人教A版高中数学必修五2.4数学等比数列 课件.ppt
2.4 等比数列第第1 1课时课时 1、等差数列、等差数列:一般地，如果一个数列从第一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列等差数列，这个常数就，这个常数就叫做等差数列的叫做等差数列的公差公差（常用字母（常用字母“d”表示）表示）.数学表达式数学表达式:2、等差中项：、等差中项：如果三个数如果三个数 a，A，b 成等差数列，那么成等差数列，那么A叫做叫做a与与b的等差中的等差中项项.3、等差数列的通项公式、等差数列的通项公式:(n 2，n N*)（2A=a+b）温故知新引例：引例：下图是某种细胞分裂的模型：下图是某种细胞分裂的模型：细胞分裂个数可以组成下面的数列：细胞分裂个数可以组成下面的数列：1，2，4，8，.“一尺之棰，日取其半，万世不竭。一尺之棰，日取其半，万世不竭。”现代语言现代语言：一尺长的木棒，每天取它的一：一尺长的木棒，每天取它的一 半，永远也取不完。半，永远也取不完。如果把如果把“一尺之棰一尺之棰”看成单位看成单位“1”，1,.,那么，得到的数列是：那么，得到的数列是：(第一轮第一轮)第第二二轮轮病毒制造者病毒制造者被感染计算被感染计算机机20台台被感染计算被感染计算机机202台台 计算机病毒的传播计算机病毒的传播每一轮感染的计算机数构成的数列是：每一轮感染的计算机数构成的数列是：1,20,202 ,203 ,.邮件接收邮件接收者者 银行另一种支付利息的方式银行另一种支付利息的方式复利复利 计算本利和的公式是：计算本利和的公式是：本利和本利和=本金本金（1+利率）利率）存期存期。现在存入银行现在存入银行10000元钱，年利率是元钱，年利率是1.98%，那，那么按照复利，么按照复利，5年内各年末的本利和组成了下面年内各年末的本利和组成了下面的数列：的数列：,.观察观察:这四个数列有什么共同特点？这四个数列有什么共同特点？共同特点：共同特点：从第二项起，每一项与它前面一项的从第二项起，每一项与它前面一项的 比等于同一个常数比等于同一个常数.1,2,4,8,.1,.,1,20,202 ,203 ,.,.等比数列的定义等比数列的定义:一般地，如果一个数列从第一般地，如果一个数列从第2 2项起，每一项项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做叫做等比数列等比数列.这个常数叫做等比数列的这个常数叫做等比数列的公比公比.公比通常用字母公比通常用字母q q(q(q0)0)表示表示.或或数学符号表示：数学符号表示：(判断一个数列是否为等比数列的依据)注意：注意：1.1.公比公比是等比数列从第是等比数列从第2 2项起，项起，每一项每一项与它与它的的前一项前一项的的比比,不能颠倒不能颠倒.2.2.对于一个给定的等比数列，它的公比是对于一个给定的等比数列，它的公比是同一个常数同一个常数。类比等差数列的通项公式的推导过程，你能推导出类比等差数列的通项公式的推导过程，你能推导出公比是公比是q q的等比数列的等比数列 的通项公式吗？的通项公式吗？思考：思考：3、等比数列的通项公式：、等比数列的通项公式：法一：递推法法一：递推法由此归纳等比数列的通项公式可得：由此归纳等比数列的通项公式可得：等等比比数数列列等等差差数数列列由此归纳等差数列由此归纳等差数列的通项公式可得：的通项公式可得：类比类比3、等比数列的通项公式：、等比数列的通项公式：迭乘法迭乘法共共n 1 项项）等等比比数数列列 法二：迭加法法二：迭加法+）等等差差数数列列类比类比3、等比数列的通项公式：、等比数列的通项公式：（nN,q0）1.已知等比数列 an：(1)an 能不能是零？(2)公比q能不能是1？2.用下列方法表示的数列中能确定 是等比数列的是 .1，-1，1，(-1)n+1；1，2，4，6；a，a，a，a；已知a1=2，an=3an+1；2a，2a，2a，2a.3.什么样的数列既是等差数列又是等比数列？不能不能能能非零的非零的 常数列常数列 概念辨析当当 q1，a10，数列是递增数列数列是递增数列.或或 0q1，a11，a10，数列是递减数列数列是递减数列.或或 0q0 时时，说明：说明：(1)因为等比数列每一项都可能作分母，因为等比数列每一项都可能作分母，所以每一项均不为所以每一项均不为0，因此因此 q0.(2)当当q0时，时，数列单调性不定数列单调性不定.例如：数列an的首项是a1=1,公比q=2,则通项公式是：上式还可以写成可见，这个等比数列的图象都在函数 的图象上，如右图所示。0 1 2 3 4 nan87654321思考思考2：等比数列的通项公式与函数有怎样的关系？anOn1 2 3 4 5 6 710987654321等比数列图象等比数列图象是函数是函数 图象上一群孤立的点图象上一群孤立的点 等比数列等比数列 等差数列等差数列 等差数列等差数列通项公式通项公式:等比数列等比数列通项公式通项公式:a n=pn+q，n N+a n=a 1 q n1(a 1 0 且且 q 0,n N+)d=d=p pa a1 1=p+qp+qa n=a 1+(n1)d，n N+一次函数形式：一次函数形式：q=q=c ca a1 1=bcbc指数函数形式：指数函数形式：a n=b c n函数观点；函数观点；函数观点；函数观点；方程思想方程思想.方程思想方程思想.方程中有四个量，方程中有四个量，知知三求一三求一，这是公式最，这是公式最简单的应用简单的应用.方程中有四个量，方程中有四个量，知知三求一三求一，这是公式最，这是公式最简单的应用简单的应用.【即时练习即时练习】等比中项等比中项 观察如下的两个数之间，插入一个什么数后，观察如下的两个数之间，插入一个什么数后，这三个数就会成为一个等比数列这三个数就会成为一个等比数列：（1 1）1 1，9 9 （2 2）-1-1，-4-4（3 3）-12-12，-3 -3 （4 4）1 1，1 13 32 26 61 1 如果在如果在a a与与b b中间插入一个数中间插入一个数G G，使，使a a，G G，b b成成等比数列，那么等比数列，那么G G叫做叫做a a与与b b的的等比中项等比中项。注意：注意：若若a，b异号则无等比中项；若异号则无等比中项；若a，b同同号则有两个等比中项号则有两个等比中项A 【即时练习即时练习】例例1：某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年：某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的这种物质是原来的剩留的这种物质是原来的84%，这种物质的半衰期为多，这种物质的半衰期为多长长(精确到精确到1年年)？解解:设这种物质最初的质量是设这种物质最初的质量是1,经过经过n年年,剩留量是剩留量是a n.由条件可得由条件可得,数列数列a n是一个等比数列是一个等比数列,其中其中 a1=0.84，q=0.84，设设a n=0.5，则，则 0.84 n=0.5，两边取对数两边取对数,得得 n lg 0.84=lg 0.5，解得解得 n4.答答:这种物质的半衰期大约为这种物质的半衰期大约为4年年.分析分析:经过经过1年剩留量年剩留量:0.84 2 0.842 3 0.843 n 0.84 n 当当 n=？时，？时，0.84 n=0.5放射性物质衰变到放射性物质衰变到原来的一半所需时原来的一半所需时间称为这种物质的间称为这种物质的半衰期半衰期.例例2 2 根据如图的框图，写出所根据如图的框图，写出所打印数列的前打印数列的前5 5项，并建立数列项，并建立数列的递推公式，这个数列是等比数的递推公式，这个数列是等比数列吗？列吗？开始开始输出输出A A结束结束否否A=1A=1n=1n=1n=n+1n=n+1A=2AA=2An n5?5?是是A=AA=A例例3：一个等比数列的第：一个等比数列的第3项和第项和第4项分别是项分别是12和和 18，求它的第，求它的第1项和第项和第2项。项。解：解：设首项为设首项为a1，公比为，公比为q，则有，则有解得：解得：所以所以 a2=8分析分析:课堂小结1、理解与掌握等比数列的定义及数学表达式：、理解与掌握等比数列的定义及数学表达式：，（，（n 2，n N）；）；2、掌握等比中项的定义、掌握等比中项的定义.3、要会推导等比数列的通项公式：、要会推导等比数列的通项公式：
