，系统静差由两部分组成，由数和K(s)G(s)-*H(s)1) 由r&引起的误差，可根据的性质和G开2) 由°化)引起的误差，令r(t)=O,做框图变换，G(s)- H(s)P(t) A-1K(s)引起的和山引起的代(S),求得，此时0仞=0求 e(s/ PG)e(s)P(s)GHX + GHK在已知0力下，求出分试分析含积分和不含积分两种情况下的静差ess =0解释，扰动作用点之前(左)含积分，对阶跃扰动无静差小不含积分1e赳-(G中不含积分)(G“中含积分)自测题：求以下3题的静差1)第一种情况:r(t)=l (t), f (t)=l(t)第二种情况：r(t)=t, f (t)=l(t)2)第一种情况：r(t)=l (t), f (t)=l(t)第二种情况：r(t)=t, f (t)=l(t)3)第一种情况：r(t)=l (t), f (t)=l(t)第二种情况：r(t)=t, f (t)=l (t)10S(S+1)答案：r(t)=l(t), f(t) = l(t)1) T/&2) 003) 0作业:3. 14,15,16,17,18, 21, 23, 24r(t)=t, f (t)=l (t)1/K| K2-/Ko§6.动态性能指标，二阶系统的运动1)超调 o=一2一_8)xioo% y(8)2)过渡过程时间4达到y(oo)5%或2%的时间"上升时间，”步第一次达到y(8)的时间td延迟时间，y 达到y(oo)一半的时间3)峰值时间了达到ax时的4)振荡次数5)爬行现象6)误差积分指标e2(t)dt,£ te2(t)dt, J,|e(/)|j?在阶跃函数作用下，误差的某个函数的枳分值，无论哪一种都希望越小越好典型二阶系统T2+2cr+y = v T时间常数，印且尼系数 dt dt另一种形式：+2yn += cov 。“=人无阻尼自振频率atatT在零初始条件下，解此方程有以下情况r Jl-<21) 0<<1,512=-±j(=-0"？土jg)(%是阻尼振荡频率)两个共加虚根y(f)=1/1 e 亍'sin(Jl+ arctg ''Jy tg曲线如图3.26,衰减振荡趋近于1.1t 2) ：=1,两个相等的负实根，S|,2=-一，y(r)= l-(l +-k r3) >1,两个不相等的负实根，Su =二7± J J】yQ）=1+ axes''+ a2eS2t/4）单调趋近于 i分析：看7的作用:ow，i,欠阻尼4=0无阻尼振荡7=1,临界阻尼过阻尼2)“T总在一起，7是个时间尺度，曲线展宽或压缩3)看两个根在s平面的分布，随着。从Of If 大于1看根位置的变化0- arctg.性能指标：1)tr, y(0)= i即：sin（69/r +。）= 0 > codtr + 0 =冗7t-0*=.3)求 O，将f =fp 代入y"),求出 ymaK，y(8)= 1.得n3 44)八近似估计值，4 a 1(5%-2%) 解释图3.21血课堂练习:s(7s + l)分析k, T,不同参数卜一的y(t)k=,T =;(，=0.5凡=6)2)k=4,T = V,(，=0.25也=6)k =,T =4-«=0.25,0=24)试画出曲线作业：3.19,2021232427小结：1)二阶系统T,4对动态性能的影响-(7lT2)能根据主要特征绘制阶跃响应曲线(T = e§7.高阶系统的二阶近似一个高阶系统的闭环传递函数，可以写成如下的形式= b“,s'"+一”S"T +.5+%= k(s+zi)(s + z2，“(s + z”) ansn +a_15n_1+.al5+ a0(5+ p()(5+ p2).(5+ pn)_ Pi (i=l,加系统的闭环极点-Zj (j=l,加系统的闭环零点在单位阶跃输入，零初始条件下，且假设这些零极点都是单极点(零点)、实数且互不相同。于是有:y(S)=%+ Y-,4, A,是相应于S =0,5=-p,极点处的留数s ,=l s + PinA)=丁皿力有 ya)= A°+ZA-'A =y(s)(s+Pi)s=_pi)设一极点-p«远离原点，此极点处的留数为4k(s + Zi)(S + Z,“)s(s + Pi ).(s + p*).(s + p“)4 = y(s)(s + p* ) ,=_队(S + P*)i_MPa+z。(p"+z,“)kgm-Z fl /111(-P*)(-P*+ Pl )(Pk + Pn )(P J&很小这表示远离原点的极点所对应的运动成分对于阶跃响应的影响很小2)设一零点-Z,和一极点-0人.很靠近，即P&+Z/很小这一对零极点称为偶极子此极点的留数A =一(s + Z|).(s + z，).(s + z,) jk s(s + P1).(s + p*).(s + p")"=MP*+zJ“(-P+z)(-p*+z,)可见4很小+P.)(- Pa +P”)这表明如果有一零点与一极点相近，则这个极点所对应的运动成分在阶跃响应中所占的比重很小因此我们在分析高阶系统时，就可以把上述两种情况的极点化为次要因素而忽略。如果一稳定系统有一对左半平面的共瓶复极点，而在它们附近又没有零点，则这一对共扰复极点称之为主导极点，这个系统就可以近似化为个二阶系统，其动态特性是由这一对主导极点决定。§8控制系统的校正问题介绍两种常用的校正方式，串联校正，局部反馈校正，以及两者的结合串联校正1. k(s)=比例)，设G.(s)= * Ts(Ts + 2?)当我“=1特征方程为：T2s2+26 + 1 = 0当 kpHl特征方程为：T2s2 +26 + kp=。当心变大，/变小，系统的响应快，但是右也变小，振荡加剧。2. k=(积分校正)设G.(s) = 1 p T,s8 s(Ts +1)G 开(s)=T,s2(Ts + 1)特征方程：T,Ts3+TiS2 +1 = 0 显然系统不稳定如果G,(s) = 5, k(s) = g 7；5 + 1T,s特征方程 T,s(Tos + l) + ko =0T,Tos2 + TS + k。= 0T'=可以通过调整7；,ko,使系统具有希望的特征六三=6”,与不加积分比较，系统响应变慢不加积分的特征方程为：7；s + l + ko=OT'=,ts =3T'=1+忆01+&o可见加积分缺点-系统变慢，甚至于不稳定优点-对克服静差有利3.将上述两者结合起来，比例加积分T 54-1kqk(s)="+专)=3后'设g.(s)=6G 闭(s)=A/o(T/S +1)女人(T/S + Dqs(ToS + l)+&/o(T/S + l) TR/+(kpk°+Y)TS + kpko7>+ l kpk。+17>+ lMo»i Ts +1-s2+T,s +k pk。. T/S + l(7>+1)(再§+1) k pk。乙-s + l k小0比例加积分控制：1）有积分对克服静态误差有利2）使响应可达到非振荡状态且人不长，/,=3-2- kpk0（不加比例积分：=3工一）1+心4.比例加微分Z(s)=3(1+ TdS)控制信号“(r)= kpe(t)+ kpTD无微分作用只要就产生使增大的控制作用，当f = f“e = O时，还在增加，会出现过头现象，加了微分作用u«）在片。时为零，在t；到4这段时间内»（/）0,抑制y"）的增加，好像在车辆到达目标之前，提前制动一样。微分作用只在信号发生变化时才起作用。5.比例加积分加微分PID综合了比例积分加微分的优点。二.局部反馈校正通常用局部反馈改善局部特性，再配以串联校正设 G(s)=一,G 人 s)= kK小闭环等效为 A口 , Kk1 +Ts + Ts + cK =1+kKTs + l + kK T 5+11 + kK当kK >>1时=! k当G中T较大时，采用局部反馈可减少惰性。本章小结1. 稳定问题充要条件稳定判据2.静差系统类型对典型信号的误差对扰动的误差2. 二阶系统的动态特性第四章.频率响应法 1 .引言从RC电路对正弦信号的响应，引出频率特性“，= Xsin所由电路知识可知，/也是同频率的正弦信号，只不过幅值和相位发生变化，它们之间的关系满足1等_/"厂=1=/1 Z-argtgRCd）Ur R +-L RQ+ Tjcoc我们称之为频率特性，它是一个复变函数（是将一!中的Sf jCD ）,RCs +提出问题1这种分析方法是否适合于一般系统，即如果已知传递函数G（s）,那它的频率特性是不是G（y）。2如果输入不是正弦，而是一般周期函数，通过Foarier变换分解成一系列正弦函数之和。3如果是非周期函数，这种关系还成立吗？ 2 2. Fourier变换与非周期函数的频谱满足Dirichlet （狄里赫利）条件的周期函数，都可以用尸。“rier变换，表示为一系列的谐波（正余弦）之和00/«)=&+ cosnty/+ hn sin ncot«=i其中：4=，力， a.=梳1*(f)cos外力,2 nbn = R/a)sin4力,i2%°F可以看出，周期函数/的频谱是离散的，即只在外，2例，3例等频率下有谱线。当/是非周期函数，可以看成7； foo的周期函数这时基波外-0,各次谐波之间的差趋向于无穷小，即无限接近，谐波的幅值-0非周期函数的频谱含有一切频率成分，即是由无穷多个无穷小的谐波组成，所以它的频谱是连续的。Fourier变换的数学描述_+O0/(»= J7"法力-00举例：fit)= e rl(r)00/».TT/(/0)=e te1，o,dt=-；=/ N-argrgor 01+107 Jl +(O7)-其图像为称为截止角频率T从图中可以看到了中含有一切频率成分，。从Of 00|/（，。）|代表频率为。的那项谐波的幅值（除以一个无穷小量）-arcfgor代表频率为a的那项谐波在t =0时刻的初相角频带：通常指截止角频率的10倍。试想当T越小时，/Y”越尖的频带越宽，由此可知，变化越剧烈的函数，它的频带越宽，含有的高频成分越多。§3 .频率特性现在我们来回答引言中的第一个问题，一个正弦信号加到- G（s）时象上，其输出与输入之间的关系，是不是可以用频率特性来表示，而频率特性是不是G（j。）？Asin atG(s)yFG(s) =P(s)(S + P|)(S + P2*(S + P“)P(s)2 (s + px)(s + p2).(s + Pn)、一/、 XCD y(s)= x(s).G(s)=-5+69b a a一十.+ S + S jco s- JCDy(f)= bxeSi，+.+ bnes"'+aejM + a ejMa = y(s)(s + ja)s_Jm = G(s).Xco其中：3），（5 + 法）（5 加）G+j0)li同理可求”=±|G(_/a),沏2j凶)=弓顺功)"刚小的+171G(刃)|e"6加_- X|G( jo)|e WM + X|G(»|eja,+*(<8)1=2/-XG(ja)(g-，(碗+2j=X|G(jG)kina +°(G)：.由=|G（汝）|输出的模与输入的模之比等于的模即）|F与X。的相位差0（。）（就是G（j。）的角）G（j。）：频率特性，就是将。闻中的ST/。G(_/a)是个复变函数，它的模表示艘.的模。输入它的角表示输出与输入的相位差现在我们将上述结论拓宽如果输入信号不是正弦函数，而是一非周期函数，通过五。ur/附变换可以表示为一系列的正弦函数之和，对于每一项正弦函数都有上述关系。.我们把频率特性定义为输出的Azzr/er变换与输入的&>ur/er变换之比。|G(j姆称为幅频特性 rgG(j称为相频特性：它们都是的函数,都可以用图像表示出来。根据图像我们可以分析出系统的许多特性。§4 .频率特性的图像：1)极坐标图：在复平面，把频率特性的模和角同时表示出来的图就是极