函数的单调性--讲课课件(教育精品).ppt

函数的单调性函数的单调性点此播放讲课视频点此播放讲课视频 目目 录录学生情况分析学生情况分析2 2教学目标分析教学目标分析3 3教学重难点分析教学重难点分析4 4教学内容分析教学内容分析1 1教学方法分析教学方法分析5 5教学过程设计教学过程设计6 6 目目 录录学生情况分析学生情况分析2 2教学目标分析教学目标分析3 3教学重难点分析教学重难点分析4 4教学内容分析教学内容分析1 1教学方法分析教学方法分析5 5教学过程设计教学过程设计6 6一、教学内容分析一、教学内容分析1.1.教材内容教材内容（教材位置，课时设置）（教材位置，课时设置）数学数学 必修一必修一B B版版 第二章第一节第二章第一节共共2 2课时，本节课为第课时，本节课为第1 1课时课时点此播放讲课视频点此播放讲课视频一、教学内容分析一、教学内容分析2.2.教材的地位和作用教材的地位和作用单调性本身单调性本身初中初中初步感性初步感性认识高一高一单调性性严格定格定义高三高三导数与数与单调性性单调性单调性一、教学内容分析一、教学内容分析2.2.教材的地位和作用教材的地位和作用本章节教学本章节教学一、教学内容分析一、教学内容分析函数知识网络函数知识网络 对初中深化，从感性到理性对初中深化，从感性到理性承上承上为后续学习打下基础为后续学习打下基础启启下下2.2.教材的地位和作用教材的地位和作用一、教学内容分析一、教学内容分析2.2.教材的地位和作用教材的地位和作用高中数学学习高中数学学习数形结合思想数形结合思想研究函数性质的有力工具研究函数性质的有力工具点此播放讲课视频点此播放讲课视频 目目 录录学生情况分析学生情况分析2 2教学目标分析教学目标分析3 3教学重难点分析教学重难点分析4 4教学内容分析教学内容分析1 1教学方法分析教学方法分析5 5教学过程设计教学过程设计6 6二、学生情况分析二、学生情况分析简单函数、函数概念表示、函数图象、增减性简单函数、函数概念表示、函数图象、增减性知识结构知识结构能力结构能力结构学习心理学习心理本班特点本班特点观察事物能力，抽象归纳的能力和语言转换能力观察事物能力，抽象归纳的能力和语言转换能力渴望进一步学习的积极心态渴望进一步学习的积极心态理科实验班，数学素养较好理科实验班，数学素养较好 目目 录录学生情况分析学生情况分析2 2教学目标分析教学目标分析3 3教学重难点分析教学重难点分析4 4教学内容分析教学内容分析1 1教学方法分析教学方法分析5 5教学过程设计教学过程设计6 6三、教学目标分析三、教学目标分析 （1 1）从形与数两方面理解单调性的概念）从形与数两方面理解单调性的概念 （2 2）绝大多数学生初步学会利用函数图象和单）绝大多数学生初步学会利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法调性定义判断、证明函数单调性的方法 1 1、知识与技能：、知识与技能：三、教学目标分析三、教学目标分析 （1 1）通过对函数单调性定义的探究，提高观察、）通过对函数单调性定义的探究，提高观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高推理论证能力数单调性的证明，提高推理论证能力 （2 2）通过对函数单调性定义的探究，体验数形）通过对函数单调性定义的探究，体验数形结合思想结合思想 （3 3）经历观察发现、抽象概括，自主建构单调）经历观察发现、抽象概括，自主建构单调性概念的过程，体会从具体到抽象，从特殊到性概念的过程，体会从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程一般，从感性到理性的认知过程2 2、过程与方法：、过程与方法：三、教学目标分析三、教学目标分析通过知识的探究过程培养细心观察、认真分通过知识的探究过程培养细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯；感受用辩证析、严谨论证的良好思维习惯；感受用辩证的观点思考问题的观点思考问题3 3、情感态度价值观：、情感态度价值观：目目 录录学生情况分析学生情况分析2 2教学目标分析教学目标分析3 3教学重难点分析教学重难点分析4 4教学内容分析教学内容分析1 1教学方法分析教学方法分析5 5教学过程设计教学过程设计6 6四、教学重难点分析四、教学重难点分析教学重点：教学重点：函数单调性的概念形成和初步运用函数单调性的概念形成和初步运用教学难点：教学难点：函数单调性的概念形成函数单调性的概念形成 目目 录录学生情况分析学生情况分析2 2教学目标分析教学目标分析3 3教学重难点分析教学重难点分析4 4教学内容分析教学内容分析1 1教学方法分析教学方法分析5 5教学过程设计教学过程设计6 6五、教学方法分析五、教学方法分析普通高中数学课程标准普通高中数学课程标准(实验实验)指出：指出：“高中数学课程应倡高中数学课程应倡导自主探索等学习数学的方式，这些方式有助于发挥学生学导自主探索等学习数学的方式，这些方式有助于发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的再创再创造造过程。过程。”教学方法：教学方法：启发式教学法和学生探究式教学法启发式教学法和学生探究式教学法 目目 录录学生情况分析学生情况分析2 2教学目标分析教学目标分析3 3教学重难点分析教学重难点分析4 4教学内容分析教学内容分析1 1教学方法分析教学方法分析5 5教学过程设计教学过程设计6 6创设情境创设情境引入新课引入新课初步探索初步探索概念形成概念形成概念深化概念深化延伸拓展延伸拓展证法探究证法探究应用定义应用定义小结评价小结评价作业创新作业创新六、教学过程设计六、教学过程设计创设情境创设情境引入新课引入新课六、教学过程设计六、教学过程设计数学课程标准中提出数学课程标准中提出“通过已学过的函数特别通过已学过的函数特别是二次函数理解函数的是二次函数理解函数的单调性单调性”xyy=2xO 112-12-1-2-2yy=-2xO 112-12-1-2-2xxyy=x2+1O11问题问题1：分别作出函数：分别作出函数y=2x，y=-2x和和y=x2+1的图象，并且观察函数变化规律？的图象，并且观察函数变化规律？六、教学过程设计六、教学过程设计增函数、减函数增函数、减函数单调性是局部性质单调性是局部性质？问题问题2创设情境创设情境引入新课引入新课初步探索初步探索概念形成概念形成六、教学过程设计六、教学过程设计点此播放说课视频点此播放说课视频六、教学过程设计六、教学过程设计xyy=x2+1O11函数的单调性函数的单调性问题三问题三：以以y y=x x2 2+1+1在在 (0(0，+)上单调性为例上单调性为例，如何用精确的数学语，如何用精确的数学语言来描述函数的单调性言来描述函数的单调性？六、教学过程设计六、教学过程设计xyy=x2+1O11函数的单调性函数的单调性实现图形语言图形语言文字语言文字语言符号语言符号语言随着？随着？增大？增大？任取？任取？六、教学过程设计六、教学过程设计xyy=x2+1O11函数的单调性函数的单调性1 1、函数单调性定义、函数单调性定义定义内容六、教学过程设计六、教学过程设计进一步提问：进一步提问：如何判断如何判断 f(xf(x1 1)f(x)f(x2 2)得到求差法后提出得到求差法后提出 记记:x=x2 2-x1 1 y=f(f(x2 2)-f()-f(x1 1)=)=y2 2-y1 1 六、教学过程设计六、教学过程设计创设情境创设情境引入新课引入新课初步探索初步探索概念形成概念形成概念深化概念深化延伸拓展延伸拓展点此播放讲课视频点此播放讲课视频六、教学过程设计六、教学过程设计问题四问题四：能否说：能否说f f(x x)=)=在它的定义域上是减函数？在它的定义域上是减函数？学生提出反例，得到结论学生提出反例，得到结论进一步提问：进一步提问：函数在定义域内的两个区间函数在定义域内的两个区间A A,B B上都是增（减）函数，上都是增（减）函数，何时函数在何时函数在A AB B上也是增上也是增（减）函数（减）函数 六、教学过程设计六、教学过程设计oxyOxyOo拓展探究：拓展探究：已知已知函数函数是是（-，+）上的增函数，求）上的增函数，求a a的的取值范围取值范围 何何时满足任意性足任意性回回归定定义六、教学过程设计六、教学过程设计创设情境创设情境引入新课引入新课初步探索初步探索概念形成概念形成概念深化概念深化延伸拓展延伸拓展证法探究证法探究应用定义应用定义六、教学过程设计六、教学过程设计例例1 1：证明函数证明函数 在（在（0 0，+）上是增函数）上是增函数 证明：任取证明：任取 且且函数函数 在（在（0 0，+）上是增函数）上是增函数六、教学过程设计六、教学过程设计xyy=x2+1O11函数的单调性函数的单调性1 1、函数单调性定义、函数单调性定义定定义内内容容2 2、函数单调性证明、函数单调性证明例例1 1：证明明过程程断号断号设元设元变形变形作差作差定论定论六、教学过程设计六、教学过程设计例例2 2：判断函数判断函数 在（在（0 0，+）上的单调性）上的单调性进一步提问：进一步提问：如果把（如果把（0 0，+）条件去掉，如何解这道题？）条件去掉，如何解这道题？（作业）（作业）课标中指出课标中指出“形式化是数学的基本特征之一，但不形式化是数学的基本特征之一，但不能仅限于形式化的表达。高中课程强调返璞归真能仅限于形式化的表达。高中课程强调返璞归真”因此本题不再从证明角度，而是让学生再次从定义因此本题不再从证明角度，而是让学生再次从定义出发，寻求方法，并体会转化思想。出发，寻求方法，并体会转化思想。六、教学过程设计六、教学过程设计创设情境创设情境引入新课引入新课初步探索初步探索概念形成概念形成概念深化概念深化延伸拓展延伸拓展证法探究证法探究应用定义应用定义小结评价小结评价作业创新作业创新六、教学过程设计六、教学过程设计 从知识、方法两个方面引导学生进行总结从知识、方法两个方面引导学生进行总结回顾函数单调性定义的探究过程；证明、回顾函数单调性定义的探究过程；证明、判断函数单调性的方法步骤；数学思想判断函数单调性的方法步骤；数学思想方法方法六、教学过程设计六、教学过程设计作业（作业（1 1、2 2、4 4必做，必做，3 3选做）选做）1 1、证明：函数、证明：函数 在区间在区间00，+)上上 是增函数。是增函数。2 2、课上思考题、课上思考题3 3、求函数、求函数 的单调区间的单调区间4 4、思考、思考P46 P46 探索与研究探索与研究结束语 通过本节课的学习预计学生能够理解单调性的含通过本节课的学习预计学生能够理解单调性的含义，绝大多数学生能按照单调性的证明步骤进行义，绝大多数学生能按照单调性的证明步骤进行证明，能判断函数的单调性。证明，能判断函数的单调性。本节课最后设计了课堂反馈并结合教师评价和学本节课最后设计了课堂反馈并结合教师评价和学生自评来评价本节课的学习效果。生自评来评价本节课的学习效果。结束语xyy=x2+1O11函数的单调性函数的单调性1 1、函数单调性定义、函数单调性定义定定义内内容容2 2、函数单调性证明、函数单调性证明例例1 1：证明明过程程断号断号设元设元变形变形作差作差定论定论在情在情境设置境设置中，严格按照课中，严格按照课标要求，标要求，以二次函数以二次函数y y=x x2 2+1+1为例，经历画图、描述图象、找单调区间、形成单调性为例，经历画图、描述图象、找单调区间、形成单调性定义、证明其单调性的过程，将学生对单调性的认识从感定义、证明其单调性的过程，将学生对单调性的认识从感性上升到理性，并将定义进行应用。性上升到理性，并将定义进行应用。一、函数的单调性 ooabab从导数的几何意义考察函数的单调性：从导数的几何意义考察函数的单调性：3.3.函数的升降、凸性与极值函数的升降、凸性与极值Th.Th.1 1 （导数的正负与函数升降的关系导数的正负与函数升降的关系）证明：由极限保号性、中值定理可证.CorollaryCorollary（严格单调的充分条件严格单调的充分条件严格单调的充分条件严格单调的充分条件）若f(x)在a,b连续，在(a,b)可导，且 不变号，则注1.Th.1 表明，讨论可导函数的单调性，只须判别 其导数的符号即可，其步骤是:确定 的定义域；求 ，令 求出分界点；用分界点将定义域分成若干个开区间；判别 在每个开区间内的符号，即可 确定 的严格单调性（严格单调区间）.例1.讨论 的上升、下降情况.解：解：该函数的定义域是 R.由它们将 R 分成三个区间：xy+y例2.解：定义域是 R.由现列表讨论如下：xy+yTh.2（不等式定理不等式定理不等式定理不等式定理）若 f(x)与 g(x)满足条件：(1)在a,b上可导;注2.利用函数的升降性及其导数之间的关系来证明不等式yxMoax bTh.2 若F(x)满足证明：例3.证明证明：证明：从而得证.例4.证明：证明：例5.证明方程证明：证明：二、函数的极大值与极小值二、函数的极大值与极小值1.DefDef（局部极值局部极值）o abxy注注3.函数的极值的局部性.定义中可以有结论结论oxyy=2xy=xTh.3 （极值的必要条件）（极值的必要条件）由此求出可能使由此求出可能使 f(x)取极值的点之后，如何判定取极值的点之后，如何判定它是取极大值还是极小值呢？它是取极大值还是极小值呢？图示可见图示可见,由导数符号由导数符号可判定极大极小值点可判定极大极小值点.xyoyxoTh.4 （极值判别法之一）（极值判别法之一）x 取局部取局部极极小小值 取局部取局部极极大大值 不取局部不取局部极极值 不取局部不取局部极极值证明：由函数的升降性及极值定义得到.列表如下列表如下：注注4.Th.5（极值判别法之二）（极值判别法之二）证明：证明：由二阶导数定义及极限保号性、Th4得证.Th.5(1)(2)定理定理5是定理是定理5的特殊情形的特殊情形.证明：证明：根据Taylor公式,有例6.解：解：现列表讨论如下：现列表讨论如下：x0y+不存在0+y 例7.解：解：例8.解：解：三、函数的最大值和最小值三、函数的最大值和最小值如何求出函数在某区间上的最大值和最小值？如何求出函数在某区间上的最大值和最小值？yxaOb注注1：函数在某一区间上的最大值和最小值,也叫全局极值.可导函数在可导函数在a,b上的最大、最小值的求解步骤：上的最大、最小值的求解步骤：注注2：例9.解：解：所以函数的最大值是0,最小值是2.例10.某生产队要建造一个体积为某生产队要建造一个体积为 50 立方米的有盖圆柱形氨水池立方米的有盖圆柱形氨水池.问这个氨水池的高和底半径取多大时，用料问这个氨水池的高和底半径取多大时，用料最省？最省？解：解：用料最省就是要求氨水池的表面积最小.设氨水池的底半径是 r,高是 h,它 的表面积hrO用V50立方米代入，得到 答：当圆柱形氨水池的高和直径相等时，用料最省。答：当圆柱形氨水池的高和直径相等时，用料最省。四、函数的凸性四、函数的凸性是描述函数性状的一个更深入的概念是描述函数性状的一个更深入的概念.例如：yxo上凸上凸下凸下凸几何角度：几何角度：几何角度：几何角度：xyoxyo1.1.Def（函数的凸性）（函数的凸性）注：注：函数的凹凸性，下凸即是上凹.2.2.函数的凸性与其导数的关系函数的凸性与其导数的关系Th.6证明证明：由Lagrange公式，得：In fact,其中，由得 上凸，故 下凸.DefDef:若曲线 在其上一点 的一侧为上凸，另一侧为下凸，则称此点为曲线 的拐点拐点.xyoy=f(x)注：注：yxo 求求 ；令令 ，求解，并划分，求解，并划分f(x)的定义域为若干的定义域为若干 个开区间个开区间.判别判别 在每个开区间的符号在每个开区间的符号.设设 ,列表讨论如下：列表讨论如下：3.3.讨论讨论 f(x)的凸性及拐点的步骤的凸性及拐点的步骤x（上凸）0（下凸）是拐点是拐点（下凸）0（上凸）是拐点是拐点（下凸）0（下凸）不不 是是（上凸）0（上凸）拐拐 点点注：对注：对 不存在的点亦可类似讨论不存在的点亦可类似讨论.例1.讨论 的凸性及拐点.解：解：xyo1x00不存在y上凸上凸拐点拐点下凸下凸非拐点非拐点下凸下凸例2.解：解：其定义域是 R.由xyo11-1-1x100y极极小小值1 1极极大大值 1 1又列表如下：x0000 上凸上凸拐点拐点下凸下凸拐点拐点上凸拐点拐点下凸下凸x0100000上上凸凸拐拐点点下下凸凸极极小小下下凸凸拐拐点点上上凸凸极极大大上上凸凸拐拐点点下凸下凸统一列表如下统一列表如下:4.4.曲线的渐近线曲线的渐近线 xyo双曲线的渐近线如何求之？如何求之？曲线的渐近线有两种：曲线的渐近线有两种：垂直渐近线；垂直渐近线；斜渐近线斜渐近线 （包括水平渐近线）（包括水平渐近线）yxoPKMDefDef:当曲线 C 上动点 M 沿着曲线 C 无限远移时，若动点 M 到某直线 l 的距离无限趋于零，则称直线 l 是曲线 C 的渐近线.(1)(1)垂直渐近线垂直渐近线例如：斜渐近线斜渐近线如何求出渐近线如何求出渐近线 呢？呢？因 是常数，故Prop:直线直线 是曲线是曲线 的斜渐近线的斜渐近线 a与与b 由由与与式分别确定式分别确定.因此得从而由得特别，当 a=0 时，就是水平渐近线水平渐近线.即：直线直线 是水平渐近线是水平渐近线 例3.解：解：由于故 x=1 为 f(x)的垂直渐近线.又故故 是渐近线.例4.求双曲线 的渐近线.解：解：因函数在例5.利用函数特性描绘函数图形利用函数特性描绘函数图形,一般步骤：一般步骤：5.函数的图形函数的图形(1)确定函数确定函数 的定义域的定义域,讨论函数的奇偶性、讨论函数的奇偶性、对称性、周期性等性态对称性、周期性等性态;(2)求出使求出使 不存在的点不存在的点,把函数的定义域划分成几个部分区间把函数的定义域划分成几个部分区间;(3)根据根据 的符号的符号,确定函数的上升或下降区间确定函数的上升或下降区间,图形的上凸或下凸区间图形的上凸或下凸区间,以及极值和拐点以及极值和拐点;可可列表讨论列表讨论;(4)确定函数图形的水平、垂直渐近线、斜渐近线确定函数图形的水平、垂直渐近线、斜渐近线;(5)描点作图描点作图.描出极值点、拐点描出极值点、拐点,曲线与坐标轴的交点曲线与坐标轴的交点.例12.解：解：(3)列表讨论如下：列表讨论如下：表表1.函数的上升、下降和极值函数的上升、下降和极值.表表2.函数的上凸、下凸和拐点函数的上凸、下凸和拐点.x 0(0,1)1 y 不存在 0 y无定义 极极小小值 0 x 0 y 不存在 0 y 下凸下凸无定义下凸下凸拐点拐点上凸上凸表表3.统一列表统一列表 x 0 1 y 不存在不存在 0 不存在不存在 0 y 下凸下凸无定无定义 下凸下凸极极小小值0 下凸下凸拐点拐点 上凸上凸(5)曲线与坐标轴的交点为(1,0).作图如下：y x0.511.521ACB y=1 渐近线渐近线OMatlab程序程序例13.解：解：（3）列表讨论如下：列表讨论如下：2 1 0 0 不存在不存在 0 不存在不存在 极极大大值 4 4极极小小值 0 0上上 凸凸下下 凸凸无无定定义义又因为(5)曲线与坐标轴交于原点,作图如下：yx-2-1O-1-2-3-4Matlab程序程序注意最值与极值的区别注意最值与极值的区别.最值是整体概念而极值是局部概念最值是整体概念而极值是局部概念.实际问题求最值的步骤实际问题求最值的步骤.五、小结五、小结点此播放讲课视频点此播放讲课视频 函数图形的描绘综合运用函数性态的研究函数图形的描绘综合运用函数性态的研究,是导数应用的综是导数应用的综合考察合考察.最最大大值值最最小小值值极极大大值值极极小小值值拐拐点点凹的凹的凸的凸的单增单增单减单减单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用.定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立.应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式和证明不等式.注意最值与极值的区别注意最值与极值的区别.最值是整体概念而极值是局部概念最值是整体概念而极值是局部概念.实际问题求最值的步骤实际问题求最值的步骤.极值是函数的局部性概念极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小极大值可能小于极小值值,极小值可能大于极大值极小值可能大于极大值.驻点和不可导点统称为驻点和不可导点统称为临界点临界点.函数的极值必在函数的极值必在临界点临界点取得取得.判别法判别法第一充分条件第一充分条件;第二充分条件第二充分条件;(注意使用条件注意使用条件)