2022年新教材高中数学第二章等式与不等式2.4均值不等式及其应用课件新人教B版必修第一册(共21张PPT).pptx
2.2.4均值不等式及其应用1.了解均值不等式的代数和几何背景,掌握均值不等式的适用条件.2.能用均值不等式求最值.3.能够用均值不等式证明不等式.4.能用均值不等式解决一些实际问题中的最值问题.均值不等式1.给定两个正数a,b,数称为a,b的算术平均值;数称为a,b的几何平均值.2.两个不等式不等式内容等号成立的条件注意重要不等式a2+b22ab当且仅当a=b时取“=”a,b可以是任意实数均值不等式当且仅当a=b时取“=”a,b只能是正实数3.均值不等式与最值(1)已知x,y均为正实数,如果积xy是定值p,那么当x=y时,和x+y有最小值,最小值为2.(2)已知x,y均为正实数,如果和x+y是定值S,那么当x=y时,积xy有最大值,最大值为.上述命题可归纳为口诀:积定和最小,和定积最大.运用以上结论求最值要注意下列三个条件:一正:要求各数均为正数;二定:要求和或积为定值;三相等:要保证具备等号成立的条件.判断正误,正确的画“”,错误的画“”.1.不等式a2+b22ab与有相同的适用范围.()不等式a2+b22ab对任意实数a,b都成立,而只有当a,b都是正实数(特殊时可取0)时成立.2.已知m0,n0,且mn=81,则m+n的最小值为18.()因为m0,n0,所以m+n2=2=18,当且仅当m=n=9时取等号,故m+n的最小值为18.3.a+的最小值为2.()当a0时,a+2=2;当a0,b0,则4.()某房地产开发公司计划在某楼区内建造一个长方形公园ABCD,公园由形状为长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成.已知休闲区A1B1C1D1的面积为4000m2,人行道的宽分别为4m和10m(如图所示).如何理解均值不等式成立的三个条件问题1.设休闲区的长和宽的比=x(x1),求公园ABCD所占面积y关于x的函数关系式.提示:y=80+4160(x1).2.要使公园所占面积最小,则休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计?提示:利用均值不等式求解.利用均值不等式求最值时的注意事项1.各项均为正,都是负数时它们的相反数为正.2.寻求定值,求和式最小值时应使积为定值,求积式最大值时应使和为定值.3.考虑等号成立的条件是否具备,等号不成立时可用图像找出最大(小)值.函数y=x+(a0)的大致图像如图:拔高问题3.若x0,如何求函数y=x+的最大值?提示:当x0,-x+2=4,x+-4,当且仅当-x=-,即x=-2(x=2舍去)时取等号.故所求函数的最大值为-4.4.已知x2,如何求x+的最小值?提示:x2,x-20,x+=x-2+22+2=6,当且仅当x-2=,即x=4(x=0舍去)时,等号成立.x+的最小值为6.5.若x3,如何求函数y=x+的最小值?提示:若x0,则y=x+2=4,当且仅当x=2时取得最小值4,函数图像如图所示.由图像知,若x3,则当x=3时,y取得最小值.破疑典例1.()已知x3,求y=+x的最大值.思路点拨:x-30,利用均值不等式求y=+x的最大值.解析x3,x-30,y=+x=+x-3+3=-+3-2+3=-1,当且仅当=3-x,即x=1时,取等号,y的最大值为-1.易错警示解题时要注意不等号的方向,如由a+b2,得-(a+b)-2,防止不等号方向错误导致解题错误.2.()已知x-1,求函数y=的最小值.思路点拨:将x+1看成整体,将函数化为整式+分式的形式,即构造能利用均值不等式的形式,检验三个条件是否成立,再求最小值.解析x-1,x+10,y=x+1+52+5=9,当且仅当x+1=,即x=1(x=-3舍去)时,等号成立.当x=1时,函数y=(x-1)取得最小值9.3.()若x1,求函数y=x+的最小值.思路点拨:思路一:将变形为,然后把x+看作一个整体进行求解.思路二:当涉及分数时,通分是最容易想到的常规方法,通分后x+=,利用均值不等式即可求解.解析解法一:y=x+=x+,令u=x+,则u2,所以y=u+8,当且仅当u=,即u=4时,此时x=2+,等号成立.解法二:y=x+=+2=8,当且仅当=,即x=2+时,等号成立.4.()已知ab0,求a2+的最小值.思路点拨:分析目标式的特点,对目标式进行适当变形,然后利用均值不等式求最小值.解析解法一:由于a2+中有两个字母,并注意到b+(a-b)=a,则b(a-b)=,这样就消去了字母b,因此a2+a2+4,当且仅当b=a-b,a2=,即a=,b=时,等号成立.故a2+的最小值为4.解法二:注意到b+(a-b)=a,则b+(a-b)2=a2,则a2+=b+(a-b)2+4b(a-b)+4,当且仅当b=a-b,4b(a-b)=,即a=,b=时,等号成立.故a2+的最小值为4.已知x0,y0,且+=1.问题1.怎样求x+y的最小值?提示:消元法或利用均值不等式求解.2.若将已知条件改为xy0,且+=1,怎样求x+y的最小值?提示:先消元,再利用均值不等式求解.利用均值不等式解决条件求值问题求含有条件的最大(小)值的基本方法1.代入消去一个变量,化为求只含一个变量的代数式的最大(小)值问题,解题时要注意将消去变量的取值范围转化到保留的变量中.2.分析条件与结论的关系,利用关系解题,这种方法运算量小但技巧性强,平时要多总结.例如:常数代换:这种方法常用于“已知ax+by=m(a,b,x,y均为正数),求+的最小值”和“已知+=1(a,b,x,y均为正数),求x+y的最小值”两种类型.破疑典例1.()已知a0,b0,若不等式+恒成立,则m的最大值为()A.9B.12C.18D.24思路点拨:先将不等式变形,再利用均值不等式求解.B因为a0,b0,不等式+恒成立,所以m.因为(a+3b)=6+6+2=12,当且仅当a=3b时取等号,所以m的最大值为12.故选B.2.()(1)已知a,b,x,y均为正数,且+=1,求x+y的最小值;(2)已知x0,y0,且x+2y+xy=30,求xy的最大值.思路点拨:问题(1)既可以采用常数代换的方法,也可以进行变量代换,再利用均值不等式求解;问题(2)既可以利用均值不等式求解,也可以采用变量代换的方法求解.解析(1)解法一:x+y=(x+y)=a+b+a+b+2,当且仅当即时,等号成立,故x+y的最小值为a+b+2.解法二:由+=1得x=,x+y=+y=+y=a+y=+(y-b)+a+b.x0,y0,a0,由0得y-b0,x+y2+a+b,当且仅当即时,等号成立,故x+y的最小值为a+b+2.(2)解法一:由x+2y+xy=30,可得y=(0 x0,x+2y2=2,2+xyx+2y+xy=30,解此不等式得0 xy18,即xy的最大值为18,此时即3.()已知x,y,z为正实数且满足x-2y+3z=0,求的最小值.思路点拨:由已知得y=代入利用均值不等式求最小值.解析由x-2y+3z=0,得y=.因为x,y,z为正实数,所以=+6 2+6=3,当且仅当x=3z时,等号成立,故的最小值为3.
