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中学初高中数学衔接教材目 录引入乘法公式第一讲因式分解1. 1提取公因式1. 2.公式法(平方差，完全平方，立方和，立方差)1. 3分组分解法1. 4十字相乘法(重、难点)1. 5关于x的二次三项式ax2+bx+c(a£0)的因式分解.第二讲函数与方程1.1 一元二次方程1.1.1 根的判别式1.1.2 根与系数的关系(韦达定理)2. 2 二次函数2.1.1 二次函数丫=2*2+6乂+©的图象和性质2.1.2 二次函数的三种表示方式2.1.3 二次函数的简单应用第三讲三角形的“四心”乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式:(1)平方差公式(a + b)(a-b) = a2-b2 ；(1)立方和公式(2)立方差公式(3)三数和平方公式(4)两数和立方公式(5)两数差立方公式(2)完全平方公式(。土b)2=q2±2ab + /.我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：(a + b)(a uh + = / + h ；(a-b)(a2+ab + b2) = a3-b3 ；(a + /7 + c)=a + b + c + 2(ab + be + gc)；(a + 姆=a3+3a2b + 3ab2 + b3 ；(。一 bp = / - 3/b + 3 加 ,对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明.例 1 计算：(X + l)(x - l)(x2 - X + 1)(? + X + 1).解法一：原式+=(x2 -l)(x4 +x2 + 1) =x6 -1.解法：原式=(x + 1)(r-x + l)(x 1)(%2 +工 + 1) =(x3+l)(x3-l)=x6 -1.例2 已知 q + /? + c = 4, ab-bc + ac = 4 ,求。2+/+。2 的值. a + h + c = (q + 8 + c) 2(ab + be + etc) 8 .习1 .填空：(1);1 2 1,2 A , 1 、， qb- =(b + a)(9423(2)(4/n +)2 = 16/n2 +4m + (3)(a + 2b- c)2 = a2 + 4b2+c2 +();)2 .选择题：(1)若/+,加工+攵是一个完全平方式, 2(A) tn2(C) -m23,、12(D) m16(2)不论a, b为何实数,(A)总是正数(C)可以是零。2+从-2" 4b+ 8 的值(B)总是负数(D)可以是正数也可以是负数第一讲因式分解因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法, 另外还应了解求根法及待定系数法.1 .十字相乘法例1分解因式：(1) x23x+2；(2) ?+4x-12；(3) x2 (a + h)xy + aby2 ；(4) xy 1 + x-y .解：(1)如图1. 1-1,将二次项？分解成图中的两个x的积，再将常数项 2分解成一1与一2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为一3x,就是 X23x+2中的-次项，所以，有x23x+2=(x l)(x2).说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1.1 1中的 两个x用1来表示(如图1.12所示).(2)由图1. 1-3,得x2+4x-12=(x-2)(x+6).(3)由图1. 1-4,得x2 - (ab)xyaby2 = (x - ay)(x by)(4) xy l + x y =xy+(x-y) 1=(x-l)(y+l)(如图 1. 15 所示).课堂练习一、填空题：1、把下列各式分解因式：(1) + 5x-6=o(2) x2 -5x4-6 =o(3) x +5x + 6=o(4) x2 -5x-6=。(5) / _(q +1, + Q =o(6) x2 -11x4-18=o(7) 6x2 +7x + 2 =o(8) 4m2 -12m + 9 =。(9) 5 + lx-6x2 =o(10) 12x2 +xy-6y2 -o2、x_ _ 4x += (x + 3)(x +)3、若/+无 + 6 =(工 + 2*无一4)则。=, b =o二、选择题：(每小题四个答案中只有一个是正确的)1、在多项式(1) x+7x + 6 (2) x'+4x + 3 (3) x" 4-6x + 8 (4) x" +7x4-10(5) /+15x + 44中，有相同因式的是()A、只有(1) (2) B、只有(3) (4)C、只有(3) (5)D、(1)和(2)； (3)和(4)； (3)和(5)2、分解因式。2+8。-33b2得()A、(a+ 11)(a 3)B、(a+1 lb)(a 3h)C、(a1 lb)(a 3b)D、(a-1 l/?)(a + 3/?)3、(4+6)2+8+。)一20分解因式得()A、 (q + b +10)(q +/? 2)B、 (a +/? + 5)(a + 8一4)C、(a +/? + 2)(a +。- 10)D、(a + /? + 4)(a +。-5)4、若多项式12-3工+。可分解为(工一5*工一。)，则、b的值是()A、ti = 10 , b = 2 B、a = 10 , b = 2C、a = 10 , b = 2 D、a = -10 ,b = 25,若Y+如-10 = (x + a)(x + b)其中a、b为整数，则m的值为()A、3或9 B、±3 C、±9 D、±3或±9三、把下列各式分解因式、6(2p _ q) _ l(q - 2P)+32、o Su b + (tub4、b4-2b2 -83、2y2 -4y-62.提取公因式法例2分解因式：(1) a2(fe-5)+a(5-fe)(2) ?+9 + 3x2+3x解： (1). ci(b5)+ a(5 b)ab 5)a Y)(2) x3 + 9+3/ +3x=(x3 +3x2)+(3x+9) =x2(x+3)+3(x+3) =(x + 3)(x2+3).或x3 + 9 + 3x2 +3x = (jc3 + 3x2 + 3x +1) + 8 = (x + 1)3 + 8 = (x + l)3 + 23 =(x + 1) + 2mx +1)2-(x + 1)x2 + 22 =(x + 3)(x2 +3)课堂练习：一、填空题：1、多项式6/-2q2 +4孙z中各项的公因式是 o2、mx - y)+- x) = (x - y) °3、m(x - y)2 + n(y x)2 = (x y)" «4、m(x-y-z)+(y + z-x)=(x-y-z)。5、m(x_y-z)-x + y + z = (x-y-z)。6、一 13时2/ -39a3b2/分解因式得。7.计算99?+99=二、判断题：(正确的打上“J”，错误的打上"X” )1、2a2b-4ab2 =2ab(a-b) ()2、am + bm + m = m(a+b) ()3、- 3x，+ 6x -15尤=-3x(x+ 2x - 5) ()4、xn+xn-' =xn-'(x + l) ()3：公式法例3分解因式：（1） 一/+16(2) (3x + 2y)2 -(x-y)2解：(l)-a4 + 16 = 42-(a2)2 =(4 + a2)(4-a2) = (4 + a2)(2 + a)(2-a)(2)(3x + 2“ 一 (x - a=(3x + 2y + x - y)(3x + 2y - x + y) = (4x + y)(2x + 3y)课堂练习一、a2-2ah + b2, a2-b2, 的公因式是 二、判断题：（正确的打上“J”，错误的打上"X” ）1、-(o.l)2 =|x + 0.1|x-0.1j()2、9a2 -8b2 =(3a)2 -(4Z>)2 =(3a+4b)(3a-4Z>) ()3、25a2 - 6b =(5a+ 4b)(5a-4b) ()4、-x2-y2 =-(x2 -y2)=-(x+y)(x-y) ()5、a2 -(b + c)2 =(a + b + c)(a-b + c) ()五、把下列各式分解1、-9(m-n)2 +(m + n)22、3x2 -3、4-(x?-4x + 2)4、x4 2x +14.分组分解法例 4(1) x2-xy + 3y-3x(2) 2x2+xy-y2-4x + 5y-6.(2) 2x2 + xy-y2 -4x + 5y-6=2x2 +(y-4)x-y2 +5y-6=2x2 + (y - 4)x - (y - 2)( y - 3)=(2x - y + 2)(x + y - 3).或2x2 + 孙一,2 -4x + 5y-6=(2x2 +xy -y2)-(4x-5y)-6 =(2x - y)(x + y)-(4x-5y)-6=(2x y + 2)(x + y 3) .课堂练习：用分组分解法分解多项式(1) x2-y2-a2-h2+2ax + 2by(2) a?4。/? + 4人2 6。+ 12人 + 95.关于x的二次三项式”，加什以0才)的因式分解.若关于X的方程。尢?+/?x + c = O(qr0)的两个实数根是玉、x2,则二次三项式 ax2 + bx + c(a 丰0)就可分解为a(x-*)(x-x2).例5把下列关于x的二次多项式分解因式：(1) x2+2x-1；(2) x2 + 4xy-4y2.解：(1)令V+2x 1=0,则解得芭=1 +及，=一1一逝，/. x2 + 2x-l = x-(-1 +(-1 -6)=(X + 1 - &)(x + 1 + &) .(2)令x?+4盯一4)，2=0,贝D解得演=(2 + 2&)y ,%=(一2 20),x2 + 4xy - Ay2=x + 2(1 - y/2)yx + 2(1 + y/2)y.练 习1 .选择题：多项式21-砂 15)2的一个因式为()(A) 2x-5y(B) x-3y (C) x + 3y (D) x 5y2 .分解因式：(1) x2+6x+8；(2) 8d3-Z?J；(3) x22,y1；(4) 4(x- y +1) + y(y - 2x).习题I. 21 .分解因式：(1) +1 ；(2) 4x4 -13x“+9；(3) Z?2 + c2 + lab + lac + 2bc ；(4) 3x2+5盯-2y2+x + 9y-4 .2 .在实数范围内因式分解：(1)r一5x + 3 ；(2)- 2>/2x 3 ；(3) 3x + 4xy y ；(4) (x2 - 2x)2 7(x2 2x) -1-12.3 .AABC三边a , b , c满足。？ +b2 +c2 =ab + bc + ca ,试判定A4BC的形状.4 .分解因式：x2+x(a2a).第二讲函数与方程2.1 一元二次方程2.1.1根的判别式情境设置：可先让学生通过具体实例探索二次方程的根的求法，如求方程的根(1) x2 +2x-3 = 0(2)x2 + 2x + l-0 (3) x2 + 2x + 3 = 0；用配方法可以将其变我们知道，对于一元二次方程ax2-bx+c 0 (。切), 形为/ b . 2 b2 -4ac(x + 广=-2a4a2因为。邦，所以，4«2>0.于是(1)当廿一4团>0时，方程的右端是个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根 -b + yjh2 -4ac(2)当/一4祀=0时，方程的右端为零，因此，原方程有两个等的实数 根bX =©=-；2a(3)当。24改0时，方程的右端是一个负数，而方程的左边。+幺)2 2a 一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根.由此可知，一元二次方程aXi+bx+c=Q (a/0)的根的情况可以由b24ac 来判定，我们把从一4祀叫做一元二次方程公2+bx+c = 0 (存0)的根的判别式, 通常用符号来表示.综上所述，对于一元二次方程ar2+Ax+c = 0(4邦)，有(1)当A>0时，方程有两个不相等的实数根_ -b + b2 4ac(2)当A=0时，方程有两个相等的实数根bXi =应=- ；2a(3)当AV0时，方程没有实数根.例1判定下列关于x的方程的根的情况(其中。为常数)，如果方程有实 数根，写出方程的实数根. /-3x+3=0；(2) f以一1=0；(3) X2ax-a-1)=0；(4) x22x+a = 0.解：A=32-4xlx3=-3V0, .方程没有实数根.(2)该方程的根的判别式=d-4xlx( -1)=。2+4>0,所以方程一定有 两个不等的实数根a +4a-yJa2 +41 22(3)由于该方程的根的判别式为A=a2-4xlx(a-l)=a2-4a+4 = (a-2)2,所以，当。=2时，A=0,所以方程有两个相等的实数根X =应=1 ；当。羊2时，>(),所以方程有两个不相等的实数根X = l,必=。-1 (3)由于该方程的根的判别式为=2?4x1xq=4467=4(1 a) 9所以当>(),即4(1 一)>0,即时，方程有两个不相等的实数根 a ,/=1 V1 a ;当A=0,即。=1时，方程有两个相等的实数根X =%2= 1 ；当AV。，即时，方程没有实数根.说明：在第3, 4小题中，方程的根的判别式的符号随着。的取值的变化而 变化，于是，在解题过程中，需要对。的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类 讨论.分类讨论这一-思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题 中会经常地运用这一方法来解决问题.2.1.2根与系数的关系（韦达定理）若一元二次方程尤+c=0 （。和）有两个实数根-b + yjb2 -4ac-b-yJb2 -4ac则有 -b + yjh2 -4ac -b - >Jb2 -4ac -2b bX + / =1=；2a2a 2a a-b-yJh2 -4ac -h-y/h2 -4ac h2 -(h2 -4ac) 4ac cX1X2 =2=2 =-2a2a4a 4a a所以，元二次方程的根与系数之间存在下列关系：如果ax2 + Z>x + c = 0 （存0）的两根分别是Xl，X2,那么1+2=-2, X1X2 a=-.这一关系也被称为韦达定理.a特别地，对于二次项系数为1的一,元二次方程x2+px+q=0,若修，应是其 两根，由韦达定理可知x H- %2= p，即P= -（X1 + %2）> q=X1X2,所以，方程r+px+qu。可化为 /（X+m）x+x/x2=0,由于x”型 是一, 元二次方程f+px+qn。的两根，所以，X,也是一元二次方程x2（xi+m）x +x/X2 = 0.因此有以两个数F，X2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 X2 （Xi+X2）r4-Xi-X2 = o.例2已知方程5/+履-6 = 0的一个根是2,求它的另一个根及k的值.分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出人的值，再 由方程解出另一个根.但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题， 即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之 积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k的值.解法一：二？是方程的一个根，.,.5x22+*x2-6=0,：.k=7.所以，方程就为5/7x6=0,解得町=2, x2= - -.所以，方程的另一个根为一亡，火的值为-7.解法二：设方程的另一根为R,则2xi = 一，= T.k由 （一士）+2 = 一 £,得 k=-7.55所以，方程的另一个根为一3, k的值为-7.例3已知关于x的方程?+2（/n -2）x+m2+4=0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21,求m的值.分析：本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21得到 关于m的方程，从而解得m的值.但在解题中需要特别注意的是，由于所给的 方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零.解：设©，也是方程的两根，由韦达定理，得工1+工2=-2（/72 2）,乃工2 = / + 4.VX|2+X22-X*X2 = 21 9（X）X2）3 %1,%2 = 2 1,即-2（/71 2）2-3（/+4）=21,化简，得 用216m17 0,解得加=-1,或川=17.当m = -1时，方程为W + 6x+5 = 0, A>0,满足题意；当m=17时，方程为小+30犬+293=0, A=302-4xlx293<0,不合题意， 舍去.综上，/«= 17.说明：（1）在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对 应的m的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m的值, 取满足条件的”的值即可.（1）在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的 判别式是否大于或大于零.因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实 数根.例4已知两个数的和为4,积为一 12,求这两个数.分析：我们可以设出这两个数分别为x,y,利用二元方程求解出这两个数.也 可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解.解法一：设这两个数分别是x, y,则 x+y=4,xy= -12.由，得y=4x,代入，得x(4x)= 12. x24x12=0,x2 = 6,2 =一2.因此，这两个数是一2和6.解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程x-4x-12=02n_n的两个根.解这个方程，得X=, - 2, X2=6.所以，这两个数是一2和6.说明：从上面的两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解题） 要比解法一简捷.例5若Xi和也分别是一元二次方程2+5尤-3=0的两根.（1）求|r一刈的值；（2）求4 +二的值；(3) xi3+x23.解：和X2分别是一元二次方程2x2+5x3=0的两根,.53 元.+ X- = 9 x.x = .=竺+6=竺,.,|xi-x2|= j .（3 ） X +%2 =（X1+X2）（龙广-X1X2+X2 ） =（X1+2） （ Xi+为2）-3X1X21379说明：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会 遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：设尤1和©分别是一元二次方程”2+云+,=0 (。邦)，则-b + y/b2 -4ac_ -b-yJb2 -4ac_ /b2 -4ac _ Va= =两于是有下面的结论：若xi和M分别是一元二次方程or2+bx+c=0 (a#),则|4一间|=(其 中 A=Z>24ac).今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论.例6若关于x的一元二次方程f-x+a-4=0的一根大于零、另一根小于零，求实数 a的取值范围.解：设两，必是方程的两根，则x M2=a4 V 0,(T)且 A=(-l)2-4(a-4)>0.由得 a<4,17由得的取值范围是a<4.练 习1 .选择题：(1)方程工2-2百5+ 3女2 =0的根的情况是()(A)有一个实数根(B)有两个不相等的实数根(C)有两个相等的实数根(D)没有实数根(2)若关于x的方程(2m+l)x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值 范围是()(A) m<(B) m> 44(C) mV ,且加和(D)m> ,且加和442.填空:(1)若方程工23-1=0的两根分别是看和必，则! + -!-=.x x2(2)方程川小+戈2加=0 (/)的根的情况是.(3)以一3和1为根的一元二次方程是.3 .已知Ja2+8a + i6+|，-l±0,当A取何值时，方程匕2+以+匕=0有两个不相等的实 数根？4 .已知方程3x1=0的两根为X和M，求(X3)( X23)的值.习题2.11 .选择题：(1)已知关于x的方程，+丘一2=0的一个根是1,则它的另一个根是()(A) -3(B) 3(C) -2(D) 2(2)下列四个说法：方程x2+2x7=0的两根之和为一2,两根之积为一7；方程/一级+7=()的两根之和为一2,两根之积为7；7方程3x27=0的两根之和为0,两根之积为一一；3方程3f+2x=0的两根之和为一2,两根之积为0.其中正确说法的个数是()(A)l 个(B)2 个(C)3 个 (D)4 个(3)关于x的一元二次方程以2-5*+°2+。=0的一个根是0,则。的值是(A) 0(B) 1(C) -1(D) 0,或一12.填空:(1)方程1=0的两根之和为-2,则=(2)方程Zr?-x4=0的两根为a, p.则1+/=.(3)已知关于x的方程¥一以一34=0的一个根是一2,则它的另一个根是(4)方程2%2+2¥1=0的两根为X和X2，则X1一应|=3 .试判定当切取何值时，关于x的一元二次方程序2(2用+1)+1=0有两个不相等的实 数根？有两个相等的实数根？没有实数根？4 .求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程？一7k- 1=0各根的相反数.B组1 .选择题：若关于x的方程x2 + (Jt2-l) x + k+=0的两根互为相反数，则k的值为 ( )(A) 1,或一 1(B) 1(C) -1(D) 02 .填空：(1)若in, n是方程x2 + 2005x 1 =0的两个实数根，则m2n+mn2 mn的值等 于-(2)如果a, b是方程x2+x1=0的两个实数根，那么代数式a3+a2b+ab2+bi的值 是.3 .已知关于x的方程x?一乙一2=0.(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)设方程的两根为即和X2,如果2(X|+X2)>X|X2,求实数k的取值范围.4 . 一元二次方程”2+儿+0=0 (a#)的两根为乐和求：(1)|X|-X2|和(2 )婷+应3.5 .关于x的方程/+4x+/n=0的两根为X|, ©满足| Xxz|=2,求实数m的值.C组1 .选择题：(1)已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2f8x+7=0的两根，则这个直 角三角形的斜边长等于()(A)(B) 3(C) 6(D) 9(2)若莺，©是方程2?一以+1=0的两个根，则工+生的值为()(A) 6(B) 4(C) 3(D)-2(3)如果关于x的方程x2一2(1 ni)x+"J=o有两实数根a, P，则a+|3的取值范围为( )(A) a+P>(B) a+旺；(C) a+花 1(D) a+p<l(4)已知a, b, c是AA&C的三边长，那么方程cf + (a + b)x+3 =0的根的情况是 ( )(A)没有实数根(B)有两个不相等的实数根(C)有两个相等的实数根(D)有两个异号实数根2 .填空：若方程8x+m=0 的两根为 X” x2,且 3*1+2%2=18,则 m=.3 .已知X”必是关于x的一元二次方程4kx2-4fcr+k+l=0的两个实数根.3(1)是否存在实数及，使(2X-X2)(X|-2X2)= - 2成立？若存在，求出&的值；若不存在，说明理由:(2)求使±+ %-2的值为整数的实数k的整数值: x2 X(3)若k=2, 2 =,试求几的值.4 .已知关于x的方程V 一(加一 2)天一上一 =0 .4(1)求证：无论?取什么实数时，这个方程总有两个相异实数根；(2)若这个方程的两个实数根可，q满足,2尸团| + 2,求机的值及相应的修，应.5 .若关于x的方程，+x+=0的一个大于1、零一根小于1,求实数的取值范围.2. 2二次函数2.2.1二次函数y=ox2+x+c的图象和性质情境设置：可先让学生通过具体实例探索二次函数的图象，如作图(1) y = ? (2) y = -Y (3) y = x2+2x-3教师可采用计算机绘图软件辅助教 学问题1函数与的图象之间存在怎样的关系？为了研究这一问题，我们可以先画出y=2f, y=x2, y=-2f的图象，通 过这些函数图象与函数y=f的图象之间的关系，推导出函数y=a?与的 图象之间所存在的关系.先画出函数y=f, y = 27的图象. 先列表：X3-2-10123X294101492r2188202818从表中不难看出，要得到2?的值，只要把相应 的/的值扩大两倍就可以了.再描点、连线，就分别得到了函数y=7, y=的图象（如图21所示），从图21我们可以 得到这两个函数图象之间的关系：函数y=2f的图 象可以由函数y=x2的图象各点的纵坐标变为原来 的两倍得到.同学们也可以用类似于上面的方法画出函数y y=-2?的图象，并研究这两个函数图象 与函数的图象之间的关系.通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数旷=妙2（分0）的图象可以由的图象各点的纵坐标变为原来的a倍得到.在 二次函数 7=依2（分0）中，二次项系数a决定了 图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的 大小.问题2 函数y=a（x+/i）2 + k与丁=以2的图 象之间存在怎样的关系？同样地，我们可以利用儿个特殊的函数图象 之间的关系来研究它们之间的关系.同学们可 以作出函数丁 = 2。+1猿+1与y = 2?的图象（如 图22所示），从函数的同学我们不难发现， 只要把函数y=2x2的图象向左平移一个单位， 再向上平移一个单位，就可以得到函数y=2（xo图 2.2-1图 2.2-2y=2(x+l)2A) y=2(x+l)2+l+ 1/+1的图象.这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”的特点.类似地，还可以通过画函数y=-3f, y=-3（x-l）2+l的图象，研究它们 图象之间的相互关系.通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数y=a（x+/+无（存0）中决定了二次函数图象的开口大小及方向； h决定了二次函数图象的左右平移，而且“正左移，h负右移”；k决定了二次 函数图象的上下平移，而且“正上移，无负下移”.由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y=o?+bx+c（a#）的图象的方 法：由于 y=ax2+bx+c=a(x2+ x )+c=a(*+ x + -)+c- aa 4ab24ab、2 h2 -4ac=CI(X 4) H2a 4a所以，ynaf+以+c（存o）的图象可以看作是将函数丁=以2的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数丫=以2+以+。和)具有下列性质：h 4” - h2(1)当。0时，函数y=ax2+6x+c图象开口向上；顶点坐标为(一二,'),2a 4ahhh对称轴为直线无=一=;当xV-9时，)，随着x的增大而减小；当工一二时，)，随着 2a2a2ab4cic bX的增大而增大；当x=-=时，函数取最小值y= :.2a4ab 4/' h(2)当qVO时，函数j，=a?+x+c图象开口向下;顶点坐标为(-一,),2a 4ahhh对称轴为直线*=一二；当时，)，随着x的增大而增大；当工-二时，)，随着2a2a2ah4ac b2X的增大而减小；当x=-=时，函数取最大值J，= 二 . 2a4a上述二次函数的性质可以分别通过图2.2-3和图2.2-4直观地表示出来.因此，在今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题.例1求二次函数y=-3f6x+l图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、 最大值(或最小值)，并指出当x取何值时，y随x的增大而增大(或减小)？并 画出该函数的图象.解：y=3x26x+l = -3(x+1)2+4, .函数图象的开口向下；对称轴是直线为=一1；顶点坐标为(-1, 4)；当x= -1时，函数y取最大值y=4；当xV - l时，y随着x的增大而增大；当x 一1时，y随着x的增大而减小；图 2.25采用描点法画图，选顶点A(1, 4),与x轴 交于点8(25-3,0)和。(一24+ 3 ,0),与丁轴的交 点为0(0, 1),过这五点画出图象(如图25所示).说明：从这个例题可以看出，根据配方后得到的性质画函数的图象，可以直 接选出关键点，减少了选点的盲目性，使画图更简便、图象更精确.函数尸加+bx+c图象作图要领：(1)确定开口方向：由二次项系数a决定(2)确定对称轴：对称轴方程为x = -22a(3)确定图象与x轴的交点情况，若>()则与x轴有两个交点，可 由方程下+方求出若力则与x轴有一个交点，可由 方程c=0求出若"则与x轴有无交点。(4)确定图象与y轴的交点情况，令x=0得出y=c,所以交点坐标为(0, C)(5)由以上各要素出草图。练习：作出以下二次函数的草图(1) y = x x 6 (2) y + 2x +1(3) y = -x + 1例2某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x (元)与产 品的日销售量y (件)之间关系如下表所示："元130150165W件705035若日销售量y是销售价x的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润,每件产品的销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？分析：由于每天的利润=日销售量yx(销售价x120),日销售量y又是销售 价x的一次函数，所以，欲求每天所获得的利润最大值，首先需要求出每天的利 润与销售价x之间的函数关系，然后，再由它们之间的函数关系求出每天利润的 最大值.解：由于y是x的一次函数，于是，设旷=履+ (B)将 x=130, y=70； x=150, y=50 代入方程，有j70 = 130k + b,50 = 150k+b,解得 k=-T, b=200.y=x+200.设每天的利润为z (元)，则z=(-x+200)(x-120)= -x2+320x-24000= -(x-160)2+1600,.当x=160时，z取最大值1600.答：当售价为160元/件时，每天的利润最大，为1600元.例3把二次函数y=f+6x+c的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到 函数y=x2的图像，求江c的值.h序解法一：y=x2+bx+c=(田-y+c，把它的图像向上平移2个单位，再向左平移4 24个单位，得到y = (x + 2 + 4)2+c-幺+ 2的图像，也就是函数的图像，所以，24b2解得 b= -8, c=14.c + 2 = 0,4解法二：把二次函数y=f+bx+c的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位， 得到函数的图像，等价于把二次函数的图像向下平移2个单位，再向右平移4 个单位，得到函数y=x2+bx+c的图像.由于把二次函数y=*的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数、= (x4尸+2的图像，即为y=x28x+14的图像，二函数y=f8x+14与函数y=，+bx+c 表示同一个函数，.*./>= 8, c=14.说明：本例的两种解法都是利用二次函数图像的平移规律来解决问题，所以，同学们要 牢固掌握二次函数图像的变换规律.这两种解法反映了两种不同的思维方法：解法一，是直接利用条件进行正向的思维来解 决的，其运算量相对较大；而解法二，则是利用逆向思维，将原来的问题等价转化成与之等 价的问题来解，具有计算量小的优点.今后，我们在解题时，可以根据题目的具体情况，选 择恰当的方法来解决问题.例4已知函数y=f, -2<r<a,其中壮一2,求该函数的最大值与最小值，并求出函 数取最大值和最小值时所对应的自变量x的值.分析：本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对。的取值进行讨论.解：(1)当。=-2时，函数y=2的图象仅仅对应着一个点(一2, 4),所以，函数的最 大值和最小值都是4,此时x=-2；(2)当一2<“V0时，由图2. 26可知，当=-2时，函数取最大值y=4；当x =。时，函数取最小值y=/；(3)当0%V2时，由图2. 26可知，当x=-2时，函数取最大值y=4；当x=0 时，函数取最小值y=0；(4)当aN2时，由图2. 26可知，当x=a时，函数取最大值y=J：当x=0时， 函数取最小值y=0.法，对。的所有可能情形进行讨论.此外，本例中所研究的二次函数的自变量的取值不 是取任意的实数，而是取部分实数来研究，在解决这一类问题时，通常需要借助 于函数图象来直观地解决问题.练 习1 .选择题：(1)下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是()(A)