人教A版高中数学必修五2.4等比数列课件（共两课时）.pptx

2.4 等比数列第第1 1课时课时操作题操作题1.请同学们写出下面数列请同学们写出下面数列:(1)一种细菌进行分裂繁殖一种细菌进行分裂繁殖,1 个细菌一次分裂成个细菌一次分裂成 2个个,且每分钟分裂一次且每分钟分裂一次,写出写出 1 个这种细菌经过个这种细菌经过 1,2,3,4,分钟后的细菌个数分钟后的细菌个数;(2)一个容器中盛有一个容器中盛有10升某种溶液升某种溶液,每次倒出容器每次倒出容器中溶液的一半中溶液的一半,写出每次倒出后容器中剩余溶液数量写出每次倒出后容器中剩余溶液数量;(3)银行的复利计息方式是银行的复利计息方式是:把前一期的利息加入把前一期的利息加入本金计算下一期的利息本金计算下一期的利息.现存入本金现存入本金10000元元,年利率年利率为为1.98%,写出写出 5 年内各年末的本利和年内各年末的本利和.(1)2,4,8,16,(2)5,(3)10000 1.0198,10000 1.01982,10000 1.01983,10000 1.01984,10000 1.01985.问题问题1.刚才写出的数列是等差数列吗刚才写出的数列是等差数列吗?如果不如果不是是,那么它们有什么共同的特征那么它们有什么共同的特征?根据它们的共同特根据它们的共同特征你想把它们叫做什么数列征你想把它们叫做什么数列?(1)2,4,8,16,(2)5,(3)10000 1.0198,10000 1.01982,10000 1.01983,10000 1.01984,10000 1.01985.特征特征:各数列中各数列中,每一项与它前一项的比值是一个相等每一项与它前一项的比值是一个相等的数的数.(1)中的比值是中的比值是 2,(2)中的比值是中的比值是(3)中的比值是中的比值是1.0198.每一项等于前一项乘以每一项等于前一项乘以 2.每一项等于前一项乘以每一项等于前一项乘以每一项等于前一项乘以每一项等于前一项乘以 1.0198.定义定义:一般地一般地,如果一个数列从第如果一个数列从第 2 项起项起,每每一项与它的前一项的比等于同一个常数一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数那么这个数列就叫做列就叫做等比数列等比数列,这个常数叫做等比数列的这个常数叫做等比数列的公比公比,公比通常用字母公比通常用字母 q 表示表示 (q0),即即则数列则数列 an 为等比数列为等比数列,常数常数 q 是公比是公比.判断几个数是否成等比数列判断几个数是否成等比数列,看其是否满足看其是否满足 判断以通项表示的数列是否是等比数列判断以通项表示的数列是否是等比数列,看其是看其是否满足否满足(常数常数).(4)不是等比数列不是等比数列,(2)是等比数列是等比数列,(3)是等比数列是等比数列,问题问题 2.下列各数列是否是等比数列下列各数列是否是等比数列?如果是如果是,公公比是多少比是多少?(1)(2)(3)7,7,7,7,(4)0,1,4,16,(1)是等比数列是等比数列,公比公比 q=等比数列的任一项都不能为等比数列的任一项都不能为 0.a2=a1q,【等比数列的通项公式等比数列的通项公式】操作题操作题2.已知等比数列已知等比数列an的首项为的首项为 a1,公比为公比为 q,写出这个数列的写出这个数列的 a2,a3,a4,a5,并由此归纳出并由此归纳出 an.a3=a2q=a1q2,a4=a3q=a1q3,a5=a4q=a1q4,猜：猜：an=a1qn-1.等比数列的通项公式等比数列的通项公式:an=a1qn-1 等比数列等比数列 an=a1qn-1 的图象是函数的图象是函数 y=a1qx-1 的图象上的图象上 x 取正整数的点取正整数的点.等比数列的图像等比数列的图像等比中项等比中项:如果在如果在 a 与与 b 中间插入一个数中间插入一个数 G,使使 a,G,b 成成等比数列等比数列,那么那么 G 叫做叫做 a 与与 b 的的等比中项等比中项,G2=ab,等差中项等差中项:如果三个数如果三个数 a,A,b 成等差数列成等差数列,则中间一则中间一个数个数 A 叫做叫做 a 与与 b 的的等差中项等差中项,或或 2A=a+b.例例3.一个等比数列的第一个等比数列的第 3 项和第项和第 4 项分别是项分别是12和和18,求它的第求它的第 1 项与第项与第 2 项项.由等比数列通项公式得由等比数列通项公式得,解解:解关于解关于 a1 与与 q 的方程组的方程组:a3=a1q2=12,a4=a1q3=18,得得将将 q 的值代入的值代入式得式得则则 a2=a1q=8.这个数列的等这个数列的等 1 项是项是 第第 2 项是项是 8.2.4 等比数列第第2 2课时课时 1.等比数列的通项公式是怎样的等比数列的通项公式是怎样的?它是什么它是什么类型的函数类型的函数?2.由通项公式与等比中项能推出等比数列中由通项公式与等比中项能推出等比数列中的哪些项的关系的哪些项的关系?3.怎样用等比数列知识解决某些实际问题怎样用等比数列知识解决某些实际问题?练习练习 (补充补充).一个等比数列的第一个等比数列的第 9 项是项是 公比是公比是 求它的第求它的第 1 项项;第第第第 4 4 题题题题.(课本课本课本课本5353页页页页)习题习题习题习题 2.42.4B B组组组组第第第第 1 1 题题题题.解解:由等比数列通项公式得由等比数列通项公式得即即解得解得 a1=2916,这个数列的第这个数列的第 1 项是项是 2916.(补充补充).一个等比数列的第一个等比数列的第 9 项是项是 公比是公比是 求它的第求它的第 1 项项;4.已知已知an是等比数列是等比数列.(1)a52=a3a7 是否成立是否成立?a52=a1a9 成立吗成立吗?为什为什么么?(2)an2=an-1an+1(n1)是否成立是否成立?你据此能得到什你据此能得到什么结论么结论?an2=an-kan+k(nk0)是否成立是否成立?你又能得到什你又能得到什么结论么结论?解解:(1)a52=(a1q4)2=a12q8,a3a7=(a1q2)(a1q6)=a12q8,a1a9=a1(a1q8)=a12q8,a52=a3a7=a1a9 成立成立.(课本课本课本课本5353页页页页)4.已知已知an是等比数列是等比数列.(1)a52=a3a7 是否成立是否成立?a52=a1a9 成立吗成立吗?为什为什么么?(2)an2=an-1an+1(n1)是否成立是否成立?你据此能得到什你据此能得到什么结论么结论?an2=an-kan+k(nk0)是否成立是否成立?你又能得到什你又能得到什么结论么结论?解解:(2)an2=(a1qn-1)2=a12q2n-2,an-1an+1=(a1qn-2)(a1qn)=a12q2n-2,an2=an-1an+1 成立成立.(课本课本课本课本5353页页页页)4.已知已知an是等比数列是等比数列.(1)a52=a3a7 是否成立是否成立?a52=a1a9 成立吗成立吗?为什为什么么?(2)an2=an-1an+1(n1)是否成立是否成立?你据此能得到什你据此能得到什么结论么结论?an2=an-kan+k(nk0)是否成立是否成立?你又能得到什你又能得到什么结论么结论?解解:an2=(a1qn-1)2=a12q2n-2,an-kan+k=(a1qn-k-1)(a1qn+k-1)=a12q2n-2,an2=an-kan+k 成立成立.(课本课本课本课本5353页页页页)结论结论:an 是是 an-k 和和 an+k(nk0)的等比中项的等比中项.在等比数列在等比数列an中中,an2=an-1an+1=an-2an+2=an-3an+3=an-kan+k (1)如果某项的序号是另外两项序号和的一半如果某项的序号是另外两项序号和的一半,那么这一项的平方等于另两项的积那么这一项的平方等于另两项的积.2p=m+n,ap2=aman.(2)如果有两项的序号之和等于另两项的序号之如果有两项的序号之和等于另两项的序号之和和,那么这两项的积等于另两项的积那么这两项的积等于另两项的积.p+q=m+n,apaq=aman.B 组组1.已知等比数列已知等比数列an的公比为的公比为 q,求证求证:证明证明:=q(m-1)-(n-1)=qm-n.例例1.某种放射性物质不断变化为其他物质某种放射性物质不断变化为其他物质,每经每经过一年剩留的这种物质是原来的过一年剩留的这种物质是原来的 84%.这种物质的半这种物质的半衰期为多长衰期为多长(精确到精确到 1 年年)?解解:经过经过 n 年后年后,这种物质的剩留量是原来的这种物质的剩留量是原来的(84%)n=0.84n.公式可知公式可知,各年剩留量成等比数列各年剩留量成等比数列,其中其中a1=0.84,q=0.84,若设原来这种物质的质量为若设原来这种物质的质量为1,由等比数列通项由等比数列通项要使要使 an=0.5,即得即得0.84n=0.5.两边取常用对数得两边取常用对数得 nlg0.84=lg0.5,4.答答:这种物质的半衰期大约是这种物质的半衰期大约是 4 年年.练习练习练习练习课本课本课本课本52535253页页页页第第第第 2 2、5 5 题题题题.2.在利用电子邮件传播病毒的例子中在利用电子邮件传播病毒的例子中,如果第一如果第一轮感染的计算机数是轮感染的计算机数是80台台,并且从第一轮起并且从第一轮起,以后各以后各轮的每一台计算机都可以感染下一轮的轮的每一台计算机都可以感染下一轮的20台计算机台计算机,到第到第 5 轮可以感染多少台计算机轮可以感染多少台计算机?解解:这是一个首项为这是一个首项为80,公比为公比为20的等比数列模型的等比数列模型,其通项公式为其通项公式为 an=a1qn-1.则则 a5=80 204=12800000.答答:到第到第 5 轮可以感染轮可以感染12800000台计算机台计算机.5.某人买了一辆价值某人买了一辆价值 13.5万元的新车万元的新车.专家预测专家预测这种车每年按这种车每年按10%的速度折旧的速度折旧.(1)用一个式子表示用一个式子表示 n(n N*)年后这辆车的价值年后这辆车的价值.(2)如果他打算用满如果他打算用满 4 年时卖掉这辆车年时卖掉这辆车,他大概他大概能得到多少钱能得到多少钱?解解:(1)每年按每年按10%的速度折旧的速度折旧,则第则第 n 年后车子的价值为年后车子的价值为:an=13.5(1-10%)n=13.5 0.9n.(2)这人用满这人用满 4 年年,车子的价值只有车子的价值只有a4=13.5 0.948.8574.答答:这人大概能得到这人大概能得到8.8574万元万元.【课时小结课时小结】1.等比数列的通项公式等比数列的通项公式an=a1qn-1.通项公式是关于正整数通项公式是关于正整数 n 的指数函数类型的指数函数类型.【课时小结课时小结】2.等比数列中的相等项等比数列中的相等项an 是是 an-k 和和 an+k(nk0)的等比中项的等比中项,即即an2=an-1an+1=an-2an+2=an-kan+k.2p=m+n,ap2=aman.p+q=m+n,apaq=aman.或或【课时小结课时小结】3.等比数列的应用等比数列的应用(1)判断问题是否可建立等比数列模型判断问题是否可建立等比数列模型;(2)建立等比数列模型建立等比数列模型,设定相关量设定相关量;(3)用等比数列知识进行相关运算用等比数列知识进行相关运算;(4)用运算结果解释实际问题用运算结果解释实际问题.习题习题习题习题 2.42.4A A 组组组组第第第第 1 1、2 2、4 4、5 5、8 8 题题题题.B B 组组组组第第第第 2 2 题题题题.解解:1.在等比数列在等比数列an中中,(1)a4=27,q=-=-3,求求 a7;(2)a2=18,a4=8,求求 a1 与与 q;(3)a5=4,a7=6,求求 a9;(4)a5-a1=15,a4-a2=6,求求 a3.习题习题2.4A 组组(1)a7=a4q3=27(-3)3=-=-729.解解:1.在等比数列在等比数列an中中,(1)a4=27,q=-=-3,求求 a7;(2)a2=18,a4=8,求求 a1 与与 q;(3)a5=4,a7=6,求求 a9;(4)a5-a1=15,a4-a2=6,求求 a3.习题习题2.4A 组组(2)得得解方程组得解方程组得或或解解:1.在等比数列在等比数列an中中,(1)a4=27,q=-=-3,求求 a7;(2)a2=18,a4=8,求求 a1 与与 q;(3)a5=4,a7=6,求求 a9;(4)a5-a1=15,a4-a2=6,求求 a3.习题习题2.4A 组组(3)a7=a5q2,6=4q2,解得解得则则 a9=a7q2=9.解解:1.在等比数列在等比数列an中中,(1)a4=27,q=-=-3,求求 a7;(2)a2=18,a4=8,求求 a1 与与 q;(3)a5=4,a7=6,求求 a9;(4)a5-a1=15,a4-a2=6,求求 a3.习题习题2.4A 组组(4)由由 a5-a1=15,a4-a2=6 得方程组得方程组解方程组得解方程组得或或则则 a3=1 22=4;或或 a3=-=-16 =-=-4.2.某地为了保持水土资源某地为了保持水土资源,实行退耕还林实行退耕还林,如果如果2000年退耕年退耕 8 万公顷万公顷,以后每年增加以后每年增加10%,那么那么2005年需退耕多少公顷年需退耕多少公顷?(结果保留到个位结果保留到个位)解解:在在2000年以后的第年以后的第 n 年退耕数为年退耕数为an=8(1+10%)n=8 1.1n,2005年即是年即是2000年后的第年后的第5年年,即即 a5=8 1.1512.8841(万公顷万公顷)=128841公顷公顷.答答:2005年需退耕年需退耕128841公顷公顷.4.如果能将一张厚度为如果能将一张厚度为 0.05 mm 的报纸对折的报纸对折,再再对折对折,再对折再对折,对折对折 50 次后次后,报纸的厚度是多报纸的厚度是多少少?你相信这时报纸的厚度可以在地球和月球之间建你相信这时报纸的厚度可以在地球和月球之间建一座桥吗一座桥吗?(地球与月球之间平均距离约为地球与月球之间平均距离约为3.84 105 km)解解:每次对折后每次对折后,厚度是原来的厚度是原来的 2 倍倍,后的厚度成等比数列后的厚度成等比数列,其公比其公比 q=2,即每次对折即每次对折an=0.1 2n-1,即即 a1=0.1,则则对折一次后的厚度对折一次后的厚度为首项为首项,对折对折50次后的厚度为次后的厚度为a50=0.1 24956294995342131.2(mm)5.63 107 km 这个厚度远远超过了地球与月球之间的平均距离这个厚度远远超过了地球与月球之间的平均距离,从理论上讲从理论上讲,可以在地球与月球之间建一座桥可以在地球与月球之间建一座桥.(地球到月球的平均距离地球到月球的平均距离:3.8 105 km)可这座桥有多大呢可这座桥有多大呢?4.如果能将一张厚度为如果能将一张厚度为 0.05 mm 的报纸对折的报纸对折,再再对折对折,再对折再对折,对折对折 50 次后次后,报纸的厚度是多报纸的厚度是多少少?你相信这时报纸的厚度可以在地球和月球之间建你相信这时报纸的厚度可以在地球和月球之间建一座桥吗一座桥吗?(地球与月球之间平均距离约为地球与月球之间平均距离约为3.84 105 km)解解:一张全开报纸按一张全开报纸按1200 900=1080000(mm2)算算,每对折一次每对折一次,面积为原来的二分之一面积为原来的二分之一,则则50次对折后的面积为次对折后的面积为=1.9 10-9(mm2)一根粗的头发约为一根粗的头发约为0.002mm2,0.002(1.9 10-9)1052630.要一百多万座这样的桥才有一根头发丝大要一百多万座这样的桥才有一根头发丝大,谁谁能走这桥呀能走这桥呀!5.某城市今年空气质量为某城市今年空气质量为“良良”的天数共为的天数共为105天天,力争力争 2 年后使空气质量为年后使空气质量为“良良”的天数达到的天数达到240天天.这个城市空气质量为这个城市空气质量为“良良”的天数的年平均增长率的天数的年平均增长率为多少为多少?(精确到小数点后精确到小数点后 2 位位)解解:设年均增长率为设年均增长率为 q,今年空气质量为今年空气质量为“良良”的天数为的天数为 a1,则则一年后空气质量为一年后空气质量为“良良”的天数为的天数为 a2=a1(1+q),答答:年平均增长率大约是年平均增长率大约是0.51.2 年后空气质量为年后空气质量为“良良”的天数为的天数为 a3=a1(1+q)2.而而 a1=105,a3=240.即即 240=105(1+q)2.解得解得 q0.51.8.(1)在在 9 与与 243 中间插入两个数中间插入两个数,使它们同这使它们同这两个数成等比数列两个数成等比数列;(2)在在 160 与与 5 中间插入中间插入 4 个数个数,使它们同这两个使它们同这两个数成等比数列数成等比数列.解解:(1)设这两个数依次为设这两个数依次为 a,b,则则a2=9b;b2=243a,得得 a=27,b=81,这两个数依次为这两个数依次为 27,81.9,a,b,243 成等比数列成等比数列,a 是是 9 与与 b 的等比中项的等比中项,得得b 是是 a 与与 243 的等比中项的等比中项,得得解这个方程组解这个方程组 8.(1)在在 9 与与 243 中间插入两个数中间插入两个数,使它们同这使它们同这两个数成等比数列两个数成等比数列;(2)在在 160 与与 5 中间插入中间插入 4 个数个数,使它们同这两个使它们同这两个数成等比数列数成等比数列.解解:(2)设所成等比数列为设所成等比数列为an,则则 a1=160,a6=5,有有 5=160q5,解得解得得得80,40,20 和和 10.则插入的则插入的 4 个数是个数是 2.考古学中常利用死亡的生物体中碳考古学中常利用死亡的生物体中碳14元素稳定元素稳定持续衰变的现象测定遗址的年代持续衰变的现象测定遗址的年代.假定碳假定碳14每年的衰每年的衰变率不变变率不变,已知它的半衰期为已知它的半衰期为5730年年,那么那么:(1)碳碳14的衰变率为多少的衰变率为多少(精确到精确到0.16)?(2)某动物标本中碳某动物标本中碳14的含量为正常大气中碳的含量为正常大气中碳14的的含量的含量的60%(即衰变了即衰变了40%),该动物大约在距今多少该动物大约在距今多少年前死亡年前死亡?解解:(1)设衰变率为设衰变率为 x,(1-x)5730=0.5,0.000121.答答:碳碳14的衰变率约为的衰变率约为0.0121%.B 组组 2.考古学中常利用死亡的生物体中碳考古学中常利用死亡的生物体中碳14元素稳定元素稳定持续衰变的现象测定遗址的年代持续衰变的现象测定遗址的年代.假定碳假定碳14每年的衰每年的衰变率不变变率不变,已知它的半衰期为已知它的半衰期为5730年年,那么那么:(1)碳碳14的衰变率为多少的衰变率为多少(精确到精确到0.16)?(2)某动物标本中碳某动物标本中碳14的含量为正常大气中碳的含量为正常大气中碳14的的含量的含量的60%(即衰变了即衰变了40%),该动物大约在距今多少该动物大约在距今多少年前死亡年前死亡?解解:(2)设该动物大约在距今设该动物大约在距今 n 年前死亡年前死亡.则则 (1-0.000121)n=0.6,答答:该动物大约在距今该动物大约在距今4221年前死亡年前死亡.0.999879n=0.6,两边取对数后得两边取对数后得4221,B 组组