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第六章第六章 多元函数微分学及其应用多元函数微分学及其应用 假设已经搞懂了一元函数的微假设已经搞懂了一元函数的微分（包括极限、连续和导数概念）分（包括极限、连续和导数概念）理论，那么这一章的主要任务就理论，那么这一章的主要任务就是弄清多元函数微分与一元函数是弄清多元函数微分与一元函数微分的联系与区别。微分的联系与区别。其中，从直线到平面的推广或其中，从直线到平面的推广或拓展，是最值得注意的。特别是拓展，是最值得注意的。特别是与极限概念相关的部分。与极限概念相关的部分。6.1多元函数的基本概念多元函数的基本概念1.N维空间中的点集维空间中的点集2.N维空间中点列的收敛维空间中点列的收敛3.多元函数的定义多元函数的定义4.多元函数的极限多元函数的极限5.多元函数的连续性多元函数的连续性第六章第一节作业题第六章第一节作业题1（2,4）；）；2；3（2,4,5,6）；）；4；5（3）；）；8.2.n维欧式空间中点列的收敛（维欧式空间中点列的收敛（n维空间中的极限）维空间中的极限）（1）n维欧式空间中点列收敛维欧式空间中点列收敛的定义（的定义（语言）语言）（2）n维空间点列收敛的坐标刻画（定理维空间点列收敛的坐标刻画（定理6-1）.（3）点列收敛的某些基本性质：极限的唯一性、）点列收敛的某些基本性质：极限的唯一性、点列有界性；极限与加、减、乘运算的可交换性。点列有界性；极限与加、减、乘运算的可交换性。注：由于在注：由于在n维空间中没有序（大小）的规定，也没有维空间中没有序（大小）的规定，也没有除法，所以没有所谓单调性，保号性，确界和除法的除法，所以没有所谓单调性，保号性，确界和除法的讨论。讨论。（4）n维空间中的柯西列维空间中的柯西列，以及点列收敛的柯西准，以及点列收敛的柯西准则（即则（即n维欧式空间的度量完备性维欧式空间的度量完备性-定理定理6-2）。）。（5）由点列极限刻画）由点列极限刻画集合集合聚点聚点-极限点极限点（定理（定理6-3）。）。3.多元函数多元函数（1）多元函数的定义）多元函数的定义-本质上就是本质上就是n维空间某个子集维空间某个子集到实数集的映射。到实数集的映射。符号与概念符号与概念:自变量、因变量、定义域、值域（这个自变量、因变量、定义域、值域（这个集合的表示）；集合的表示）；自然定义域自然定义域约定。约定。【例【例6-1】一定量的理想气体的压强】一定量的理想气体的压强p，体积，体积V和绝对温和绝对温度度T之间具有关系之间具有关系 ,其中其中R为常数为常数.【例【例6-2】长方体体积】长方体体积V是它的长是它的长x，宽，宽y，高，高z的三元函的三元函数数【例【例6-3】求函数】求函数 的定义域的定义域.（2）多元初等函数。多元初等函数。（3）多元函数的图）多元函数的图-曲面与曲面与超曲面超曲面概念概念（参见书中图（参见书中图6-2），二元（连续）函数的图像。），二元（连续）函数的图像。4.多元函数的极限（本章的难点大多在这一节）多元函数的极限（本章的难点大多在这一节）注：多元函数的极限，在本质上与一元函数的极限注：多元函数的极限，在本质上与一元函数的极限是一致的。但是在某些形式和性质上却往往有很多是一致的。但是在某些形式和性质上却往往有很多区别。多元函数的极限与二元函数的极限，无论是区别。多元函数的极限与二元函数的极限，无论是性质和形式，差异都很小。所以这里以二元函数为性质和形式，差异都很小。所以这里以二元函数为主介绍相关内容。主介绍相关内容。特别的，在特别的，在n=2时，根据上面的记法，并记时，根据上面的记法，并记则上述极限可以记作则上述极限可以记作或者或者注意：上述极限注意：上述极限-称为称为重极限重极限-的刻画，也可以利用空的刻画，也可以利用空间的矩形邻域，间的矩形邻域，用各个坐标之间的距离描述用各个坐标之间的距离描述。【例【例6-4】用定义证明】用定义证明（2）例与反例）例与反例【例【例6-5】设】设 讨论当讨论当(x,y)(0,0)时，时，f(x,y)的极限是否存在？的极限是否存在？从下面例子可以看出，多元函数的极限，情况远从下面例子可以看出，多元函数的极限，情况远比一元函数极限的情况复杂。比一元函数极限的情况复杂。【例【例6-6】求】求注：为什么多元函数的极限比较复杂呢？注：为什么多元函数的极限比较复杂呢？仅考虑二维的情况，二维点可以从平面的任何方向仅考虑二维的情况，二维点可以从平面的任何方向趋近于定点，对应于这些不同的趋近路线，函数取值趋近于定点，对应于这些不同的趋近路线，函数取值的变化可能千差万别。而在一维情况下，函数自变量的变化可能千差万别。而在一维情况下，函数自变量只有两个方向趋近于定点，易于观察和验证。只有两个方向趋近于定点，易于观察和验证。下面是可以按常规算法求极限的几道例题。下面是可以按常规算法求极限的几道例题。（4）累次极限与重极限之间的某些关系）累次极限与重极限之间的某些关系（i）重极限存在不意味着累次极限存在，例如：）重极限存在不意味着累次极限存在，例如：当自变量趋近于当自变量趋近于0时，其累次极限都不存在，但是重时，其累次极限都不存在，但是重极限为极限为0.注：请从函数的图像观察一下上述现象产生的原因。注：请从函数的图像观察一下上述现象产生的原因。（ii）累次都极限存在，变换顺序也可不相等。）累次都极限存在，变换顺序也可不相等。考察函数考察函数（自变量趋近于（自变量趋近于0）.1.计算下列极限（考虑累次极限，留作练习）：计算下列极限（考虑累次极限，留作练习）：2.判断判断 该极限是否存在，该极限是否存在，若认为不存在，请说明理由；若存在，极限是什么？若认为不存在，请说明理由；若存在，极限是什么？3.讨论讨论 的情况。的情况。（1）多元函数连续的定义（）多元函数连续的定义（语言定义语言定义-定义定义6-6）即即是是 的聚点，并且属于的聚点，并且属于，如果，如果也就是也就是元函数，元函数，设设 是定义在是定义在 上的上的n（注：在二维空间情况下记为（注：在二维空间情况下记为 ）则称函数在则称函数在 点处是连续的。点处是连续的。5.多元函数的连续性多元函数的连续性这里的这里的被称为函数的被称为函数的全增量全增量。注注1：这里所谓函数的不连续点，与一元微积分中一：这里所谓函数的不连续点，与一元微积分中一样，不要求这个点属于定义域，只要求属于定义域的样，不要求这个点属于定义域，只要求属于定义域的聚点集。不连续点也可能不是孤立点（例如一条线）。聚点集。不连续点也可能不是孤立点（例如一条线）。注注2：如果多元函数在某个集合上有定义，并且该集合：如果多元函数在某个集合上有定义，并且该集合中的每个点都是函数的连续点，则称这个函数中的每个点都是函数的连续点，则称这个函数在该集合在该集合上是连续的上是连续的（尽管在定义域外可能有不连续点）。（尽管在定义域外可能有不连续点）。（2）连续函数的某些性质）连续函数的某些性质（i）对四则运算的封闭性）对四则运算的封闭性-初等函数的连续性。初等函数的连续性。【例【例6-9】求】求（ii）有界闭集上的多元连续函数具有：最值性；）有界闭集上的多元连续函数具有：最值性；一致连续性。一致连续性。（iii）在连通集（区域）上的连续函数具有介值性。）在连通集（区域）上的连续函数具有介值性。注注：（：（ii）的证明，涉及到有界闭集的紧性）的证明，涉及到有界闭集的紧性-既满足既满足有限覆盖性质（每个开覆盖都有有限子覆盖）。有限覆盖性质（每个开覆盖都有有限子覆盖）。（iii）的证明，涉及到连续映射保持连通性，以及）的证明，涉及到连续映射保持连通性，以及实数子集连通的充要条件是该子集是一个区间。实数子集连通的充要条件是该子集是一个区间。注：考虑函数的连续性以及定义域的区域。注：考虑函数的连续性以及定义域的区域。复习题复习题6-1（1）讨论）讨论在在 时是否存在极限？若存在，其极限时是否存在极限？若存在，其极限与与k的取值是否相关？若不存在，请说明理由。的取值是否相关？若不存在，请说明理由。习题习题6.1-6.假设二元函数关于一个变量连续，关于另一个变量假设二元函数关于一个变量连续，关于另一个变量满足李普希斯条件。证明该函数是连续的。满足李普希斯条件。证明该函数是连续的。讨论：如果二元函数关于每个单个变量是连续函数，讨论：如果二元函数关于每个单个变量是连续函数，是否可以认为这个函数是连续的二元函数？是否可以认为这个函数是连续的二元函数？6.2 偏导数与高阶偏导数偏导数与高阶偏导数1.1.偏导数偏导数2.2.高阶偏导数高阶偏导数第六章第二、三节作业题第六章第二、三节作业题第二节：第二节：1;2（2,4,6）；）；3（2）；）；4；5；6；7;9（2，4）；）；10；12.第三节：第三节：1；2（3,5,6）；）；4；5（2）；）；6；8；11.（2）偏导数的几何意义）偏导数的几何意义（3）偏导数计算方法）偏导数计算方法-将将其它变量看做参数其它变量看做参数即可即可【例【例6-10】设】设 z=ln(x+lny)，求，求【例【例6-11】设】设 求求【例【例6-12】设】设 验证验证【例【例6-13】求】求 的偏导数的偏导数.【例【例6-14】设一金属平板在点】设一金属平板在点(x,y)处的温度由处的温度由 确定，其中确定，其中T的单位是的单位是，x,y的单位是的单位是m，求，求T在点在点(2,1)处沿处沿x方向和方向和y方向的变化率方向的变化率.2.高阶偏导高阶偏导-混合偏导混合偏导（1）高阶偏导高阶偏导、二阶混合偏导二阶混合偏导、高阶混合偏导高阶混合偏导。（2）混合偏导与求导顺序无关的问题（证明略）混合偏导与求导顺序无关的问题（证明略）例：例：成立的条件是成立的条件是相关的各阶偏导函数都连续相关的各阶偏导函数都连续。注意记法中的顺序关系：注意记法中的顺序关系：【例【例6-15】求函数】求函数 z=xsin(x+y)+ycos(x+y)的二阶混合的二阶混合偏导数偏导数【例【例6-16】设函数】设函数求求6.36.3全微分与高阶全微分全微分与高阶全微分1.1.一阶全微分概念一阶全微分概念2.2.一阶全微分的几何意义一阶全微分的几何意义3.3.连续、可偏导、可微之间的关系连续、可偏导、可微之间的关系4.4.计算与应用计算与应用5.5.高阶全微分高阶全微分；由由不难看出，这里的全微分是一个线性函数。但是它在不难看出，这里的全微分是一个线性函数。但是它在一个局部区域，与二元函数一个局部区域，与二元函数 十分接近。令十分接近。令显然这是一个平面方程。经过曲面上的点显然这是一个平面方程。经过曲面上的点换句话说，如果我们用全微分代替原来函数的全增换句话说，如果我们用全微分代替原来函数的全增量量 ，就是在以一个平面代替原来的曲面。而这个，就是在以一个平面代替原来的曲面。而这个平面与曲面交于点平面与曲面交于点 这个观察，使得我们可以比较清楚地看到全微分这个观察，使得我们可以比较清楚地看到全微分的几何含义。的几何含义。下面先将主要的关系陈列出来，再具体讨论。下面先将主要的关系陈列出来，再具体讨论。多元函数相比于一元函数，情况要复杂一些。多元函数相比于一元函数，情况要复杂一些。3.连续、可偏导、可微之间的关系连续、可偏导、可微之间的关系问题：这个切平面在什么条件下能够存在？问题：这个切平面在什么条件下能够存在？如果存在，怎么求？如果存在，怎么求？(参见参见6.8.2)2.全微分的几何意义全微分的几何意义-贴近曲面的平面（图贴近曲面的平面（图6-5）（1）过点）过点 ，法向量为，法向量为 的平面。的平面。（2）切平面切平面概念概念（合理的要求是：曲面上曲线的切线在其切平面上）。（合理的要求是：曲面上曲线的切线在其切平面上）。注：前面讨论，已知这个平面就是用全微分代替全注：前面讨论，已知这个平面就是用全微分代替全增量所得到的那个平面。增量所得到的那个平面。注：能否认为上述平面就是曲面的切平面呢？注：能否认为上述平面就是曲面的切平面呢？（3+）函数连续）函数连续+可偏导，不保证函数可微；可偏导，不保证函数可微；（4）偏导函数连续，则函数可微（逆命题不成立）。）偏导函数连续，则函数可微（逆命题不成立）。；（1）连续不一定可偏导（与一元函数相似之处）；）连续不一定可偏导（与一元函数相似之处）；（2）可偏导不一定连续（与一元函数不同）；）可偏导不一定连续（与一元函数不同）；（3）可微必连续、可偏导，并且全微分必为）可微必连续、可偏导，并且全微分必为说明：（说明：（i）关于（）关于（1）的例：）的例：连续，连续，但关于但关于y,在点（在点（0,0）处不可偏导。）处不可偏导。（ii）关于结论（）关于结论（2）的例：考虑函数）的例：考虑函数该函数在（该函数在（0，0）处的两个偏导数都存在，但在该点）处的两个偏导数都存在，但在该点不连续。不连续。也是关于两个自变量单独分别连续的例子也是关于两个自变量单独分别连续的例子。分别考虑二维点沿着分别考虑二维点沿着x=y和和 趋近于（趋近于（0，0）时的极限，可知函数在该点不连续。时的极限，可知函数在该点不连续。二元函数由二维（平面）区域的取值所确定。而两二元函数由二维（平面）区域的取值所确定。而两个偏导数的存在仅仅由函数在与坐标轴平行的两条直个偏导数的存在仅仅由函数在与坐标轴平行的两条直线上的取值情况所决定，无法决定函数的整体形态。线上的取值情况所决定，无法决定函数的整体形态。（iii）结论（）结论（3）-可微的必要条件可微的必要条件-的证明（的证明（定理定理6-5）。注意：如记）。注意：如记（iii+）函数连续，且可偏导，但是不可微的例子。）函数连续，且可偏导，但是不可微的例子。则则【例【例6-18】证明函数】证明函数在在O(0,0)处存在偏导数，但却不可微处存在偏导数，但却不可微.简述：注意到简述：注意到此外，在（此外，在（0,0）点处的两个偏导数都是）点处的两个偏导数都是0，于是，于是；显然，它没有确定的极限，当然也不能以显然，它没有确定的极限，当然也不能以0为极限。为极限。（iv）可微的充分条件）可微的充分条件-定理定理6-6的证明的证明注：证明的关键点在于，由偏导函数的连续性，当注：证明的关键点在于，由偏导函数的连续性，当时，时，所以所以 都是都是 的高阶无穷小。的高阶无穷小。（iv+）可微推不出来偏导连续，考虑函数）可微推不出来偏导连续，考虑函数因为因为；。所以所以它显然是它显然是时，关于时，关于 的高阶的高阶无穷小。无穷小。但是但是也显然在（也显然在（0,0）点不连续。）点不连续。4.全微分的计算与应用全微分的计算与应用（1）例题）例题注：关于四则运算的全微分计算公式，和一元函数注：关于四则运算的全微分计算公式，和一元函数微分计算公式在形式上完全一样，可自行验证。微分计算公式在形式上完全一样，可自行验证。【例【例6-19】计算】计算 在点在点(2,1)处的全微分处的全微分.【例【例6-20】计算函数】计算函数 的全微分的全微分.下面本质上是求全微分函数（不仅是某点处的微分）：下面本质上是求全微分函数（不仅是某点处的微分）：【例【例6-21】求下列函数的全微分：】求下列函数的全微分：（2）微分中值公式与增量公式）微分中值公式与增量公式（i）微分中值公式微分中值公式只要函数可偏导（有偏导函数），则只要函数可偏导（有偏导函数），则其中其中 。注：这个公式并非意味着函数可微。注：这个公式并非意味着函数可微。（ii）增量公式增量公式当函数的偏导函数连续的时候，便有当函数的偏导函数连续的时候，便有这提供了近似计算的方法。这提供了近似计算的方法。（iii）近似计算与误差估计）近似计算与误差估计【例【例6-22】求】求 的近似值的近似值.解：考虑函数解：考虑函数 ，取定点为（，取定点为（1,2,3），），然后代入微分公式。，然后代入微分公式。【例【例6-23】利用单摆摆动测定重力加速度】利用单摆摆动测定重力加速度g的公式是的公式是 现测得单摆摆长现测得单摆摆长l与振动周期与振动周期T分别为分别为l=1000.1cm,T=20.004s，问由于测定，问由于测定l与与T的误差而的误差而引起引起g的绝对误差和相对误差各为多少？的绝对误差和相对误差各为多少？给出给出 的绝对误差估计的绝对误差估计 ，一般可以用全微分。，一般可以用全微分。这里可以更宽松些，令这里可以更宽松些，令，则，则可得绝对误差估计。其相对误差估计为可得绝对误差估计。其相对误差估计为 。5.二阶与高阶全微分二阶与高阶全微分如果偏导数还可微，则有如果偏导数还可微，则有进一步，可以归纳定义高阶微分：进一步，可以归纳定义高阶微分：从二阶全微分公式不难看出更高阶的全微分表示从二阶全微分公式不难看出更高阶的全微分表示显然会比较繁复。显然会比较繁复。而且，显然多元函数的研究，将会和矩阵理论密切而且，显然多元函数的研究，将会和矩阵理论密切关联。因为矩阵，其实就是某种意义上的关联。因为矩阵，其实就是某种意义上的“高维高维”数。数。【例【例6-24】设】设 求求（自行计算）。（自行计算）。6.4 多元复合函数与隐函数的微分法多元复合函数与隐函数的微分法1.1.链式法则链式法则2.2.全微分形式不变性全微分形式不变性3.3.隐函数存在定理的与隐函数求导法则隐函数存在定理的与隐函数求导法则第六章第四、五节作业题第六章第四、五节作业题第四节：第四节：1(1,4);2(1);3;4(1,4);5;6(1,3);7(2);8;9(1)第五节：第五节：1(2，3);2;3(2);4.1 多元复合函数求导的链式法则多元复合函数求导的链式法则多元复合函数情况复杂，基本类型大体可有四类。多元复合函数情况复杂，基本类型大体可有四类。下面先将这几类情况做一简介。仅以二元函数为例，下面先将这几类情况做一简介。仅以二元函数为例，三元函数或一般三元函数或一般n元函数可以类推。元函数可以类推。（1）（）（多套多型多套多型）：设）：设于是复合函数为：于是复合函数为：（1）。）。（2）（）（一套多型一套多型）：设）：设复合为复合为（2）。）。（3）（）（多套一型多套一型）设）设复合函数为复合函数为（4）（）（偏复合偏复合-或或部分复合型部分复合型）复合函数为复合函数为（3）.（4）.下面将证明下面将证明“多套多型多套多型”的复合求导公式，给出其它的复合求导公式，给出其它计算公式。并特别说明所谓计算公式。并特别说明所谓“偏复合型偏复合型”函数求导公函数求导公式中的符号约定。式中的符号约定。设有函数设有函数假设所涉及的函数都是可微的。假设所涉及的函数都是可微的。（1+）多套多型复合函数求导公式（矩阵表达）多套多型复合函数求导公式（矩阵表达）仅说明第一个分量等式的证明关键。记仅说明第一个分量等式的证明关键。记并注意到在每个点处并注意到在每个点处都是存在的。因此都是存在的。因此可知可知再利用全增量公式，便可得所求结果。再利用全增量公式，便可得所求结果。【例【例6-25】（多套多型）】（多套多型）的偏导数的偏导数.求函数求函数 尽管有了公式。但是遇到具体问题，还需要分析函尽管有了公式。但是遇到具体问题，还需要分析函数是如何复合的。数是如何复合的。【例【例6-28】设】设 其中其中f(u)为可导函数，为可导函数，求求（2+）“一套多型一套多型”-（2）式的求导公式）式的求导公式这种情况与一元复合函数情况基本相同。但要注意这种情况与一元复合函数情况基本相同。但要注意这里的符号表示（全导符号）。这里的符号表示（全导符号）。（3+）多套一型）多套一型-（3）式的求导公式（全导数）式的求导公式（全导数）【例【例6-27】设】设 ，而，而 ，求全导数，求全导数（4+）偏复合型）偏复合型-（4）式的求导公式）式的求导公式首先对（首先对（4）式的含义做一些说明。）式的含义做一些说明。只是一个二元函数，但是只是一个二元函数，但是在这里却是被看在这里却是被看做一个三元函数。所以如下符号做一个三元函数。所以如下符号表示仅对表示仅对 中出现的中出现的x求导，将求导，将u看做常数。看做常数。换句话说，这里的三个变量，换句话说，这里的三个变量，在函数表达式在函数表达式 中，是被看做相互独立无关的。中，是被看做相互独立无关的。【例【例6-26】设】设求求而而 所表示的，则是对所表示的，则是对中所出现的所有中所出现的所有x 求导。这里没有求导。这里没有 ，仅仅是将函数，仅仅是将函数中出现的中出现的y 看做常数。根据这样的约定，可得（看做常数。根据这样的约定，可得（4）式的求导公式：式的求导公式：对于有更多变元的偏复合型函数的求导公式，可类对于有更多变元的偏复合型函数的求导公式，可类似得到。似得到。【例【例6-29】设】设求求（v）复合函数的高阶导数）复合函数的高阶导数 从计算角度讲，求具体函数高阶导已没有困难。无从计算角度讲，求具体函数高阶导已没有困难。无非是继续利用前面的各种计算公式。非是继续利用前面的各种计算公式。但是在做一般讨论但是在做一般讨论-即表述抽象函数高阶导数的公式即表述抽象函数高阶导数的公式时时-其表达式还是会比较复杂。因此有必要细心辨析。其表达式还是会比较复杂。因此有必要细心辨析。并且为了简化表式，有时也会引入一些新的符号。并且为了简化表式，有时也会引入一些新的符号。【例【例6-30】设】设 具有二阶连续偏导数，求具有二阶连续偏导数，求2 全微分形式不变性全微分形式不变性 与一元函数的微分形式不变性一样，多元函数的一与一元函数的微分形式不变性一样，多元函数的一阶全微分形式无论是由中间变量增量表示，还是由初阶全微分形式无论是由中间变量增量表示，还是由初始变量增量的表示，它们均可以由形式等式相互转化。始变量增量的表示，它们均可以由形式等式相互转化。例如对于（例如对于（1）式，可验证其全微分有如下关系：）式，可验证其全微分有如下关系：这个关系，便称为这个关系，便称为一阶全微分形式不变性一阶全微分形式不变性。利用这个关系。可以简化某些偏导数计算过程。利用这个关系。可以简化某些偏导数计算过程。【例【例6-32】设】设 求求注：设注：设，利用，利用；以及以及 ，便可同时求得两个偏导数。，便可同时求得两个偏导数。注：显然对于高阶微分，不具有类似的形式不变形。注：显然对于高阶微分，不具有类似的形式不变形。【例【例6-31】设】设 其中其中 均有二均有二阶导数，证明阶导数，证明3.隐函数存在定理及其求导法则隐函数存在定理及其求导法则 隐函数有多种表示形式，有一些显得挺复杂。并且隐函数有多种表示形式，有一些显得挺复杂。并且在判断某些情况下是否存在隐函数关系，也不是那么在判断某些情况下是否存在隐函数关系，也不是那么显然。这一节主要讨论两种情况显然。这一节主要讨论两种情况：（1）由一个方程表示的多元函数关系；）由一个方程表示的多元函数关系；（2）由一组方程表示的多元（向量值）函数（分两）由一组方程表示的多元（向量值）函数（分两种情况种情况-二维向量值与一般二维向量值与一般m维向量值情况）。维向量值情况）。对于这两种情况，证明都比较繁琐、复杂，所以我们对于这两种情况，证明都比较繁琐、复杂，所以我们都不给出证明。但将从直观角度解释其结论。都不给出证明。但将从直观角度解释其结论。（1+）由方程确定隐函数的条件）由方程确定隐函数的条件 下面讨论下面讨论定理定理6-10（隐函数存在定理（隐函数存在定理1），设有方程），设有方程（1）引入向量记号引入向量记号，则上述方程，则上述方程也可以表示为：也可以表示为：。于是问题在于是否存在某个函数关系于是问题在于是否存在某个函数关系使得使得。一般来说，对这个问题的讨论，主要是限制在局一般来说，对这个问题的讨论，主要是限制在局部情况。假设有一点部情况。假设有一点 ，使得，使得其中其中，所要探讨的问题就是：，所要探讨的问题就是：是否存在是否存在 的一个邻域，在这个邻域内方程的一个邻域，在这个邻域内方程（1）确定里了）确定里了 与与 之间一个函数关系。之间一个函数关系。下面从代数和几何直观这两个角度解释这个问题。下面从代数和几何直观这两个角度解释这个问题。（i）代数解释）代数解释-在某个区域内，给定一点在某个区域内，给定一点代入方程（代入方程（1），如果总可以求得唯一的一个），如果总可以求得唯一的一个 的值，的值，比如说比如说 ，使得，使得 ，这便意味着在该，这便意味着在该区域内方程（区域内方程（1）确定了一个函数关系；反之，假设）确定了一个函数关系；反之，假设对于该区域内的某些对于该区域内的某些 ，由方程（，由方程（1）可以得到不少）可以得到不少于两个于两个 的值满足方程，的值满足方程，或者没有或者没有 的值可满足方程，的值可满足方程，就意味着在该区域，方程（就意味着在该区域，方程（1）不能表示）不能表示 与与 之之间的（隐）函数关系。间的（隐）函数关系。如果给定一个具体的方程，可以根据所给方程，如果给定一个具体的方程，可以根据所给方程，考虑具体解出方程。但是现在只是一个抽象方程，考虑具体解出方程。但是现在只是一个抽象方程，所以无法通过具体的计算获得结论。所以无法通过具体的计算获得结论。（ii）几何解释）几何解释-为了简明起见，我们假设方程（为了简明起见，我们假设方程（1）中只有两个变元中只有两个变元x 与与y。于是。于是 表示三维空间表示三维空间中的一个曲面。而方程（中的一个曲面。而方程（1），其实就是这个曲面在），其实就是这个曲面在xOy平面上的截痕，是一条曲线（假设曲面连续，并平面上的截痕，是一条曲线（假设曲面连续，并且切平面也是连续变化的，当然曲线也是连续的）。且切平面也是连续变化的，当然曲线也是连续的）。如果如果 ，则意味着，则意味着 在这条曲线（截在这条曲线（截痕）上。考虑曲线在该点某个邻域内的情况。假设痕）上。考虑曲线在该点某个邻域内的情况。假设曲线在该点处的切线不与曲线在该点处的切线不与y轴平行。注意到随着曲线轴平行。注意到随着曲线上点的变化，切线的斜率也是连续变化的，那么在该上点的变化，切线的斜率也是连续变化的，那么在该点附近，也不会出现与点附近，也不会出现与y轴平行的切线。于是该条曲轴平行的切线。于是该条曲线便可看作某个函数的图像。也就是确定了一个以线便可看作某个函数的图像。也就是确定了一个以x为自变量，为自变量，y为因变量的函数。为因变量的函数。那么怎么才能保证曲线（截痕）在点那么怎么才能保证曲线（截痕）在点 处的处的切线不与切线不与y轴平行呢？我们知道，截痕上的切线可以轴平行呢？我们知道，截痕上的切线可以由曲面的切平面与由曲面的切平面与xOy平面的截痕得到。所以，只要平面的截痕得到。所以，只要曲面在点曲面在点 处的切平面的法向量不与处的切平面的法向量不与y 轴垂直轴垂直即可以。即可以。而曲面在而曲面在 点处切平面的法向量是点处切平面的法向量是这个向量不与这个向量不与y轴垂直的充要条件是：轴垂直的充要条件是：由此我们便得到由此我们便得到“隐函数存在定理隐函数存在定理1”：假设函数：假设函数有连续偏导数，有连续偏导数，并且，并且则在则在 的某个邻域内，由方程（的某个邻域内，由方程（1）确定唯一）确定唯一连续并有连续偏导数的函数连续并有连续偏导数的函数 。注：以上的几何直观解释，并不是真正的证明。但注：以上的几何直观解释，并不是真正的证明。但是这个直观却是给出严格逻辑证明的基础。严格的是这个直观却是给出严格逻辑证明的基础。严格的逻辑语言（或者说代数）证明，主要用到具有连续逻辑语言（或者说代数）证明，主要用到具有连续导函数的函数性质的基本知识。但是对于高维情况导函数的函数性质的基本知识。但是对于高维情况（见后面的（见后面的隐函数存在定理隐函数存在定理2、3），还需要某些线），还需要某些线性代数知识。性代数知识。在上述条件下，不仅仅可以证明隐函数存在，还可在上述条件下，不仅仅可以证明隐函数存在，还可证明该隐函数具有连续偏导数。这里不再详述，仅证明该隐函数具有连续偏导数。这里不再详述，仅给出偏导数的计算公式。其实这已经不是新的内容给出偏导数的计算公式。其实这已经不是新的内容了，因为我们已经知道隐函数求导的法则。记了，因为我们已经知道隐函数求导的法则。记就是由方程（就是由方程（1）所确定的隐函数关系。代入（）所确定的隐函数关系。代入（1）即即附：在某本经济学教材中有如下一个推导附：在某本经济学教材中有如下一个推导显然与上面的公式（显然与上面的公式（2）相差一个负号。）相差一个负号。讨论一下，问题在哪里？讨论一下，问题在哪里？（2）有了相关法则，计算基本是程序化的。有了相关法则，计算基本是程序化的。两边分别对两边分别对 求导，得求导，得【例【例6-33】验证方程】验证方程 在点在点(0,0)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数的隐的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数的隐函数函数y=f(x)，并求此函数的一阶导数在，并求此函数的一阶导数在x=0的值的值.【例【例6-34】设】设 z=f(x,y)是由方程是由方程 所所确确定的隐函数，试求定的隐函数，试求【例【例6-35】设】设 z=z(x,y)是由方程是由方程 所确定的隐函数，其中所确定的隐函数，其中F有连续的偏导数，且有连续的偏导数，且aF1+bF20，证明，证明（2+）由方程组确定的隐函数（映射）由方程组确定的隐函数（映射）（i）问题的提出与表示）问题的提出与表示考虑考虑m个线性函数，每个函数有个线性函数，每个函数有m+n个自变量：个自变量：其中其中 便是那便是那m+n个自变量。记个自变量。记（3）用矩阵表示上述函数组，它实际是一个向量值函数，有用矩阵表示上述函数组，它实际是一个向量值函数，有（4）令令，便得齐次方程组，便得齐次方程组如果如果 矩阵矩阵 可逆，也就是其行列式不等于可逆，也就是其行列式不等于0，（5）则有则有即每个即每个 可以表示成可以表示成n元函数，自变量是元函数，自变量是 。引入符号表示引入符号表示称为函数称为函数关于自变量关于自变量的的雅各比行列式雅各比行列式。即即（6）（7）简单而直接的计算可知线性函数组（简单而直接的计算可知线性函数组（3）的雅各比行）的雅各比行列式列式=前面的讨论可以看出，如果前面的讨论可以看出，如果都是线性函数，只要雅各比行列式都是线性函数，只要雅各比行列式则由下面方程组则由下面方程组（8）可以确定一组连续可偏导的函数，如（可以确定一组连续可偏导的函数，如（7）所示。）所示。这个结论对于不是线性函数的情况，也基本成立。这个结论对于不是线性函数的情况，也基本成立。但只能限制在局部。但只能限制在局部。（9）如果点如果点 是方程（是方程（8）的解，）的解，并且雅各比行列式在该点处不为并且雅各比行列式在该点处不为0，则在该点的某领，则在该点的某领域内，由方程（域内，由方程（8）可确定一组连续可导的函数）可确定一组连续可导的函数（iii）隐函数（隐映射）存在定理（多维映射）隐函数（隐映射）存在定理（多维映射）下面讨论其偏导数的求导法则。下面讨论其偏导数的求导法则。由上面结论，在隐函数存在的区域内便有如下恒等式由上面结论，在隐函数存在的区域内便有如下恒等式对（对（9）式两边求关于）式两边求关于 的偏导，可得的偏导，可得（10）利用克莱姆法则，解方程（利用克莱姆法则，解方程（10）可得）可得 假设假设m=n=2,记记；。设函数。设函数有连续偏导，且有连续偏导，且这便是这便是“隐函数存在定理隐函数存在定理3”的结论（比教材更完整）。的结论（比教材更完整）。注：前面关于隐函数存在的讨论不是证明，只是根据线性函注：前面关于隐函数存在的讨论不是证明，只是根据线性函数的情况，推想的结果。但是这个推想结论是正确的。正式数的情况，推想的结果。但是这个推想结论是正确的。正式的证明相当繁复，这里不介绍了。但其证明思想，确实和这的证明相当繁复，这里不介绍了。但其证明思想，确实和这里的推想有密切关系。里的推想有密切关系。并且并且若有某点若有某点 使下列方程组成立使下列方程组成立则在则在 的某个邻域内，可确定两个连续，的某个邻域内，可确定两个连续，可偏导的函数可偏导的函数 以上结果，就是教材中的以上结果，就是教材中的“隐函数存在定理隐函数存在定理2”，即，即定理定理6-11.它显然只是它显然只是定理定理6-12，即，即隐函数存在定理隐函数存在定理3的一个特例。的一个特例。尽管看上去，定理的形式似乎比较复杂，但是在尽管看上去，定理的形式似乎比较复杂，但是在具体计算的时候，却并非需要那么繁琐。除非要判具体计算的时候，却并非需要那么繁琐。除非要判断某个定点附近是否存在隐函数，通常并不需要用断某个定点附近是否存在隐函数，通常并不需要用【例【例6-36】设】设 求求雅各比行列式进行判断。求隐函数的偏导数，实际雅各比行列式进行判断。求隐函数的偏导数，实际就是利用链式法则，按照隐函数求导的方式计算。就是利用链式法则，按照隐函数求导的方式计算。多数情况下也不必计算所有那些公式中的雅各比行多数情况下也不必计算所有那些公式中的雅各比行列式，往往是在计算时自然得到结果。这就像解线列式，往往是在计算时自然得到结果。这就像解线性方程的时候，我们很少直接套用克莱姆法则。性方程的时候，我们很少直接套用克莱姆法则。计算的时候，主要是需要细心。计算的时候，主要是需要细心。注：这里可用两种程序计算。除了利用链式法则，注：这里可用两种程序计算。除了利用链式法则，也可以利用求全微分的形式得到所需方程组，求也可以利用求全微分的形式得到所需方程组，求得偏导数。这是根据一阶全微分的形式不变性（得偏导数。这是根据一阶全微分的形式不变性（参见前面）。参见前面）。第五节：方向导数与梯度第五节：方向导数与梯度1.方向导数；方向导数；2.多元函数的梯度多元函数的梯度1.方向导数与梯度方向导数与梯度 问题的提出：设二元函数问题的提出：设二元函数 在点在点 处处可微，显然函数关于两个自变量的偏导数都是存在可微，显然函数关于两个自变量的偏导数都是存在的。但是，我们知道，偏导数仅仅是沿着与坐标轴的。但是，我们知道，偏导数仅仅是沿着与坐标轴平行的方向，考虑函数在定义域中一条过定点的直平行的方向，考虑函数在定义域中一条过定点的直线上的变化率。线上的变化率。然而，函数是在平面上定义的。而从定点然而，函数是在平面上定义的。而从定点 出发，其四面八方有无穷多个方向。从任何一个方出发，其四面八方有无穷多个方向。从任何一个方向引一条直线（路径），我们是否也可以考察函数向引一条直线（路径），我们是否也可以考察函数的变化率呢？对于现实来说，这样的问题也是很有的变化率呢？对于现实来说，这样的问题也是很有意义的。意义的。考虑这个问题，就产生了方向导数的概念。考虑这个问题，就产生了方向导数的概念。（1）方向导数的定义与记法）方向导数的定义与记法设有设有射线射线 从定点从定点出发，其方向向量为出发，其方向向量为则该射线的参数表示为则该射线的参数表示为显然这里的显然这里的 是点是点 到点到点 的距离。的距离。（i）方向导数方向导数的定义的定义-注意两个极限定义式的表示，注意两个极限定义式的表示，后者有时不够明确，但是一般无影响。后者有时不够明确，但是一般无影响。（ii）符号记法）符号记法（iii）与偏导数的区别）与偏导数的区别-注意方向导数的定义，不是简注意方向导数的定义，不是简单差商的极限。所做的商，其分母是距离。比如沿着单差商的极限。所做的商，其分母是距离。比如沿着横轴平行方向，从定点左侧所求的方向导数，与偏导横轴平行方向，从定点左侧所求的方向导数，与偏导数会相差一个符号。数会相差一个符号。提示：考虑在一元函数定义方向导数，会出现什么提示：考虑在一元函数定义方向导数，会出现什么情况。情况。方向导数存在但偏导数不存在的例子。考虑函数方向导数存在但偏导数不存在的例子。考虑函数在（在（0,0）点处的情况。）点处的情况。（iv）可微函数方向导数的存在性与计算公式。）可微函数方向导数的存在性与计算公式。定理定理6-13（v）方向导数在高维的推广以及计算公式。）方向导数在高维的推广以及计算公式。【例【例6-37】求函数】求函数 在点在点P(0,1)处沿着从点处沿着从点P(0,1)到点到点Q(-1,2)的方向的方向导数的方向的