三版）第3章 随机变量的数字特征ppt课件.ppt

第三章第三章 1 前面讨论了随机前面讨论了随机变量的概率分布，它完整地描变量的概率分布，它完整地描述了随机变量的概率性质，而述了随机变量的概率性质，而数字特征数字特征则是由概则是由概率分布所决定的率分布所决定的常数常数，它刻划了随机变量的某一，它刻划了随机变量的某一方面的性质。在许多实际问题中，分布往往不易方面的性质。在许多实际问题中，分布往往不易求得或不需求得，而只需了解某些数字特征，而求得或不需求得，而只需了解某些数字特征，而数字特征往往容易通过数字特征往往容易通过数理统计数理统计的方法得到。的方法得到。先介绍随机变量的数学期望。先介绍随机变量的数学期望。在这些数字特征中，最常用的是在这些数字特征中，最常用的是数学期望和方差数学期望和方差2 1 1 数学期望数学期望 (Mathematical Expectation)3例例 有甲、乙两射手，他们的射击技术如下表：有甲、乙两射手，他们的射击技术如下表：一、离散型随机变量的数学期望一、离散型随机变量的数学期望 甲：甲：击中环数击中环数 891030%10%60%频率频率 乙：乙：击中环数击中环数 891020%50%30%频率频率 问哪一个射手水平较高？问哪一个射手水平较高？解解假定各射假定各射 N 枪，则平均每枪所得环数约为枪，则平均每枪所得环数约为 甲：甲：4问哪一个射手水平较高？问哪一个射手水平较高？解解假定各射假定各射 N 枪，则平均每枪所得环数约为枪，则平均每枪所得环数约为 甲：甲：乙：乙：可见甲的水平高些。可见甲的水平高些。甲：甲：击中环数击中环数 891030%10%60%频率频率 乙：乙：击中环数击中环数 891020%50%30%频率频率 5定义定义 设设离散型随机离散型随机变变量量 X 的概率分布的概率分布为为 则称则称 为为 X 的的数学期望数学期望，记为记为 E(X)，此时要求此时要求级级数数绝对绝对收收敛敛。若若 X 的的取值为可列多个，则取值为可列多个，则 6例例 面额为面额为1元的彩票共发行元的彩票共发行1万张，其中可得奖金万张，其中可得奖金1000元、元、20元、元、5元的彩票分别有元的彩票分别有2张、张、50张和张和500张。若某人购买张。若某人购买1张彩票，则他获奖金额张彩票，则他获奖金额 X 的数学的数学期望期望 E(X)为多少？为多少？解解10002050.0002XP 00.0050.050.9448则则7假定企业领导人认为未来市场萧条较之市场繁荣是假定企业领导人认为未来市场萧条较之市场繁荣是2对对1之比，即市场萧条和繁荣的概率分别为之比，即市场萧条和繁荣的概率分别为2/3和和1/3,因此因此,如果立即扩展，则利润的期望值是如果立即扩展，则利润的期望值是 例例 假定有一个商业企业面临着是否扩大经营问题，根假定有一个商业企业面临着是否扩大经营问题，根据现有资料估计，如果未来的市场繁荣而现在就进行据现有资料估计，如果未来的市场繁荣而现在就进行扩展经营，则一年内可以获利扩展经营，则一年内可以获利328(万元万元)；如果未来市；如果未来市场萧条，则将损失场萧条，则将损失80(万元万元)。如果这个企业等待下一年。如果这个企业等待下一年再扩展，在市场繁荣的情况下，将获利再扩展，在市场繁荣的情况下，将获利160(万元万元),),而在而在市场萧条的情况下，则仅能获利市场萧条的情况下，则仅能获利16(万元万元)。现在的问题。现在的问题是，这个企业的领导人将怎样作出决策？是，这个企业的领导人将怎样作出决策？数学期望在数学期望在经济经济管理中管理中经经常用到常用到,特特别别是在决策是在决策问题问题中。中。解解 首先要对未来市场作出适当估计。首先要对未来市场作出适当估计。8市场萧条和繁荣的概率分别为市场萧条和繁荣的概率分别为2/3和和1/3,如果立即扩展，如果立即扩展，则利润的期望值是则利润的期望值是如果他决定下一年再扩展，则利润的期望值为如果他决定下一年再扩展，则利润的期望值为 按此计算结果，自然应当以采取推迟扩展的决策为有利。按此计算结果，自然应当以采取推迟扩展的决策为有利。如果领导人对未来市场的估计不是如果领导人对未来市场的估计不是2:1，而是，而是3:2，那么，那么，他立即扩展所期望的利润为他立即扩展所期望的利润为 9如果领导人对未来市场的估计不是如果领导人对未来市场的估计不是2:1，而是，而是3:2，那么，他立即扩展所期望的利润为那么，他立即扩展所期望的利润为 而推迟扩展所期望的利润为而推迟扩展所期望的利润为 按此计算结果，则立即扩展较为有利。按此计算结果，则立即扩展较为有利。10例例(一种验血新技术一种验血新技术)在一个人数很多的单位中普查某在一个人数很多的单位中普查某种疾病种疾病,N 个人去验血个人去验血,有两种方法有两种方法:(1)每个人的血每个人的血分别化验分别化验,共需共需 N 次；次；(2)把把 k 个人的血样混在一起化个人的血样混在一起化验验,如果结果是阴性如果结果是阴性,那么一次就够了；如果呈阳性那么一次就够了；如果呈阳性,那么对这那么对这 k 个人的血样再逐次化验个人的血样再逐次化验,共需共需 k+1次。假定次。假定对所有人来说对所有人来说,呈阳性的概率为呈阳性的概率为 p,且相互独立且相互独立,下面下面说明当说明当 p 较小时较小时,方法方法(2)能减少化验的次数。能减少化验的次数。解解用方法用方法(2)验验血血时时,每个人需化每个人需化验验的次数的次数 X 的概率分布的概率分布为为 11用方法用方法(2)验验血血时时,每个人需化每个人需化验验的次数的次数 X 的概率分布的概率分布为为 因此，因此，N 个人需化个人需化验验的次数的数学期望的次数的数学期望为为 例如，例如，12二、连续型随机变量的数学期望二、连续型随机变量的数学期望 定义定义 设连续设连续型随机型随机变变量量 X 的概率密度的概率密度为为 f(x),如果如果积积分分 绝对绝对收收敛敛，则则称之称之为为 X 的的数学期望数学期望，记为记为 E(X)，即即 13解解例例 设随机变量设随机变量 X 的概率密度函数为的概率密度函数为 求求 X 的数学期望。的数学期望。14解解例例 设随机变量设随机变量 X 的概率密度函数为的概率密度函数为 求求 E(X)。15三、随机变量函数的数学期望三、随机变量函数的数学期望(1)若若 X 是离散型随机是离散型随机变变量，且量，且 X 的的概率分布概率分布为为 (2)若若 X 是是连续连续型随机型随机变变量，且其概率密度量，且其概率密度为为 f(x)，则则则则16上述上述结论结论可推广到可推广到二维随机变量二维随机变量的函数的情况。的函数的情况。(1)若若(X,Y)是离散型随机是离散型随机变变量，且其量，且其联联合分布律合分布律为为 则则(2)若若(X,Y)是是连续连续型随机型随机变变量量，联联合概率密度合概率密度为为f(x,y)，则则 17解解X-2-100.1P 10.20.30.4例例 设随机变量设随机变量 X 的概率分布如下：的概率分布如下：18解解例例 设随机变量设随机变量 X 的概率密度为拉普拉斯分布的概率密度为拉普拉斯分布 19解解例例 地铁到达某站的时间为每个整点的第地铁到达某站的时间为每个整点的第5分钟、第分钟、第25分钟和第分钟和第55分钟。设一乘客在早上分钟。设一乘客在早上8点到点到9点之间随时点之间随时到达，求他的候车时间的数学期望。到达，求他的候车时间的数学期望。设设 X 表示乘客到站的时刻，表示乘客到站的时刻，以以 Y 表示乘客的等候时间，则表示乘客的等候时间，则 由题意，由题意，X 在在0,60上服从均匀分布，其密度函数为上服从均匀分布，其密度函数为2021解解易见易见 X 和和 Y 的联合概率密度为的联合概率密度为 11xyO例例22解解11xyO易见易见 X 和和 Y 的联合概率密度为的联合概率密度为 例例23四、数学期望的性质四、数学期望的性质性性质质1 E(C)=C，其中其中 C 是常数。是常数。性质性质4 设设X、Y 独立，则独立，则 E(XY)=E(X)E(Y);性质性质2 若若k是常数，则是常数，则 E(kX)=kE(X);性质性质3 E(X1+X2)=E(X1)+E(X2);(诸诸Xi 独立时独立时)推广：推广：24解解X-2-100.1P 10.20.30.4例例 设随机变量设随机变量 X 的概率分布如下：的概率分布如下：25例例 一民航送客车载有一民航送客车载有20位旅客自机场开出，旅客位旅客自机场开出，旅客有有10个车站可以下车。如到达一个车站没有旅客下个车站可以下车。如到达一个车站没有旅客下车就不停车。设每位旅客在各个车站下车是等可能车就不停车。设每位旅客在各个车站下车是等可能的，以的，以 X 表示停车的次数，求表示停车的次数，求 E(X)。引入随机变量引入随机变量则有则有解解由题意由题意,有有26则有则有由题意，有由题意，有所以所以由数学期望的性质，得由数学期望的性质，得分解法分解法2722 方差方差 (Variance)随机随机变变量量 X 的数学期望，描述了随机的数学期望，描述了随机变变量量 X 取取值值的的集中集中趋势趋势或平均水平，但是或平均水平，但是仅仅仅仅知道知道 X 的数学期望有的数学期望有时还时还不能完全刻划随机不能完全刻划随机变变量量 X 的的统计统计特征。特征。比如，某厂生比如，某厂生产产一批元件，平均使用寿命一批元件，平均使用寿命E(X)=1000小小时时，仅仅由此我由此我们还们还很很难难了解了解这这批元件批元件质质量的好量的好坏，因坏，因为为有可能有一半的元件有可能有一半的元件质质量很高，寿命在量很高，寿命在1500小小时时以上，而另一半却以上，而另一半却质质量很差，寿命不足量很差，寿命不足500小小时时，从而反映出从而反映出质质量不量不稳稳定。可定。可见应进见应进一步考察元件寿命一步考察元件寿命 X 对对期望期望E(X)的偏离程度。的偏离程度。下面介下面介绍绍的方差就是用来描述随机的方差就是用来描述随机变变量的可能取量的可能取值值与其期望之与其期望之间间的差异程度的数量特征。的差异程度的数量特征。28一、方差的定义一、方差的定义 定义定义即即 如果随机如果随机变变量量X的数学期望存在，称的数学期望存在，称X-E(X)为为随机随机变变量量 X 的的离差离差。均方差均方差根方差根方差29计算公式：计算公式：301、若若X是是离散型离散型随机随机变变量，其概率分布量，其概率分布为为 则则具体计算公式：具体计算公式：2、若若X为为连续型连续型随机随机变变量，其概率密度量，其概率密度为为 f(x)，则则31例例 设设 X 表示机床表示机床 A 一天生产的产品废品数，一天生产的产品废品数，Y 表示机表示机床床 B 一天生产的产品废品数，它们的概率分布如下：一天生产的产品废品数，它们的概率分布如下：X0120.5P 30.30.10.1解解Y0120.6P 30.10.20.1问：两机床哪台质量好？设两台机床的日产量相等问：两机床哪台质量好？设两台机床的日产量相等。均值相等均值相等,据此不能判断优劣据此不能判断优劣,再求方差。再求方差。32X0120.5P 30.30.10.1Y0120.6P 30.10.20.1均值相等均值相等,据此不能据此不能判断优劣判断优劣,再求方差再求方差.由于由于D(X)D(Y),),因此机床因此机床A的波动较机床的波动较机床B的波动小的波动小,质量较稳定。质量较稳定。33解解例例 设设随机随机变变量量 X 的概率密度函数的概率密度函数 求求：EX,DX.34解解求求 X 的方差的方差 例例 设随机变量设随机变量 X 的概率密度为的概率密度为 35解解例例 设设(X,Y)的联合分布律为的联合分布律为 求随机变量求随机变量 X,Y 的方差的方差 由对称性知，由对称性知，二、方差的性质二、方差的性质性性质质1 D(C)=0，其中其中 C 是常数。是常数。性质性质2 若若k是常数是常数,则则性质性质3证证其中其中C是常数。是常数。证证37性质性质4 设设 X 和和 Y 是两个相互独立的随机是两个相互独立的随机变变量，量，则则 证证而而38当当 X 和和 Y 相互相互独立独立时时，有有所以所以推广：推广：若若X1,X2,Xn 两两两两独立独立,则则更一般地，更一般地，证证性质性质4 设设 X 和和 Y 是两个相互独立的随机是两个相互独立的随机变变量，量，则则 39注意注意：以下两个式子是等价的：以下两个式子是等价的：例如，当例如，当 X 和和 Y 相互独立相互独立时，有时，有若若X1,X2,Xn 两两两两独立独立,则则40解解选选(B).A.有相同的分布有相同的分布B.数学期望相等数学期望相等 C.方差相等方差相等D.以上均不成立以上均不成立 例例4133 常见常见分布的数学分布的数学期望和方差期望和方差42一、常见离散型分布的数学期望和方差一、常见离散型分布的数学期望和方差1 1、0-10-1分布分布432 2、二项分布、二项分布X 表示表示 n 重伯努利试验中的成功次数重伯努利试验中的成功次数.设设而而 X=X1+X2+Xn，i=1,2,n则则所以所以Xi 相互独立，相互独立，443 3、泊松分布、泊松分布由无由无穷级穷级数知数知识识知，知，453 3、泊松分布、泊松分布所以所以464 4、几何分布、几何分布由无由无穷级穷级数知数知识识知，知，逐逐项项求求导导，47所以所以逐逐项项求求导导，再再逐逐项项求求导导，4 4、几何分布、几何分布48二、常见连续型分布的数学期望和方差二、常见连续型分布的数学期望和方差1 1、均匀分布、均匀分布492 2、指数分布、指数分布503 3、正态分布、正态分布奇函数奇函数51分布分布概率分布或概率密度概率分布或概率密度 数学期望数学期望 方差方差 0-1分布分布二项二项分布分布均匀均匀分布分布指数指数分布分布正态正态分布分布泊松泊松分布分布几几种种常常见见分分布布的的数数学学期期望望与与方方差差解解选选(D).例例 设设 X 服从二服从二项项分布分布 B(n,p)，则则有有()。53例例解解54解解例例由题意，由题意，于是，根据期望与方差的性质，有于是，根据期望与方差的性质，有 55 由于独立的正态随机变量的线性组合仍服从正态由于独立的正态随机变量的线性组合仍服从正态分布，且分布，且 解解所以所以 Z 的概率密度函数为的概率密度函数为 例例56练习：练习：P86 习题三习题三1.2.3.4.5.6.574 矩矩、协方差协方差及相关系数及相关系数58一、原点矩与中心矩一、原点矩与中心矩其中其中 k 是正整数是正整数.称它为称它为 X 和和 Y 的的 k+l 阶混合原点矩阶混合原点矩.若若存在，存在，称它为称它为 X 和和 Y 的的 k+l 阶混合中心矩阶混合中心矩.设设 X 和和 Y 是随机变量，若是随机变量，若存在，存在，1阶原点矩就是数学期望；阶原点矩就是数学期望；2阶中心矩就是方差；阶中心矩就是方差；X 和和 Y 的二阶混合中心矩就是接下来要讨论的协方。的二阶混合中心矩就是接下来要讨论的协方。59 对对随机向量来随机向量来说说，除了研究每个分量的数学期望，除了研究每个分量的数学期望和方差以外，和方差以外，还还希望知道分量之希望知道分量之间间的相关程度，因此的相关程度，因此引引进进协方差协方差和和相关系数相关系数这这两个概念。两个概念。定义定义计算公式：计算公式：二、协方差的概念及其性质二、协方差的概念及其性质covariance60定义定义计算公式：计算公式：二、协方差的概念及其性质二、协方差的概念及其性质其中其中61协方差的性质：协方差的性质：2、对对称性：称性：3、线性、线性性：性：4、若若 X 和和 Y 相互独立，相互独立，则则 因为因为 X 和和 Y 相互独立相互独立注意注意：上式反之未必成立。：上式反之未必成立。1、a,b为常数为常数625、类似地有类似地有推广：推广：因此，若因此，若 X1,X2,Xn 两两独立两两独立,，则有，则有63 协方差的大小在一定程度上反映了协方差的大小在一定程度上反映了X和和Y相互间的相互间的关系，但它还受关系，但它还受X与与Y本身度量单位的影响本身度量单位的影响.例如：例如：为了消除量纲的影响，下面提出随机变量标准化为了消除量纲的影响，下面提出随机变量标准化的概念。的概念。可以可以验证验证，三、相关系数的概念及其性质三、相关系数的概念及其性质64标标准化随机准化随机变变量消除了量量消除了量纲纲的影响的影响。可以可以验证验证，65定义定义计算公式：计算公式：66证证相关系数的性质：相关系数的性质：67相关系数的性质：相关系数的性质：性质性质1 1证证性质性质2 2证证68性质性质2 2证证 69 相关系数是随机变量之间相关系数是随机变量之间线性关系线性关系强弱的一个强弱的一个度量度量(参见如下的示意图参见如下的示意图).|的值越接近于的值越接近于1,Y与与X的线性相关程度越高的线性相关程度越高;|的值越接近于的值越接近于0,Y与与X的线性相关程度越弱的线性相关程度越弱.70例例 设设(X,Y)的联合分布律为的联合分布律为 解解先求出边缘分布，先求出边缘分布，71解解例例xyO72xyO73定义定义下列事下列事实实彼此等价：彼此等价：定理定理 若若 X 与与 Y 相互独立，相互独立，则则 X 与与 Y 不相关。不相关。注意：注意：逆逆定理定理不成立不成立,即即 X 与与 Y 不相关不相关时时,不一定独立不一定独立.74例例 设设(X,Y)的分布律为的分布律为所以所以这表示这表示X,Y 不存在线性关系不存在线性关系.但但,知知X,Y 不独立不独立.事实上事实上,X,Y 具有非线性关系：具有非线性关系：75解解例例(1)X 与与 Y 的的联联合密度合密度为为 边缘边缘密度密度为为 0，其他其他76类似地类似地,同理同理,奇函数奇函数77(利用利用对对称性称性)所以所以即即 X 和和 Y 不相关不相关。即即 X 和和 Y 不独立不独立。(2)78二维正态分布二维正态分布可以证明：可以证明：X,Y 相互独立相互独立可以计算得可以计算得 于是，对二维正态随机变量于是，对二维正态随机变量(X,Y)来说来说,X 和和 Y 不相关与不相关与 X 和和 Y 相互独立是等价的相互独立是等价的.在在正态分布正态分布的的场场合合,独立性与不相关性是一致的。独立性与不相关性是一致的。79解解例例80例例解解(1)所以所以 81故故(X,Y)的联合概率分布为的联合概率分布为 82(2)边缘分布为边缘分布为均为均为0-1分布，分布，83练习：练习：P87 习题三习题三7.8.9.10.11.12.84End85习题课习题课例例1 1解解86例例2 2解解87解解例例3 3 设随机变量设随机变量X的密度函数为的密度函数为求求EX,DX.所以所以88例例4 4分析：分析：解解抽到卡片的号码，则抽到卡片的号码，则 8990例例5 5解解X的分布律为的分布律为巴斯卡分布巴斯卡分布 直接计算较繁，下面用直接计算较繁，下面用分解法分解法。91例例5 5解解所以所以92证证即即A与与B相互独立相互独立,例例6 693故故 X 和和 Y 相互独立相互独立 即即A与与B相互独立相互独立,94证证例例7 795解解先求出边缘密度，先求出边缘密度，均匀分布均匀分布y=3xy=2x例例8 8 设设(X,Y)的联合密度函数为的联合密度函数为 96类似地，类似地，97y=3xy=2x98y=3xy=2x注：实际上，本题不必求边缘密注：实际上，本题不必求边缘密度，可以直接利用联合密度计算度，可以直接利用联合密度计算E(X)、E(Y)等。等。实际上实际上,上述方法限定了求积分的次序上述方法限定了求积分的次序,有时不方便有时不方便.99例例8 8 设设(X,Y)的联合密度函数为的联合密度函数为 解解均匀分布均匀分布y=3xy=2x100均匀分布均匀分布y=3xy=2x101设设(X,Y)的联合密度函数为的联合密度函数为 解解例例9 9102103例例10 10 若若有有 n 把看上去把看上去样样子相同的子相同的钥钥匙匙，其中只有一把其中只有一把能打开能打开门门上的上的锁锁，用它用它们们去去试试开开门门上的上的锁锁。设设取到每取到每只只钥钥匙是等可能的匙是等可能的。(1)若每把若每把钥钥匙匙试试开一次后除去；开一次后除去；(2)若每把若每把钥钥匙匙试试开一次后不除去开一次后不除去，分分别别求求试试开次数开次数X的数学期望的数学期望。解解则则乘法公式乘法公式104所以所以 X 的分布律的分布律为为 故故几何分布几何分布,所以所以105解解例例11 11 设设随机随机变变量量X的概率密度函数的概率密度函数 求求：EX,DX.瑞利瑞利Rayleigh分布分布泊泊松松积积分分106例例11 11 设设随机随机变变量量X的概率密度函数的概率密度函数 求求：EX,DX.解解107END108习题选解习题选解109P P87 87 7 7、解解110P P87 87 9 9、设设(X,Y)的联合密度函数为的联合密度函数为 解解111112113(B)1.1.已知随机变量已知随机变量 X 服从二项分布，且服从二项分布，且则二项分布的参数则二项分布的参数 n,p 的值为的值为解解解得解得选选(B).1145.5.解解选选(B).115