考研概率试题(数四).docx
考研概率试题(数四)题目：(87,2分)对于任意二事件A和B,有P (A-B)=( C )P(A)-P(B).(B)P(A)-P(B)+P(AB)(C) P (A)-P (AB),(D)P(A)+P(7)-P(A5).知识点：概率的性质解 v A-B=A-AB,且 ABUA,故(C)成立.注释本题考查概率的性质.P(A-B)= P(A)-P(A8)是一常用式子.只有bua时(A)才成立.题目：(87,8分)已知离散型随机变量X的概率分布为P( X=1)=O.2, P(X=2)=0.3, P(X=3)=0.5写出X的分布函数F(x)；(2)求X的数学期望和方差.知识点：离散型随机变量期望方差0x<10.2l<x<2F(x)=<0.52<x<3解：1x>3(2)2,3;0.61分布函数定注释本题主要考查离散型随机变量由分布列求分布函数和期望、方差的方法。义式中题目：（88,7分）假设有十只同种电器元件，其中有两只废品.装配仪器时，从这批元件中任取一只，若是废品，则扔掉重新任取一只；若仍是废品，则扔掉再取一只.试求在取到正品之前，已取出的废品只数的概率分布、数学期望和方差.知识点：离散型随机变量期望方差概率X)12I81288p£(X)=-£>(%)=-解：545459405注释本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望、方差的计算。其中概率的计算可以这样：设A =（第歆取得正品,（i 训，则 P（X =2）= P（L4）= p（4,Qp（司4）P（Q =题目：（89,8分）某仪器装有三只独立工作的同型号电子元件,其寿命（单位：小时）都服从同一指数分布,分布密度为/U) =I 6000,而，若力0若x W 0试求：在仪器使用的最初200小时内，至少有一只电子元件损坏的概率.1-eT 知识点:离散型随机变量二项分布解设电子元件的寿命为X,又设在最初的200小时内，有丫只电子原件损坏。则知，X的概率密度f（x）,而丫B（3,p）其中p = p(X <200)=200 1-I。注释本题主要考查一堆连续型随机变量的概率计算。求概率时，遇到“至少”、“至多”这类问题时，可考虑其对立事件的概率；解2用到二项分布，同学要善于从“独立”、“重复”、“发生几次”（本题指几个元件损坏）几个要素上判断其属于二项分布（贝努里概型）题目：(89,8分)已知随机变量(X,Y)的联合分布为(x,y)(0.0)(0,1)(1,0)(1,1)(2,0)(2,1)PX=x,Y = y)6?100.150.250.200.150.15试求：(DX的概率|分布；-(x + y)(2)X+Y的概率分布；(3)Z=sin 2的数学期望.知识点：二位离散型随机变量边缘分布随机变量函数分布期望X0i2解：4.(1)P0.250.450.3X+Y01230.10.40.350.15£(Z)=0.25注释本题主要考查二维离散型随机变量由联合分布求边缘分布、随机变量函数的分布和期望的方法。题目：(89,3分)设随机变量XI、X2、X3相互独立，其中XI在区间0,6上服从均匀分布,X2N(0,22),X3服从参数为入=3的泊松分布,记Y=X2X2+3X3,则DY=46.知识点:方差特殊分布注释本题主要考查方差的计算性质和特殊分布的方差。对二项、播送、均匀、指数、正态等特殊分布，不但要求记住其分布列或密度，还要记住其期望和方差题目：(90,6分)甲、乙两人独立地各进行两次射击，设甲的命中率为0.2,乙的命中率为0.5,以X和丫分别表示甲和乙的命中次数,试求(X, Y)的联合概率分布.知识点：二维随机变量及其分布解:012P,.00.160.320.160.6410.080.160.080.3220.010.020.010.04P-J0.250.50.251题目：(90,3分)设随机变量XN (-3,1),丫N (2,1),且X与丫相互独立.若Z=X-2Y+7,则Z 口 N(0,5)知识点：正态分布期望方差计算注释本题主要考查正态分布的性质和期望方差的计算性质。注意。(。)=0，丫)=。2。(丫)(C 为常数)，切勿写成“O(X-2y+7)=°X-2°y +7”.错！另外，参阅本章3-3题注释。题目：(90,3分)已知随机变量X服从二项分布，且EX=2.4,DX=L44,则二项分布的参数n,P的值为(B)(A)n=4, p=0.6(B)n=6, p=0.4(C)n=8, p=0.3(D)n=24, p=0.1知识点:二项分布期望方差题目：(91,3分)设 A、B 为随机事件,P(A)=0.7,P(A为)=0.3,则P(通)=0.6.知识点：概率的计算性质解. P(A-B)= P(A)-P(AB)得 P(A -B)= P(A)- P(AB)=0.7-0.3=0.4.故 P(AB)=-P(AB)=-0.4=0.6.注释本题考查概率的计算性质题目：(91,7分)在电源电压不超过200V、在200240V和超过240V三种情形下,某种电子元件损坏的概率分别为0.1、0.001和0.2,设电源电压XN(220,252),试求1.该电子元件损坏的概率a ；2.该电子元件损坏时，电源电压在200240V的概率B.0.064;0.009x 0.1b0.200.400.600.801.001.201.40(x)0.5300.5790.6550.7260.7880.8410.8850.919表中(x)是标准正态分布函数.知识点：全概率公式正态分布概率计算注释本题主要考查全概率公式(及贝叶斯公式)和正态分布概率计算题目：（91,7分）一辆汽车沿一街道行驶,要过三个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且红、绿两种信号显示的时间相等，以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数.求X的概率分布和E 知识点：分布列和随机变量函数的期望1 p - 解：7.2J.J.1488或" x+196注释本题主要考查分布列和随机变量函数的期望。其中X=3表示三个路口遇红灯,不要溜掉。本题不是二项分布（问的不是”共遇几次绿灯”）。有时间时应取之和为1.题目：(92,3分)设 A,B,C 为随机事件,P(A)=P(B)=P(C)=4,p(AB)=P(BC)=O, P(AC)=8,则 A, B, C 至5少出现一个的概率为w 知识点：随机事件及其概率解P(A,B,C至少出现一个)= P(AUBUC)=P(A)+ P(B)+ P(C)- P(AB)- P(AC)-P(BC)+ P(ABC)111八1八八5=-1100+0=其中P(A8C)=°可如下推出：. ABC u AB,:.0< P(ABC)< P(AB)=0故 P(ABC)=0.注释本题主要考查P(AU8UC)的计算式，其中P(ABC)=°的证明不能证：“P(AB)=0/. AB =0,:. ABC =0C =0,:. P(ABC)=尸(0)=0”，因为 P(AB)=0得不至ij “AB =0 w这一结论.题目：(92,3分)设当事件A与B同时发生时事件C也发生，则(D )(A)P(C)=P(AB)(B)P(C)=P(A；B)(C)P(C) WP(A)+P(B)T (D)P(C)2P (A)+P(B)-1.知识点：随机事件及其概率题目：(93,3分)设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取的两件中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率为5知识点：条件概率解设人=取的两件产品中至少有一件是不合格品, B=取的两件产品都是不合格品.显然有B u A,.,.AB = BP卸)=迪=皿则所求概率为尸(HQ、. c 12P(A)=1-尸(两件产品均为合格品)=1-=1-上=尸(3)=与=2注释本题考查条件概率的计算。有人这样设："A=取的两件产品中有一件是不合格品, B=另一件也是不合格品”这样的说法含义不准确。两件产品被取出，谁是“另一件”？“这一件”？要避免这样含糊的说法，可以看出无否是否说的清楚即可。题目：(93,3分)设随机变量X与丫均服从正态分布,XN(u,42),丫N(u,52),记pl=PXWu-4, p2=P丫2 u+5,贝!|(A)对任何实数u ,都有pl=p2.对任何实数u ,都有pl=<p2.只对u的个别值,才有pl=p2.(D)对任何实数u都有pl=>p2.知识点：随机变量正态分布I2.求丁的数学期望.2为f(x)并非5只在xel，3才有。题目：(93,8分)设随机变量X和丫相互独立，都在区间1,3上服从均匀分布.引进事件A=XW a , B=Y> a 7P(AU8)=一已知九求常数a；知识点：连续型随机变量概率计算函数的期望a =或工£(1)=1 In 3解：33 x 2注释本题主要考查(连续型)随机变量的概率计算和函数的期望。不要写P(A)= T -dxrm-dx”以及来说“e 1,3时，写成“2”一类写法，因题目：（94,3分）设一批产品中一、二、三等品各占60乐30%、10%,现从中任了一件,结果不2是三等品，则取到的是一等品的概率为5知识点：条件概率解设A=取的产品是i等品, i = l,2,3有题意知 p（A）=06 p（4）=03 p（&）=o.i,得=2凶）=0.9目 A u 4,故a 4= ap（A区）=9="一所求概率为尸0.93注释本题主要考查条件概率的计算。希望能看出4U4。题目：(95,7分)设随机变量X服从参数为2的指数分布,证明：丫=l-e-2X在区间(0,1)上服从均匀分布.知识点：续型随机变量函数分布注释本题主要考查一维连续型随机变量函数的分布。两种证法各有优劣，主要证发2中要求力(y)单调，也勿丢掉yo这一限制证法1中可以具体作出Raw*的积分值(有F(ln(l y)plln(I-y)2点繁)，也可表示成2-(这儿用为X的分布函数)，但不能写成J一(参见本章2-11题注释末尾)。题目：（95, 3分）设随机变量X的概率密度为1 + X,(1 X,0,若-1WX W0若0 V X W1其他贝|JDX=Z.知识点：随机变量题目：（96,3分）设A, B为随机事件且AUB, P（B）>0,则下列选项必然成立的是（B） P（A）<P（A|B）（B）P（A） WP（A|B）（C）P（A）>P（A|B）（D）P（A）2P（A|B）.知识点：本题主要考查条件概率的计算式。解 v A c AB = AP（A|g）= P（Ag）>P（A）故 P网（.0<248）41）故选伊）。题目：（96,3分）一实习生用同一台机器接连独立地制造3个同种零件,第i个零件是不合111格的概率pi=i+l （i=l,2,3）,以X表示3个零件中合格品的个数,则P（X=2）=24知识点：互不相容和独立事件的概率计算解记4=制造的第i个零件是合格品, i=l,2,3.由题意知相互独立，且P（A）=p，W23则p（x =2）= P（A4%U 4无人3 U 2 A3）=p（ A 4%）+p（ a i®,）+尸（私&）= p（A）p（4）p（A）+p（a）p（耳）p（&）+p（Qp（4）p（4）12111312311=-X - X + X - X +- X - X =23423423424注释本题考查互不相容和独立事件的概率计算。主要本题非二项分布（非贝努里概型），因为“重复”这一条件不成立。题目：（96,7分）设一电路装有三个同种电气元件,其工作状态相互独立,且无故障工作时间都服从参数为入>0的指数分布.当三个元件都无故障时，电路正常工作，否则整个电路不能正常工作.试求电路正常工作的时间T的概率分布知识点：指数分布人=< 解：r>0<0题目：(97,3分)设A, B是任意两个随机事件,则P(+B)(A+B)(I豆)(A+豆)=0.知识点：事件的运算解 v (A +B)(A+ B)(A + B)(A+B)=(AA+AB + AB+ B)(AA +通+万)故 P(A +8)(4+ B)(A + B)(A + B)= P(0)=0注释本题主要考查事件的运算，由于事件的并，交运算具有交换、结合及分配律，故可以像多项式相乘一样地“乘二本题要求考试做得快捷，不可多耽误时间。题目：(97,3分)设随机变量服从参数为p)的二项分布,随机变量丫服从参数为p)的5£二项分布,若PX21=§,则P丫21=工知识点：本题主要考查二项分布的计算。解由已知，XB(2,P),丫B由,P).所以1= P(X>1)=1-P(X=O)=1-C° p°(l-p)2=l-(l-p)2.421*(1 pY ,由1- p w 0,1,解得1 p =§， p =§i 2 g 1 a于是p(。)= i -=。)= Y(§)飞)-万三题目：(97,8分)设随机变量X的绝对值不大于l,PX=-l= G,pX=l= K,在事件-1*1出现的条件下,X在(T,1)内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间的长度成正比.试求:(1) X的分布函数/(x)= PX&x；(2) X取负值的概率.知识点：分布函数和条件概率0%<-1F(x)=«(x + l)HT W x <11618解：I1©注释本题主要考查分布函数和条件概率的计算。解中"a-"X"RT<X<l)=-x + l)”是题中“在事件T<X<1出现成正比”这句话的数学式子表述。解中用到式子:« P(X =a)= F(a)-F(a-O)« P(X <a)= F(a-O) v 是用分布函数求概率的式子。题目：(97,3分)设随机变量服从参数为p)的二项分布,随机变量丫服从参数为p)的529二项分布,若 PX20=5,则 P丫21=27知识点：二项分布题目：(97,3分)设X是一随机变量EX=u,DX=。2(u,。2>0是常数)，则对任意常数C必有(A)E(X-C)2=EX2-C2(B)E(X-C)2=E(X- u )2(C)E(X-C)2<E(X- u )2(D)E(X-C)2E(X-u)2D 知识点：期望注释本题主要考查数学期望的计算性质。解中插项的方法是一较常用手法。(若加条件，则E(X-C)2>E(X-4)题目：(97,8分)设随机变量丫服从参数为入=1的指数分布，随机变量x =o,若丫女*"1,若 Y>k (k = l,2)求：(1)(XI, X2)的联合概率分布；(2)E(X1+X2).知识点：随机变量的分布概率的计算期望的性质解：x010-e-'01el -e2e-2(2)+e/注释本题主要考查随机变量的分布、概率的计算和期望的性质。其中(2)可以先求出X”X2的边缘分布或Xi + X。的分布(本题之解简洁些)再求期望。2_题目：（98,3分）设一次试验成功的概率为p,进行100次独立重复试验，当p=5时,成功次数的标准差的值最大,其最大值为5.知识点：标准差解由题意，成功次数为参数n=100, p的贝努里概型，其标准差JnP（1-P）=T0y/pQ-p）<10xP +（：_）:52。其中中等号成立的充要的条件为11 P =二P = l P,即2,这是标准差最大。注释“标准差”的概念在数字特征一节里（本题可对归入本章第3节）。本题用到“几何平均数算术平均”题目：（98,3分）设A, B, C是三个相互独立的随机事件,且OVP（C） VI.则在下列给定的四对事件中不相互独立的是（B）（A） A + B 与 C.（B）AC 与亍.©与a （D）AB 与心.知识点：独立事件解只有中，而与亍有共同的C,一般不独立。注释本题考查的是事件组独立的一个结论：若4相互独立，将A，4,A”分成k 组彼此没有共同的事件，然后各组内诸事件并、交、差、补等运算，得到的k个新事件是相互独立的（例如，若4，42,4相互独立，则4Ua，A3-A4，AAA7U4相互独立）。因此，本题中（A）、（C）、（D）的两个事件均独立，不选。题目：（98,9分）设某种商品每周的需求量X是服从区间10,30上均匀分布的随机变量,而经销商店进货数量为区间10,30中的某一整数,商店每销售一单位商品可获利500元；若供大于求则削价处理,每处理1单位商品亏损100元；若供不应求,则可从外部调剂供应,此时每1单位商品获利300元.为使商店所获利润期望值不少于9280元,试确定最少进货量.21知识点：随机变量期望注释本题主要考查随机变量函数的期望。这是一有应用背景的题目，希望同学能从题意看出丫与X、h的函数关系（写g（X）是为了后边套公式方便）。本题X为随机变量（已知分布），h为非随机变量（未知待求）而丫是随机变量，但勿去求丫的分布。题目：（98,7分）某箱装有100件产品，其中一、二和三等品分别为80、10和10件.现从中随机抽取一件，记x =|1,若抽到，.等品，-0其他（i = L2,3）试求：（1）（XI, X2）的联合分布；（2）（XI, X2）的相关系数0.知识点：离散型随机变量解：16.(1)王0101To1101450(2)-3注释本题主要考查离散型（二维）随机变量的分布列和数字特征的计算。由题意有（X2=Du（X|=0）,.P（X=0,X2=l）（其余类似）。解中的表可不写，而表中写出两个边缘分布列是为了求功1，。*2等方便。题目：（99,3分）设随机变量X服从指数分布，则随机变量丫初inX,2的分布函数（D）是连续函数（B）至少有两个间断点（C）是阶梯函数（D）恰好有一个间断点知识点：随机变量的分布注释本题主要考查随机变量的分布。其中min（X,2）的值必在（0,2）内，所以对y作'4°，丁22和0<y<2的讨论。本题参阅本章2-2题分析、2-11题注释末尾、2-2题注释4,本题的丫非离散非联系，无密度，勿对耳）求导。题目：(99,9分)设二维随机变量(X, Y)在矩形G=(X, Y) OWxW2,01上服从均匀分布,试求边长为X和丫的矩形面积S的概率密度f(s).知识点：二维随机变量解: °(ln2-lnS)人(S)= 2、0<S<2S < 0或 5 > 2题目：(99,8分)已知随机变量XI和X2的概率分布10_1L2而且 P X1X2 =0)=1.求XI和X2的联合分布:i12.2.问XI和X2是否独立？为什么？知识点：随机变量及其分布(1)X。一01Pi.0_40_41210_20_2P-J42j.41(2)不独立题目：(99,3分)设随机变量X服从参数为X的泊松分布,且已知E(X-1)(X-2)=1,则入=1知识点：泊松分布期望方差注释本题主要考查泊松分布的期望、方差和数学期望的性质，参阅本章3-3题注释，其中EX= DX +(EXf是由DX = EX?_(EX)2得到，在特殊分布时很常用。题目：(99,3分)设随机变量X和丫的方差存在且不等于0,则D(X+Y)=DX+DY是X和丫不相关的充分条件,但不是必要条件. B.独立的必要条件，但不是充分条件.不相关的充分必要条件.D.独立的充分必要条件.(BC)知识点：随机变量方差注释本题考查不相关的等价说法等性质。其实，以下几种说法等价：a.X与丫不相关；b. E(XY)=E(X)E(Y). C. D (X+Y)=D (X)+D (Y)； d. cov(X, Y)=0； e.相关系数夕=°.(设 X、丫的二阶矩存在)。另外，若X与丫独立，则X与丫不相关(反之不成立)，所以本题的(B)也是对的。题目：(00,3分)设A, B, C三个事件两两独立,则A, B, C相互独立的充分必要条件是(A)(A)A与BC独立.(B)AB与AUc独立.(C)AB与AC独立.(D)aUb与aUc独立.知识点：相互独立的充分必要条件解yAb,。两两独立，所以P(AB)= P(A)P(B), P(AC)= P(A)P(C), P(BC)= P(6)P(C)可知这时，A, B, C相互独立当且仅当"P(ABC)= P(A)P(B)P(C)(*)”成立，而由尸(BC)= P(8)P(C),知(*)成立=尸(ABC)=尸(A)P(BC)u人与 BC 独立，故选(A).注释本题考查两两独立、相互独立的概念，对三个事件而言，两两独立用3个的等式定义，而相互独立用4个等式定义(即加一个(*)式)，要强一些。题目：(00,8分)设二维随机变量(X,Y)的密度函数为/(x, y)=；明(x, y)+痣(x, y)其中取(x,y)和。式乂力都是二维正态密度函数,且它们对应的二维随机变量的相关系数分别为J_1§和-3,它们的边缘密度函数所对应的随机变量的数学期望都是0,方差都是L(1)求随机变量X和丫的密度函数工(X评明U),及X和丫的相关系数P (可以直接利用二维正态的性质).(2)问X和丫是否独立？为什么？知识点：二维正态分布性质数字特征1H1fi=rre 2人(y)=e 2解：20.(1)72兀72兀p=o 不独立注释本题主要考查二维正态分布的性质和数字特征，引入(配7)等是为了把题目中的文字叙述用数学语言来描述，其实是一个“理解题意”的过程(不引(久外)等量也可，但心里要清楚，式子要用对。而本解法可能易于理解些).解(2)时，要求学生记住二维正态分布的密度,请不要怕繁。主要本题中(X, Y)不是服从正态分布的(尽管X和丫都服从正态分布)，不能用“正态分布时，独立与不相关等价”这个结论。题目：(01,3分)对于任意二事件A和B,与aU B=B不等价的是(D)Aub.(B)ZuA.(c)=(D)初=中.知识点：事件的关系和运算解对任意事件A, B均有BuAUB故AUBuB等价于AuB,而(a)、(B)、(C)相互等价，而(D)是与BuA等价注释本题考查事件的关系和运算。不难看出，下述各命题等价：AuB AB = A AUB=B A-B =0 AB =0题目：(01,3分)设随机变量X和丫的联合分布在以点(0,1),(1,0),(1,1)为顶点的三角形1区域上服从均匀分布,试求随机变量U=X+Y的方差.18知识点：随机变量均匀分布方差题目：(02,8分)设A, B是任意二事件，其中OVP(A) VI.证明：P(B|A)=P(B| A)是A与B独立的充分必要条件.知识点：独立的充分必要条件证1必要性A与B独立一.居方独立，得尸(布)=尸(8)，尸(甲)=尸(8),故P(8|A)= P(*)充分性l-P(A)P(AB)_ P(AB)P(A) P(A)化简得P(A8)= P(A)P(B)即人与b独立。题目：（02,3分）设随机变量X和丫的联合概率分布为-10100.070.180.1510.080.320.20则X和丫的关系数P =0.知识点：二维离散型随机变量注释本题主要考查二维离散型随机变量的相关系数。本题中cov（X,Y）=0,所以没有求DX和 DY,直接得到夕=°,本题给出了不相关但不独立的例子（本题中X与丫不独立）。题目：（02,3分）设随机变量XI, X2,-Xn相互独立,Sn=Xl+X2+-+Xn,则根据列维-林德伯格（Levy-Lindberg）中心极限定理，当n充分大时,Sn近似服从正态分布，只要XI, X2, Xn （A）有相同的数学期望.（B）有相同的方差.（C）服从同一指数分布.（D）服从同一离散型分布.C知识点：中心极限定理二随机变量同分布解由列维-林德贝格中心极限定理，在X”X2,X“独立同分布且方差非0的条件下，n充分S”=2 X大时， T 近似服从正态分布，可见（A）、（B）条件不够，不选（二随机变量同分布时必有数学期望相同，方法相同（只要存在）；但反过来，若数学期望相同，方差相同二随机变量却未必同分布）。同样，（D）中没有“方差非0”一条，也是不能选的（方差为0的随机变量必服从退化分布即P（X=C）=1,属离散型随机变量）。只有（C）符合条件，故选（C）。注释本题考查中心极限定理的使用条件。只要不是退化分布且独立同分布，S"都近似服从正态分布（n充分大时），不一定非要指数分布不可。很多教材中结论是在上述的条件下，将S”标准化后近似服从标准正态分布。其实，不将5”标准化，仍有近臬似服从正态分布的结论（条件当然不变）。对退化分布列如P（X，=a）= l，i = L2""-，则P（5"=a）= l, S”是不可能近似服从正态分布的。题目：(03,4分)对行任意二事件A和B,( B )(A)若ABW，则A,B一定独立.(B)若ABW，则A,B有可能独立.(0若AB=G，则A,B一定独立.(D)若AB=©，则A,B一定不独立.知识点：独立事件题目：(03,13分)设随机变量X的概率密度为-T=，若x G 1,8/（x）=3审0,其他F(x)是X的分布函数,求随机变量Y=F(X)的分布函数.知识点：随机变量均匀分布0y<0< y0< y<1解：11”1;1注释对随机变量岁，其分布函数为F(x),则尸(号服从上的均匀分布(只要4为连续型随机变量，无论服从什么分布)，这是概率论中的一个结论(有兴趣的同学可参阅数学四1995年的一道题，本书第4章2-13题)，解中时，后边严格的写为 G(y)= P(X-l)Ud< X <8)(VX-l)< y= P(X <1)U(X <(l + y)2)= PX <(l + y)2)=F(l + y)2)= y,但对非数学专业的同而言不必写这么多，本题还有其他的形式解法如：求出F(x)后，可见 y=F(x)在上xe 口,8上严格递增，故反函数”二心)存在，所以°a<1时 G(y)= PF(X)< y= PX <= Fr'(y).又如：求出 f(x)后，K = V%-1(1< X <8)反函数x=(y)=(i+y)2,0"G，"(y)=3(i+»,故丫的概率密度为 A(y)= f(y) W(y)|=/1，,3(1+ y)2=i(o<y<i)1 3.V(l + y)22prj题目：(03,4分)设随机变量X和丫都服从正态分布,且它们不相关,则(C)(A) X与丫一定独立.(B)(X, Y)服从二维正态分布.(C) X与丫未必独立.(D) X+Y服从一维正态分布.知识点：随机变量正态分布题目：(03,4分)设随机变量X和丫的相关系数为0.5, EX=EY=0, EX2=EY2=2,则E(X+Y)2=6知识点：数学期望的性质方差注释本题主要考查数学期望的性质及方差、相关系数的计算式。求出DX、DY后，用E(X + y)2= D(X + y)+E(X + y)2= D(X + Y)= DX + Dr +2cov(X, Y)= DX + DY +2p(X, y)4dx -4dy -做法也可，但勿写成“”，因为X和丫没有独立或不相关的条件。题目：(03, 13分)对于任意二事件 A 和 B, 0<P(A)<l, 0<P(B)<l,_ P(AB)-P(A)P(B)JP(A)P(B)P(X)尸(历称作事件A和B的相关系数.证明事件A和B独立的充分必要条件是其相关系数等于零;利用随机变量相关系数的基本性质，证明I P |<1.知识点：事件同独注释考查事件同独立性的定义。而解(2)时要理解题意：“利用随机变量相关系数的性质”，这就要求我们引入随机变量与A、B联系起来(解中X、丫的引法很自然，也是概率中常用的手法)，如果不引随机变量，即使证出刊“1也常不给分，因为“不合题意”(笔者所在的阅卷即是这样的)。而引出X和丫后，关于X、Y、XY (甚至(X,Y)的分布可全用P(A)、P(B、P(AB)来描述，后边就好办了。注意X与丫没有“独立性”，因为A、B没有“独立性”的条件。题目：（04,13分）设随机变量X在区间（°）上服从均匀分布，在X=x（O<x<l）的条件下，随机变量丫在区间（°”）上服从均匀分布，求（I）随机变量x和丫的联合概率密度；（n）y的概率密度；an）概率px+y>i.知识点：随机变量均匀分布f（x, y）=< x'J-ln y,0<.y < L解：（1）1°其他I 0,其他1-加2题目：（04,4分）设随机变量X，X“（>1）独立同分布,且方差">0.令随机变量1 «y=-Xx.n -=',则(c)D(Xl + Y) = -a2(A)2Cov(x,y)= (c) .D(x,-r)=o-2(B)(D) cov(xo = .知识点：随机变量独立同分布题目：(05,13分)设X了2,，X“(>2)为独立同分布的随机变量，且均服从n(0,1).记X=-YXiXi = X-X,i = l,2,-, n.求：工的方差=,(II)匕与的协方差(IH) P>匕钠知识点：方差、协方差的计算解：；(II)；(III)2注释本题(D、(口)主要考查方差、协方差的计算，注意X，与x、X|与X、Y与匕等均没有“独立”或“不相关”的结论，切勿“°(XlX)=°X,.+°X,。(1)中解1及(的解法用了协方差的线性运算性质。较为简洁。有人解(口)时用协方差的定义式计算式来做： Cov(Yl,Yn)= E(Yl-EYl)(Yn-EYn)= E(Yl,Yn)= E(Xi -X)(X-X)= E(X,Xn)-E(X1X)-£(XX)+ E(X)2-11 n11 nE(XiXn)= EXEXn=O,E(XiX)= E(X：Xj)= E(X；)+ EE(XiXj) j-2 j-211 n1=-£>X,+(EX1)2+-(£X1£X>)=- ，而n j=2ni1 JJL1«1同理“双总，而"、)=叫毕)=一、七?x，=。,E(X2)= D(X)+(£X)2=-Cov(Yi,Yll)=-"带入得，似不如正文解法简洁。(HD主要考查正态分布的性质和概率计算，可参阅本章2-6题的注释。“多维的服从正态分布的随机变量的个分量的线性组合仍服从正态分布”，这是一常见、重要的结论(即使没有“独立性”的条件,、。(0)=这个结论也成立)。解中恰好可以不用求(2须记住)，如果一定想求，则 a2= D(Yl+Yn)= DYi + DYn +2Cov(Yi,Yn)=(l-)+(-)+2(-=2-，也不难。题目：（05,4分）设X|，X2,，Xn,为独立同分布的随机变量列，且均服从参数为的指数分布,记中（灯为标准正态分布函数,贝！1（C）lim P<n»oo七 X,-4-£zl< x> =(X).limP<n>©of Xj-丸以一LX y/An> =0( X).A、B、C、lim P<一>8T <Xyjn> =0(%).D、> =0(%).< XlimP »8知识点：中心极限定理指数分布的期望、方差解由题意,EX,=；,OX,=5,i = l,2,E这 X,)= f EX,=*。这 XJ = f DXj =* i=li=l4 i=li=l4由中心极限定理可知:< X> =0(x),即 lim P “T8< x> = 0(x)注释本题主要考查中心极限定理，以及指数分布的期望、方差（别与其他分布的记混了）.题是为了避开4=1的情形（否则（A）、（B）都可选了），在0<a<1时，也只有（C）可选（丸>°是指数分布本身的要求）题目:（06,13分）设二维随机变量（X，y）的概率分布为°1-1a00.200.1h0.2100.1c其中a，b，c为常数，且x的数学期望EX=-0.2, Px W0, y W 0=0.5,记= X +丫求：a，0，。的值（2） Z的概率分布（3）PX=Z知识点：二维随机变量期望解.a =0.2,fe =0.1,c =0.1. PX=Z=0.2题目：（2007）设随机变量（X, Y）服从二维正态分布，且X与丫不相关，fx（x）4（y）分别表示X,丫的概率密度，则在Y=y的条件下，X的密度京“川以为（）fx（x）（a） AU）.（B）A（y）,（c）（D）A（y）,知识点：对于二维连续型随机变量（x，v）,有x与丫相互独立 f （x, y）=fx（x）/x（y）/xiy（ly）=AW %x（ylx）=4（y）解因（XJ）服从二维正态分布，且x与丫不相关，故x与丫相互独立，于是 Fxiy（x|y）=/x（x）.因此选（a）.题目：(2007)设二维随机变量(X, Y)的概率密度为2 x y,0<工<1,0 v y <1,队内户i 0,其它.(I)求PX>2Y；(II)求2=乂+丫的概率密度心(Z).知识点：联合概率密度解小皿小小.习讨产世!
