第2章机电控制系统的数学模型1.ppt

第2章 机电控制系统的数学模型第第2章章 机电控制系统的数学模型机电控制系统的数学模型2.1概述概述 2.2控制系统微分方程与状态空间描述控制系统微分方程与状态空间描述2.3控制系统传递函数与频率特性控制系统传递函数与频率特性2.4离散控制系统的数学模型离散控制系统的数学模型2.5数学模型的数学模型的MATLAB描述描述第2章 机电控制系统的数学模型2.1 概述概述 数数学学模模型型：系系统统输输入入与与输输出出之之间间的的因因果果关关系系，即即描描述述系系统统运运动规律的数学表达式。动规律的数学表达式。为了设计一个机电控制系统，首先需要建立它的数学模型，也就是建模建模。一旦机电系统的数学模型建立起来，就可以采用各种分析方法和计算机工具对系统进行分析和综合。数学模型的常见形式：数学模型的常见形式：1.1.输入输入输入输入-输出描述（外部描述）输出描述（外部描述）输出描述（外部描述）输出描述（外部描述）把输出量与输入量之间的关系用数学方式表达出来。如，微分方程、传递函数、差分方程等等。系统f(xi)输入xi 输出xo 第2章 机电控制系统的数学模型例：如图电路所示，其微分方程组为例：如图电路所示，其微分方程组为例：如图电路所示，其微分方程组为例：如图电路所示，其微分方程组为 G(s)Xi(s)Xo(s)第2章 机电控制系统的数学模型2.2.状态变量描述（内部描述）状态变量描述（内部描述）状态变量描述（内部描述）状态变量描述（内部描述）不仅可以描述系统的输入、输出之间的关系，而且还可以描述系统的内部特性。特别适用于多输入、多输出系统，也适用于时变系统、非线性系统和随机控制系统。输入输入输入输入-输出的微分方程为输出的微分方程为输出的微分方程为输出的微分方程为输入输入输入输入-输出的传递函数为输出的传递函数为输出的传递函数为输出的传递函数为第2章 机电控制系统的数学模型3.3.方框图模型方框图模型方框图模型方框图模型同一控制系统的数学模型可以表示为不同的形式，需要根据不同情况对这些模型进行取舍，以利于对控制系统进行有效分析与设计。第2章 机电控制系统的数学模型传递函数方框图模型传递函数方框图模型传递函数方框图模型传递函数方框图模型状态结构方框图模型状态结构方框图模型状态结构方框图模型状态结构方框图模型第2章 机电控制系统的数学模型2.2 控制系统的微分方程与状态空间描述控制系统的微分方程与状态空间描述式中，式中，式中，式中，x xi i（t t）为系统的输入量；）为系统的输入量；）为系统的输入量；）为系统的输入量；x xo o（t t）为系统的输出量；）为系统的输出量；）为系统的输出量；）为系统的输出量；a a0 0、a a1 1、a an n，b b0 0、b b1 1、b bmm取取取取决决决决于于于于系系系系统统统统结结结结构构构构、参参参参数的系数。数的系数。数的系数。数的系数。2.2.1 机电控制系统的微分方程机电控制系统的微分方程 机机机机电电电电控控控控制制制制系系系系统统统统的的的的输输输输入入入入与与与与输输输输出出出出之之之之间间间间的的的的关关关关系系系系一一一一般般般般可可可可以以以以采采采采用用用用微微微微分分分分方方方方程程程程或或或或微微微微分分分分方方方方程程程程组组组组来来来来描描描描述述述述。线线线线性性性性非非非非齐齐齐齐次次次次微微微微分分分分方方方方程程程程的的的的一一一一般般般般形形形形式可以写成式可以写成式可以写成式可以写成非齐次方程的一般解（系统的全响应）的形式第2章 机电控制系统的数学模型当当当当系系系系统统统统输输输输入入入入为为为为零零零零时时时时，将将将将处处处处于于于于自自自自由由由由运运运运动动动动状状状状态态态态（即即即即零零零零输输输输入入入入状状状状态态态态），则则则则数学模型为齐次微分方程，即数学模型为齐次微分方程，即数学模型为齐次微分方程，即数学模型为齐次微分方程，即系统输出解（响应）稳态分量（系统输出解（响应）稳态分量（系统输出解（响应）稳态分量（系统输出解（响应）稳态分量（x xopop ）瞬态分量（）瞬态分量（）瞬态分量（）瞬态分量（x xoh oh）稳稳稳稳态态态态分分分分量量量量：由由由由控控控控制制制制输输输输入入入入（激激激激励励励励）引引引引起起起起的的的的强强强强迫迫迫迫运运运运动动动动解解解解，取取取取决决决决于于于于系系系系统的输入（控制）量；统的输入（控制）量；统的输入（控制）量；统的输入（控制）量；瞬瞬瞬瞬态态态态分分分分量量量量：齐齐齐齐次次次次解解解解（通通通通解解解解）或或或或自自自自由由由由运运运运动动动动解解解解（零零零零输输输输入入入入解解解解），取取取取决决决决于于于于系系系系统统统统结结结结构构构构或或或或极极极极点点点点(特特特特征征征征根根根根)。当当当当系系系系统统统统稳稳稳稳定定定定时时时时，t t，x xohoh（t t）0 0 0 0。自自自自由由由由运运运运动动动动解解解解即即即即系系系系统统统统的的的的自自自自由由由由运运运运动动动动模模模模态态态态（输输输输出出出出响响响响应应应应）描描描描述述述述了了了了系系系系统统统统的的的的固有特性（如稳定性等）。固有特性（如稳定性等）。固有特性（如稳定性等）。固有特性（如稳定性等）。系统的特征方程为系统的特征方程为系统的特征方程为系统的特征方程为方程的根即系统的特征根（极点）取决于系统的结构和参数。方程的根即系统的特征根（极点）取决于系统的结构和参数。方程的根即系统的特征根（极点）取决于系统的结构和参数。方程的根即系统的特征根（极点）取决于系统的结构和参数。第2章 机电控制系统的数学模型系系系系统统统统在在在在某某某某一一一一输输输输入入入入信信信信号号号号的的的的作作作作用用用用下下下下，系系系系统统统统输输输输出出出出量量量量从从从从初初初初始始始始状状状状态态态态到到到到稳稳稳稳定定定定状状状状态态态态的的的的过过过过渡渡渡渡过过过过程程程程称称称称为为为为系系系系统统统统瞬瞬瞬瞬态态态态响响响响应应应应；稳稳稳稳态态态态响响响响应应应应是是是是指指指指t t t t时系统的输出状态，时系统的输出状态，时系统的输出状态，时系统的输出状态，表征系统输出量最终复现输入量的程度。表征系统输出量最终复现输入量的程度。表征系统输出量最终复现输入量的程度。表征系统输出量最终复现输入量的程度。例：图所示高通滤波电路，求：1）系统零输入时的自由运动方程及其零输入响应；2）输入信号为正弦交流电压时的正弦输入响应。解：系统的微分方程为当系统的输入为零：ui(t)0 时，其系统的自由运动方程（齐次微分方程）为其零输入响应（自由运动模态）零输入响应（自由运动模态）为式中，A为积分常数与系统的初始条件有关。第2章 机电控制系统的数学模型当系统的输入为正弦交流电压：ui(t)sint 时，拉氏变换为当系统的输入信号为正弦交流电压时，由系统微分方程两边取拉氏变换得输出响应的拉氏变换为式中，a、b、c为Uo(s)的留数，待定系数。第2章 机电控制系统的数学模型系统的正弦输入时间响应为由留数定理求得第2章 机电控制系统的数学模型代入待定系数得系统的正弦输入时间响应为将上式中第一项和第二项合并当时间t时，系统的稳态响应为第2章 机电控制系统的数学模型2.2.2 控制系统的状态空间描述控制系统的状态空间描述 对一个线性定常系统，用高阶常微分方程或传递函数来描述，反映系统输出响应与输入的关系，也称为外部描述。一般只能处理单输人单输出系统，并且对存在于系统内部的中间变量是不能描述的。现代控制理论引入了状态和状态空间的概念，用由状态变量构成的一阶微分方程组来描述，揭示系统的内部特征，也称为内部描述。可以处理多输人多输出系统，而且还可以方便地处理初始条件。因此，作为根据现代控制理论对控制系统进行分析和综合的前提，必须首先建立控制系统在状态空间中的数学模型，即控制系统的状态空间描述。第2章 机电控制系统的数学模型1.例子例子通过下面两个例子说明引人状态空间分析方法建立数学模型的过程以及状态空间的一些基本概念。(1)R-L-C电网络例电网络例u为输入变量，y为输出变量，求它的数学模型1 1)用经典法建立高阶微分方程用经典法建立高阶微分方程用经典法建立高阶微分方程用经典法建立高阶微分方程根据基尔霍夫电路定律，有电压平衡方程第2章 机电控制系统的数学模型消去中间变量i，得系统的微分方程为在零初始条件下，用传递函数形式表示为2 2)用现代法建立一阶微分方程组用现代法建立一阶微分方程组用现代法建立一阶微分方程组用现代法建立一阶微分方程组第2章 机电控制系统的数学模型（2）机电系统例）机电系统例 图1-2为直流他励电动机的示意图。第2章 机电控制系统的数学模型根据电枢回路电压平衡方程，有根据电枢回路电压平衡方程，有根据力矩平衡方程，有根据力矩平衡方程，有第2章 机电控制系统的数学模型由电动机原理，有由电动机原理，有消去中间变量消去中间变量i，得，得在零初始条件下，相应的传递函数为在零初始条件下，相应的传递函数为第2章 机电控制系统的数学模型则式则式(1-5)改写为改写为写成矩阵方程写成矩阵方程建立一阶微分方程组建立一阶微分方程组第2章 机电控制系统的数学模型通过上面两个例子，可得如下几个概念：通过上面两个例子，可得如下几个概念：1)高阶微分方程通过选择适当的变量可变为一阶微分方程组。高阶微分方程通过选择适当的变量可变为一阶微分方程组。2)一一阶阶微微分分方方程程组组的的个个数数等等于于变变量量的的个个数数，即即等等于于高高阶阶微微分分方方程的阶数。程的阶数。3)变变量量的的选选择择不不是是唯唯一一的的，选选择择的的变变量量不不同同，得得到到的的方方程程组组也也不同。不同。2.状态变量和状态矢量状态变量和状态矢量 状状态态是是指指系系统统的的运运动动状状态态。状状态态变变量量是是完完全全表表征征系系统统运运动动状状态态的的且且个个数数最最少少的的一一组组变变量量。n阶阶微微分分方方程程描描述述的的系系统统有有n个个独独立立变变量量，当当这这n个个独独立立变变量量的的时时间间响响应应都都求求得得时时，系系统统的的运运动动状状态态也也就就被被揭揭示示无无遗遗了了。因因此此，n阶阶系系统统的的状状态态变变量量就就是是系系统统的的n个独立变量。状态变量选取说明如下：个独立变量。状态变量选取说明如下：1)同一个系统，状态变量的选取不是唯一的。同一个系统，状态变量的选取不是唯一的。2)状态变量相互独立的，其个数应等于微分方程的阶数。状态变量相互独立的，其个数应等于微分方程的阶数。3)状状态态变变量量在在初初始始时时刻刻t0的的值值，就就是是系系统统的的初初始始状状态态，即即系系统统的的n个独立初始条件。个独立初始条件。第2章 机电控制系统的数学模型则则x(t)被称为被称为状态矢量状态矢量状态矢量状态矢量。3.3.状态空间和状态空间描述状态空间和状态空间描述状态空间和状态空间描述状态空间和状态空间描述 (1)状态空间与状态轨迹状态空间与状态轨迹 以状态变量x1，x2，xn为坐标轴构成的，n维空间称为状态空间。状态空间中的每 一点都代表了状态变量的唯一的、特定的一组值。换言之，在某一时刻t1的状态矢量x(t1)在状态空间中是一个点，而初始时刻to的状态x(to)是状态空间的一个初始点。随着时间的推移，tto，x(t)将在状态空间中描绘出一条轨迹，称为状态轨迹。第2章 机电控制系统的数学模型 状状态态空空间间：所所有有n维维状状态态向向量量的的全全体体便便构构成成了了实实数数域域上上的的n维维状态空间。状态空间。状状态态轨轨迹迹：在在状状态态空空间间中中，时时间间t是是一一个个参参变变量量，某某一一时时间间t的的状状态态是是状状态态空空间间中中的的一一个个点点，而而一一段段时时间间下下状状态态的的集集合合称称为系统在这一时间段的状态轨迹，有时也称作相轨迹。为系统在这一时间段的状态轨迹，有时也称作相轨迹。（2）输入向量和输出向量）输入向量和输出向量 输入向量：输入向量：将系统的各个输入量看成一个列向量将系统的各个输入量看成一个列向量 。：输入量的个数：输入量的个数第2章 机电控制系统的数学模型 输出向量：输出向量：将系统的各个输出量看成一个列向量将系统的各个输出量看成一个列向量 。：输出量的个数：输出量的个数主意：系统的状态和系统的输出是两个不同的概念。主意：系统的状态和系统的输出是两个不同的概念。系统的输出通常有明确的物理含义，是可以测量的；系统的输出通常有明确的物理含义，是可以测量的；系统的状态不一定有物理含义，不一定可以测量；系统的状态不一定有物理含义，不一定可以测量；在在线线性性系系统统中中，输输出出是是系系统统状状态态变变量量中中某某一一个个或或某某几几个个的的线性组合。线性组合。第2章 机电控制系统的数学模型用用状状态态变变量量构构成成输输入入、输输出出与与状状态态之之间间的的关关系系方方程程组组即即为为状状态态空空间间描述。描述。记为记为（1）单输入）单输入-单输出线性定常系统单输出线性定常系统 状态空间描述的一般形式为状态空间描述的一般形式为第2章 机电控制系统的数学模型简洁地写成矩阵形式简洁地写成矩阵形式式中式中第2章 机电控制系统的数学模型前述例：前述例：式中式中第2章 机电控制系统的数学模型在在状状态态空空间间描描述述中中，上上述述的的式式(1-6)、式式(1-8)和和式式(1-10)为为状状态态方程，式方程，式(1-7)、式、式(1-9)和式和式(1-11)为输出方程。为输出方程。（2）多输入）多输入多输出系统多输出系统 设有r个输入，m个输出，此时状态空间描述为第2章 机电控制系统的数学模型写成矩阵形式为写成矩阵形式为式式中中,x和和A与与单单变变量量(单单输输入入-单单输输出出)系系统统相相同同，分分别别为为n维维状状态矢量和态矢量和nn系统矩阵；系统矩阵；第2章 机电控制系统的数学模型第2章 机电控制系统的数学模型同样，状态空间描述由式(1-12)状态方程和式(1-13)输出方程组成。传递函数和状态空间描述如图所示。从状态空间描述和系统框图都能清楚地说明，它们既表征了输人对于系统内部状态的因果关系，又反映了内部状态对于外部输出的影响，即完全表征系统的一切动力学特征，所以状态空间描述是对系统的一种完全的描述。第2章 机电控制系统的数学模型G(s)U(s)Y(s)状状 态态 方方 程程 输输 出出 方方 程程 传传递递函函数数只只能能描描述述系系统统外外部部的的输输入入输输出出关关系系，并并不不能能反反映映系系统内部状态的变化，我们称之为外部描述。统内部状态的变化，我们称之为外部描述。状状态态空空间间表表达达式式将将输输入入输输出出间间的的信信息息传传递递分分为为两两段段来来描描述述。第第一一段段是是输输入入引引起起系系统统内内部部状状态态发发生生变变化化，用用状状态态方方程程描描述述；第第二二段段是是系系统统内内部部的的状状态态变变化化引引起起系系统统输输出出的的变变化化，用用输输出出方方程程描描述述。由由此此可可见见，状状态态空空间间表表达达式式在在一一定定程程度度上上描描述述了了系统内部变量的变化，所以我们称之为内部描述。系统内部变量的变化，所以我们称之为内部描述。第2章 机电控制系统的数学模型例：求前述例例：求前述例1的另一状态方程。的另一状态方程。系统的微分方程为设状态变量：即系统的状态方程为：即系统的状态方程为：系统的输出方程为：系统的输出方程为：其矩阵方程为其矩阵方程为:式中，式中，第2章 机电控制系统的数学模型在在状状态态空空间间分分析析中中，常常用用状状态态结结构构图图来来反反映映系系统统各各状状态态变变量量之间的信息传递关系。之间的信息传递关系。4.4.状态结构图状态结构图状态结构图状态结构图和经典控制理论相类似，可以用框图表示系统信号的传递关系。单变量系统单变量系统第2章 机电控制系统的数学模型图中用单线箭头表示标量信号传递，用双线箭头表示矢量信号传递。从状态空间描述和系统框图都能清楚地说明，它们既表征了输人对于系统内部状态的因果关系，又反映了内部状态对于外部输出的影响，即完全表征系统的一切动力学特征，所以状态空间描述是对系统的一种完全的描述。多变量系统多变量系统第2章 机电控制系统的数学模型例例-1 一阶微分方程一阶微分方程例例-2二阶微分方程二阶微分方程第2章 机电控制系统的数学模型 例例-3 已知三阶单变量系统的状态空间描述为已知三阶单变量系统的状态空间描述为第2章 机电控制系统的数学模型第2章 机电控制系统的数学模型例例 试建立下图所示电路网络的状态方程和输出方程。试建立下图所示电路网络的状态方程和输出方程。第2章 机电控制系统的数学模型第2章 机电控制系统的数学模型5.传递函数矩阵传递函数矩阵例：系统如下图所示，输入为例：系统如下图所示，输入为 和和 ，输出为，输出为 。第2章 机电控制系统的数学模型解：列写回路的电压方程和节点的电流方程解：列写回路的电压方程和节点的电流方程选选取取 为为状状态态变变量量，输输出出 ，得得系系统统的的状状态态空空间间表表达式为达式为第2章 机电控制系统的数学模型设初始条件为零，对上式两端进行拉普拉斯变换，得设初始条件为零，对上式两端进行拉普拉斯变换，得消去消去 并整理得并整理得写成向量矩阵形式为写成向量矩阵形式为第2章 机电控制系统的数学模型其中其中 输入变量的输入变量的Laplace变换象函数变换象函数 输出变量的输出变量的Laplace变换象函数变换象函数 传递函数矩阵传递函数矩阵传递函数矩阵传递函数矩阵 维输入向量维输入向量 维输出向量维输出向量第2章 机电控制系统的数学模型则对应的系统的传递函数矩阵为则对应的系统的传递函数矩阵为多输入量多输出量的对象常用复线框来表示多输入量多输出量的对象常用复线框来表示第2章 机电控制系统的数学模型6.传递函数矩阵与状态空间表达式之间的关系传递函数矩阵与状态空间表达式之间的关系 第2章 机电控制系统的数学模型所以所以所以所以特征方程为特征方程为特征方程为特征方程为因为因为因为因为第2章 机电控制系统的数学模型 设系统的动态方程为设系统的动态方程为试求该系统的传递函数矩阵。试求该系统的传递函数矩阵。例例:第2章 机电控制系统的数学模型解解:已知已知故故第2章 机电控制系统的数学模型第2章 机电控制系统的数学模型设系统的状态方程为设系统的状态方程为试求系统的特征方程和特征值。试求系统的特征方程和特征值。例例:第2章 机电控制系统的数学模型系统的特征方程为系统的特征方程为解解:特特征征方方程程的的根根为为-1、-2和和-3。矩矩阵阵A的的特特征征值值也也为为-1、-2和和-3。两者是一样的。两者是一样的。第2章 机电控制系统的数学模型例：求下列系统的传递函数矩阵。例：求下列系统的传递函数矩阵。其中其中解：解：第2章 机电控制系统的数学模型第2章 机电控制系统的数学模型例：求下列系统的传递函数矩阵。例：求下列系统的传递函数矩阵。其中其中解：解：第2章 机电控制系统的数学模型第2章 机电控制系统的数学模型第2章 机电控制系统的数学模型2.3 2.3 机电控制系统的传递函数与频率特性机电控制系统的传递函数与频率特性机电控制系统的传递函数与频率特性机电控制系统的传递函数与频率特性2.3.1 2.3.1 传递函数的表示形式传递函数的表示形式传递函数的表示形式传递函数的表示形式1.1.1.1.基本模型基本模型基本模型基本模型与微分方程式的对应：与微分方程式的对应：式中，式中，式中，式中，a a0 0、a a1 1、a an n，b b0 0、b b1 1、b bmm取决于系统结构、取决于系统结构、取决于系统结构、取决于系统结构、参数的系数。参数的系数。参数的系数。参数的系数。第2章 机电控制系统的数学模型2.2.2.2.传递函数的零点、极点传递函数的零点、极点传递函数的零点、极点传递函数的零点、极点模型模型模型模型 为传递函数的零点为传递函数的零点 为传递函数的极点为传递函数的极点 为系统的传递系数为系统的传递系数或根轨迹增益系数或根轨迹增益系数极点是微分方程的特征根，因此，决定了所描述系统极点是微分方程的特征根，因此，决定了所描述系统极点是微分方程的特征根，因此，决定了所描述系统极点是微分方程的特征根，因此，决定了所描述系统自由运动的模态。自由运动的模态。自由运动的模态。自由运动的模态。系统的特征方程为系统的特征方程为系统的特征方程为系统的特征方程为特征根（极点）为特征根（极点）为特征根（极点）为特征根（极点）为第2章 机电控制系统的数学模型3.3.3.3.传递函数的时间常数（归一化）模型传递函数的时间常数（归一化）模型传递函数的时间常数（归一化）模型传递函数的时间常数（归一化）模型为传递函数的时间常数；为传递函数的时间常数；为传递函数的静态（稳态）放大系数或增益。为传递函数的静态（稳态）放大系数或增益。第2章 机电控制系统的数学模型静态（稳态）放大系数与传递（根轨迹增益）系数之间的关系为静态（稳态）放大系数与传递（根轨迹增益）系数之间的关系为2.3.2 2.3.2 闭环控制系统传递函数闭环控制系统传递函数闭环控制系统传递函数闭环控制系统传递函数 在在在在对对对对机机机机电电电电控控控控制制制制系系系系统统统统性性性性能能能能进进进进行行行行分分分分析析析析时时时时，需需需需要要要要建建建建立立立立开开开开环环环环极极极极点点点点、闭闭闭闭环极点以及增益等之间的关系。环极点以及增益等之间的关系。环极点以及增益等之间的关系。环极点以及增益等之间的关系。1.1.1.1.传递函数关系传递函数关系传递函数关系传递函数关系系统闭环传递函数为系统闭环传递函数为系统闭环传递函数为系统闭环传递函数为闭环系统的方框图第2章 机电控制系统的数学模型前向通道传递函数为前向通道传递函数为反馈通道传递函数为反馈通道传递函数为第2章 机电控制系统的数学模型第2章 机电控制系统的数学模型2.2.2.2.闭环特征函数闭环特征函数闭环特征函数闭环特征函数闭环特征函数闭环特征函数F F(s s)的特点：的特点：1)1)F F(s s)的零点为系统闭环极点，的零点为系统闭环极点，F F(s s)的极点是系统开环极点；的极点是系统开环极点；2)2)F F(s s)分子和分母的阶数相等，闭环极点和开环极点数相同；分子和分母的阶数相等，闭环极点和开环极点数相同；3)3)F F(s s)与开环传递函数与开环传递函数G Gk k(s s)相差一常数相差一常数“1”1”，即，即F F(s s)1 1 G Gk k(s s)第2章 机电控制系统的数学模型2.3.3 2.3.3 机电控制系统的频率特性机电控制系统的频率特性机电控制系统的频率特性机电控制系统的频率特性1.1.1.1.频率响应频率响应频率响应频率响应频率响应是控制系统在谐波（正弦）信号激励下的输出响应。频率响应是控制系统在谐波（正弦）信号激励下的输出响应。频率响应是控制系统在谐波（正弦）信号激励下的输出响应。频率响应是控制系统在谐波（正弦）信号激励下的输出响应。对于稳定系统，系统达到稳态时，其自由运动模态将衰减为零对于稳定系统，系统达到稳态时，其自由运动模态将衰减为零对于稳定系统，系统达到稳态时，其自由运动模态将衰减为零对于稳定系统，系统达到稳态时，其自由运动模态将衰减为零例：图所示高通滤波电路，求输入信号为正弦交流电压时的正弦输入响应。解：系统的微分方程为当系统的输入信号为正弦交流电压时，由系统微分方程两边取拉氏变换得传递函数第2章 机电控制系统的数学模型当系统的输入为正弦交流电压：ui(t)Aisint 时，拉氏变换为输出响应的拉氏变换为式中，a、b、c为Uo(s)的留数，待定系数。系统的正弦输入时间响应为第2章 机电控制系统的数学模型由留数定理求得代入待定系数得系统的正弦输入时间响应为第2章 机电控制系统的数学模型将上式中第一项和第二项合并当时间t时，系统的稳态响应为可见，系统的频率响应的幅值随输入信号频率变化而变化，其相位也是随输入信号的频率变化而变化。当频率趋近无穷大时输出幅值才与输入幅值相等。第2章 机电控制系统的数学模型2.2.2.2.频率特性及图形表示频率特性及图形表示频率特性及图形表示频率特性及图形表示(1)(1)系统的频率特性系统的频率特性系统的频率特性系统的频率特性由上例可得：由上例可得：1 1）系统的稳态）系统的稳态频率频率响应是和输入具有相同频率的正弦信号响应是和输入具有相同频率的正弦信号，可表示为：可表示为：2 2）其输出与输入的幅值比）其输出与输入的幅值比定义定义为为系统的系统的幅频特性，即幅频特性，即幅频特性，即幅频特性，即3 3）输出与输入的相位差）输出与输入的相位差定义定义为为系统的系统的相频特性，即相频特性，即相频特性，即相频特性，即第2章 机电控制系统的数学模型由此得到由此得到由此得到由此得到实频特性实频特性实频特性实频特性和和和和虚频特性虚频特性虚频特性虚频特性为为为为将幅频特性和相频特性组成的矢量即为系统的将幅频特性和相频特性组成的矢量即为系统的幅相频特性，幅相频特性，幅相频特性，幅相频特性，即即即即幅相频特性与传递函数的关系：幅相频特性与传递函数的关系：幅相频特性与传递函数的关系：幅相频特性与传递函数的关系：第2章 机电控制系统的数学模型各频率特性之间的关系由图可得：各频率特性之间的关系由图可得：各频率特性之间的关系由图可得：各频率特性之间的关系由图可得：(2)(2)频率特性的物理意义频率特性的物理意义频率特性的物理意义频率特性的物理意义A A()是是表表示示系系统统输输出出信信号号幅幅值值的的衰衰减减或或放放大大特特性性；而而相相频频特特性性()是是表表示示其其输输出出信信号号相相位位产产生生超超前前 ()0)0或或滞滞后后 ()0)0的的特性。特性。第2章 机电控制系统的数学模型（3 3）频率特性图及性能参数）频率特性图及性能参数）频率特性图及性能参数）频率特性图及性能参数频率特性图包括极坐标图和对数频率特性图。频率特性图包括极坐标图和对数频率特性图。频率特性图包括极坐标图和对数频率特性图。频率特性图包括极坐标图和对数频率特性图。1 1）极坐标图极坐标图(Nyquist(Nyquist图图)的幅值和相位也的幅值和相位也随之作相应的变化，其端点随之作相应的变化，其端点在复平面上移动的轨迹在复平面上移动的轨迹称为称为极坐标图，极坐标图，或称或称为奈魁斯特为奈魁斯特(Nyquist)(Nyquist)图图。特点：特点：特点：特点：以实轴为对称轴的封闭曲线。以实轴为对称轴的封闭曲线。变化时，向量变化时，向量 当输入信号的频当输入信号的频 率率 2)2)对数坐标图对数坐标图（博德图）（博德图）对数频率特性曲线对数幅频特性对数幅频特性 相频特性相频特性 ()对数幅频特性曲线与零分贝线（横坐标）相交处的频对数幅频特性曲线与零分贝线（横坐标）相交处的频率率。幅值幅值 第2章 机电控制系统的数学模型对数对数 第2章 机电控制系统的数学模型2.4 机电离散控制系统的数学模型机电离散控制系统的数学模型图图图图2.4.1 2.4.1 计算机采样控制系统计算机采样控制系统计算机采样控制系统计算机采样控制系统D/A控制对象r(t)e(t)c(t)数字控制器A/D检测元件e*(t)u*(t)uh(t)计算机控制系统原理计算机控制系统原理在在计计算算机机采采样样控控制制系系统统中中，因因为为在在计计算算机机内内参参与与运运算算的的信信号号是是二二进进制制数数码码，所所以以要要利利用用计计算算机机来来实实现现系系统统的的控控制制目目标标，首首先先要要在在控控制制系系统统中中通通过过模模数数转转换换器器(AD)，把把控控制制目目标标的的连连续续信信号号转转换换成成数数字字信信号号，送送给给计计算算机机构构成成的的数数字字控控制制器器，经经过过数数字字控控制制器器的的数数字字计计算算，给给出出的的控控制制信信号号也也是是数数字字量量，然然后后再再通通过过数数模模转转换换器器(DA)，使使数数字字量量恢恢复复成成连连续续的的控控制制作用，再去控制被控对象。作用，再去控制被控对象。第2章 机电控制系统的数学模型在在分分析析采采样样控控制制系系统统时时，把把AD和和DA的的工工作作过过程程理理想想化化，即即认认为为AD转转换换相相当当于于一一个个每每隔隔T秒秒瞬瞬时时接接通通一一次次的的理理想想采采样样开开关关，它它把把连连续续信信号号变变成成数数字字信信号号；而而DA转转换换则则近近似似于于一个保持器，它把数字信号变成连续信号。一个保持器，它把数字信号变成连续信号。图图2.4.2 采样控制系统结构图采样控制系统结构图 由于在离散系统中存在着脉冲或离散的数字信号以及信号由于在离散系统中存在着脉冲或离散的数字信号以及信号的变换过程，因此，在研究这种系统时，虽在一定程度上可以的变换过程，因此，在研究这种系统时，虽在一定程度上可以借鉴在连续系统中应用的一些成熟的方法，但仍然有它本身的借鉴在连续系统中应用的一些成熟的方法，但仍然有它本身的特殊性，必须对其进行单独讨论。特殊性，必须对其进行单独讨论。e*(t)u*(t)uh(t)Gh(s)Gp(s)r(t)e(t)c(t)GD(s)H(s)采样开关第2章 机电控制系统的数学模型2.4.12.4.1信号的采样与复原信号的采样与复原信号的采样与复原信号的采样与复原1.1.信号的采样信号的采样信号的采样信号的采样 信号采样过程，就是按照一定的时间间隔对系统中的连续信号进行采样，将连续信号变换为时间上离散的脉冲序列的过程。用来实现采样过程的装置称为采样器或采样开关，它可以用一个按一定周期（即采样周期）进行闭合操作的开关来表示。采样开关的采样周期为T，采样开关的采样周期为T，每次闭合时间为，如图2.4.3所示。通常远小于采样周期T和系统中连续部分的时间常数，可以近似的认为0。（1 1）信号采样过程）信号采样过程）信号采样过程）信号采样过程第2章 机电控制系统的数学模型图2.4.3 模拟信号的采样采样过程可以看成是一个电子系统中的脉冲调制过程。理想的采样器等效于一个理想的单位脉冲序列发生器，它能够产生单位脉冲序列 ，如图2.4.4所示。单位脉冲序列 的数学表达式为k=0，1，2为整数 (2.4.1)式中，式中，式中，式中，T T为采样周期为采样周期为采样周期为采样周期。第2章 机电控制系统的数学模型根据图2.4.4，的数学表达形式可写成：(2.4.2)调制器e*(t)e(t)T(t)图图2.4.4 单位脉冲序列和采样信号的调制单位脉冲序列和采样信号的调制 第2章 机电控制系统的数学模型 可见，满足单位脉冲函数定义的脉冲串 相当于一种载波信号。实际系统中 t0时，所以上式可改写为综上所述，采样过程相当于一个脉冲调制过程，采样开关的输出信号 可表示为两个函数的乘积，其中载波信号 决定输出函数存在的时刻，而采样信号的幅值由输入信号 决定。(2.4.3)第2章 机电控制系统的数学模型式中,傅里叶系数；（2 2）采样定理）采样定理）采样定理）采样定理(1)采样信号拉氏变换与连续信号拉氏变换之间关系 因为理想单位脉冲序列 是一个以T为周期的函数，可以展开为傅里叶级数，其复数形式为 代入,有(2.4.4)(2.4.5)为采样角频率。第2章 机电控制系统的数学模型上式反映了采样函数的拉氏变换式 和连续函数拉氏变换式 之间的关系，这表明 是s的周期性函数。故 的拉氏变换为(2.4.6)用 代入上式，得到采样信号的傅里叶变换：(2.4.7)第2章 机电控制系统的数学模型上式反映了采样后的离散信号频谱与连续信号频谱之间的关系。通常，连续函数e(t)的频带宽度有限，其最大截止频率为max，为一孤立的频谱，如图2.4.5a所示。由图2.4.5可见，相邻两部分频谱互不重叠的条件是 s2max (2.4.8)第2章 机电控制系统的数学模型采样之后，离散序列 的频谱是无限多个频谱的周期重复，其幅值 为的1/T，周期为s，k=0时为主频谱。如图2.4.5b所示,根据采样频率s的大小，可能有两种情况，1）当s2max，采样信号的频谱不会发生重迭；2）当s2max，采样信号的频谱发生重迭。香农采样定理的物理意义即是对最高频率的正弦信号，在一个周期内至少应采样两次(正负值各采样一次)。香农采样定理是选择采样周期的一个重要依据。第2章 机电控制系统的数学模型 为使采样后的信号不丢失原连续信号的信息，或者说为了能将采样后的离散信号恢复为原连续信号，必须使采样信号的频谱中各部分相互不重叠，这样就可以采用一个低通滤波器滤掉所有的高频分量，只保留主频谱，这个低通滤波器就是下面要介绍的将离散信号恢复成连续信号的零阶保持器。根据采样定理，在s2max的条件下，离散信号频谱中各分量彼此互不重叠，采用理想的低通滤波器滤去各高频分量，保留主频谱，就可以无失真地恢复为原连续信号。但上述理想滤波器在实际上难以实现，因此，必须寻找在特性上比较接近理想滤波器，而实际上又可以实现的滤波器，在采样控制中应用的保持器就是这种实际的滤波器。保持器是一种采用时域外推原理的装置。结构最简单，应用最广泛的是零阶保持器。微型计算机输出通道中的 DA转换器就是零阶保持器。2.2.信号的复原信号的复原信号的复原信号的复原第2章 机电控制系统的数学模型（1 1）零阶保持器概念）零阶保持器概念）零阶保持器概念）零阶保持器概念 零阶保持器是采用恒值外推规律的保持器。它的作用是把采样时刻kT的采样值e(kT)恒定不变地保持(外推)到下一采样时刻(k+1)T。也就是说，在时间tkT，(k+1)T区间内，它的输出量一直保持为e(kT)这个值。其输入信号和输出信号的关系如图2.4.6所示。零阶保持器的输出信号是阶梯形的，包含着高次谐波，与要恢复的连续信号是有一些区别的。若将阶梯形输出信号的各中点连接起来，可以得到一条比连续信号迟后T/2的曲线，这反映了零阶保持器的相位滞后特性。e*(t)eh(t)零阶保持器图2.4.6 连续信号与采样信号第2章 机电控制系统的数学模型（2 2）零阶保持器的传递函数）零阶保持器的传递函数）零阶保持器的传递函数）零阶保持器的传递函数当零阶保持器的输入为单位脉冲时，其输出是一个高度为1，宽度为T的矩形波，即零阶保持器的单位脉冲响应gh(t)。它可以分解为两个单位阶跃函数的叠加（图2.4.7所示）：gh(T)=1(t)-1(t-T)图2.4.7 零阶保持器单位脉冲响应(2.4.9)此即是零阶保持器的传递函数。零阶保持器单位脉冲响应的拉氏变换式为第2章 机电控制系统的数学模型令式(2.4.9)中 ，可求得零阶保持器的频率特性为（3 3）零阶保持器的频率特性）零阶保持器的频率特性）零阶保持器的频率特性）零阶保持器的频率特性(2.4.10)(2.4.11)幅频特性和相频特性分别为零阶保持器的幅频特性，其幅值随着频率的增大而衰减，具有明显的低通滤波特性，主频谱与连续信号相似，但还存在一些高频分量。因此，其转换后的连续信号与原来的信号是有些差别的。此外，由相频特性可见，采用零阶保持器还将产生相角滞后，对稳定性不利。T越小，采样系统越接近于连续系统，但计算机负担加重，对计算机运算速度等要求越高。第2章 机电控制系统的数学模型2.4.2 Z变换与变换与Z反变换反变换 在传统连续系统的控制器设计与分析中，一般应用微分方程、系统的传递函数和频率特性等方法进行研究，其中最重要的工具就是拉氏变换。一个连续信号f(t)的拉氏变换是复变量s的有理分式函数，微分方程通过拉氏变换后也可以转换为s的代数方程，从而大大简化微分方程的求解，方便得到系统的频率特性。而在采样控制系统中存在着脉冲或数字的离散信号以及离散信号与连续信号的变换过程，因此，如果仍沿用拉氏变换得到的传递函数来分析系统，那么拉氏变换就会在运算中给我们带来复变量的超越函数，使得计算与分析难以顺利进行。为了避免这种情况出现，用一种新的工具z变换替代拉氏变换，用差分方程或z传递函数来描述采样控制系统的数学模型。第2章