频率域图像增强第二.pptx

5.1 5.1 二维离散傅里叶变换二维离散傅里叶变换二维离散傅里叶变换二维离散傅里叶变换第1页/共76页5.15.1二维离散傅里叶变换二维离散傅里叶变换 由于由于离散傅里叶变换描述了离散信号的时离散傅里叶变换描述了离散信号的时域及空间域表示与频域表示的关系，所以利用域及空间域表示与频域表示的关系，所以利用基于离散傅里叶变换的时域与频域分析方法可基于离散傅里叶变换的时域与频域分析方法可解决大多数图像处理问题，因而离散傅里叶变解决大多数图像处理问题，因而离散傅里叶变换在图像处理领域获得了极为广泛的应用。换在图像处理领域获得了极为广泛的应用。由于由于二维离散傅里叶变换对应地可以描述成二维离散傅里叶变换对应地可以描述成一个二维函数，所以下面介绍应用于图像处理一个二维函数，所以下面介绍应用于图像处理的。的。第2页/共76页1 1、二维离散傅里叶变换的定义、二维离散傅里叶变换的定义 二维离散傅里叶变换的定义及意义二维离散傅里叶变换的定义及意义 设设f(x,y)f(x,y)是在空间域上等间隔采样得到的是在空间域上等间隔采样得到的MNMN的二的二维离散信号，维离散信号，x x x x和和和和y y y y是离散实变量，是离散实变量，是离散实变量，是离散实变量，u u u u和和和和v v v v为离散频率变量为离散频率变量为离散频率变量为离散频率变量，则二维离散傅里叶变换对一般地定义为：则二维离散傅里叶变换对一般地定义为：则二维离散傅里叶变换对一般地定义为：则二维离散傅里叶变换对一般地定义为：(u=0,1,M-1；v=0,1,N-1)(5.1)(x=0,1,M-1；y=0,1,N-1)(5.2)(5.2)第3页/共76页1 1、二维离散傅里叶变换的定义、二维离散傅里叶变换的定义 在图像处理中，有时为了讨论上的方便，取在图像处理中，有时为了讨论上的方便，取M=NM=N，并，并考虑到正变换与反变换的对称性，就将二维离散傅里叶考虑到正变换与反变换的对称性，就将二维离散傅里叶变换对定义为：变换对定义为：(5.3)(5.4)(5.4)其中，其中，x,y,u,v=0,1,x,y,u,v=0,1,N-1,N-1；二维离散傅里叶变换的定义及意义二维离散傅里叶变换的定义及意义 第4页/共76页 将二维离散傅里叶变换的频谱的平方定义为将二维离散傅里叶变换的频谱的平方定义为将二维离散傅里叶变换的频谱的平方定义为将二维离散傅里叶变换的频谱的平方定义为f(x,y)f(x,y)f(x,y)f(x,y)的的的的功率谱，记为：功率谱，记为：功率谱，记为：功率谱，记为：(5.7)(5.7)反映了二维离散信号的能量在空间频率域上的分布情况。反映了二维离散信号的能量在空间频率域上的分布情况。反映了二维离散信号的能量在空间频率域上的分布情况。反映了二维离散信号的能量在空间频率域上的分布情况。1 1、二维离散傅里叶变换的定义、二维离散傅里叶变换的定义 与一维时的情况类似，可将二维离散傅里叶变换的与一维时的情况类似，可将二维离散傅里叶变换的频频谱谱和和相位角相位角相位角相位角分别定义为：分别定义为：(5.5)(5.6)二维离散傅里叶变换的定义及意义二维离散傅里叶变换的定义及意义 第5页/共76页离散傅里叶变换的定义及意义离散傅里叶变换的定义及意义离散傅里叶变换的定义及意义离散傅里叶变换的定义及意义-频谱示例频谱示例 第6页/共76页离散傅里叶变换的定义及意义离散傅里叶变换的定义及意义离散傅里叶变换的定义及意义离散傅里叶变换的定义及意义-频谱示例频谱示例 第7页/共76页离散傅里叶变换的定义及意义离散傅里叶变换的定义及意义离散傅里叶变换的定义及意义离散傅里叶变换的定义及意义-频谱示例频谱示例 第8页/共76页离散傅里叶变换的定义及意义离散傅里叶变换的定义及意义离散傅里叶变换的定义及意义离散傅里叶变换的定义及意义-频谱示例频谱示例 第9页/共76页2 2、图像傅里叶变换的意义、图像傅里叶变换的意义 （1 1 1 1）简化计算，也即傅里叶变换可将空间域中复杂简化计算，也即傅里叶变换可将空间域中复杂的卷积运算转化为频率域中简单的乘积运算。的卷积运算转化为频率域中简单的乘积运算。（2 2 2 2）对于某些在空间域中难于处理或处理起来比较对于某些在空间域中难于处理或处理起来比较对于某些在空间域中难于处理或处理起来比较对于某些在空间域中难于处理或处理起来比较复杂的问题，利用傅里叶变换把用空间域表示的图像映射复杂的问题，利用傅里叶变换把用空间域表示的图像映射复杂的问题，利用傅里叶变换把用空间域表示的图像映射复杂的问题，利用傅里叶变换把用空间域表示的图像映射到频率域，再利用频域滤波或频域分析方法对其进行处理到频率域，再利用频域滤波或频域分析方法对其进行处理到频率域，再利用频域滤波或频域分析方法对其进行处理到频率域，再利用频域滤波或频域分析方法对其进行处理和分析，然后再把其在频域中处理和分析的结果变换回空和分析，然后再把其在频域中处理和分析的结果变换回空和分析，然后再把其在频域中处理和分析的结果变换回空和分析，然后再把其在频域中处理和分析的结果变换回空间域，从而可达到简化处理和分析的目的。间域，从而可达到简化处理和分析的目的。间域，从而可达到简化处理和分析的目的。间域，从而可达到简化处理和分析的目的。（3 3 3 3）某些只能在频率域处理的特定应用需求，比如某些只能在频率域处理的特定应用需求，比如在频率域进行图像特征提取、数据压缩、纹理分析、水印在频率域进行图像特征提取、数据压缩、纹理分析、水印嵌入等。嵌入等。二维离散傅里叶变换的定义及意义二维离散傅里叶变换的定义及意义 第10页/共76页 性质包括：性质包括：线性性、可分离性、平均值性质、线性性、可分离性、平均值性质、周期性、共扼对称性、空间位置和空间频率的平移周期性、共扼对称性、空间位置和空间频率的平移性、旋转性、尺度变换性、卷积性质等。性、旋转性、尺度变换性、卷积性质等。本节仅介绍几种比较重要且与书中内容有关的本节仅介绍几种比较重要且与书中内容有关的本节仅介绍几种比较重要且与书中内容有关的本节仅介绍几种比较重要且与书中内容有关的性质。性质。性质。性质。二维离散傅里叶变换的若干重要性质二维离散傅里叶变换的若干重要性质第11页/共76页1 1、变换系数矩阵、变换系数矩阵 二维离散傅里叶变换的若干重要性质二维离散傅里叶变换的若干重要性质 根据变换式根据变换式(5.4)(5.4)，由于，由于u u和和v v均有均有0,1,0,1,N-1,N-1的的N N个个可能的取值，所以可能的取值，所以f(x,y)f(x,y)由由N N2 2个频率分量组成，所以每个频率分量组成，所以每个频率分量都与一个特定的个频率分量都与一个特定的(u,v)(u,v)值相对应；值相对应；且对于某个特定的且对于某个特定的且对于某个特定的且对于某个特定的(u,v)(u,v)(u,v)(u,v)值来说，当值来说，当值来说，当值来说，当(x,y)(x,y)(x,y)(x,y)取遍所有取遍所有取遍所有取遍所有可能的值可能的值可能的值可能的值(x=0(x=0(x=0(x=0，1 1 1 1，N-1N-1N-1N-1；y=0y=0y=0y=0，1 1 1 1，N-1N-1N-1N-1）时，）时，）时，）时，就可得到对应于该特定的就可得到对应于该特定的就可得到对应于该特定的就可得到对应于该特定的(u,v)(u,v)(u,v)(u,v)值的一个变换系数矩阵：值的一个变换系数矩阵：值的一个变换系数矩阵：值的一个变换系数矩阵：第12页/共76页二维离散傅里叶变换的若干重要性质二维离散傅里叶变换的若干重要性质1 1、变换系数矩阵、变换系数矩阵 可见，该矩阵的值仅与可见，该矩阵的值仅与可见，该矩阵的值仅与可见，该矩阵的值仅与N N N N有关，与有关，与有关，与有关，与f(x,y)f(x,y)f(x,y)f(x,y)无关。无关。无关。无关。第13页/共76页2 2、可分离性、可分离性 式式(5.3)(5.3)和式和式(5.4)(5.4)的二维离散傅里叶变换对可写成的二维离散傅里叶变换对可写成如下的分离形式：如下的分离形式：(5.9)(5.9)(5.10)(5.10)上述的可分离表示形式说明，可以连续运用两次一上述的可分离表示形式说明，可以连续运用两次一上述的可分离表示形式说明，可以连续运用两次一上述的可分离表示形式说明，可以连续运用两次一维维维维DFTDFTDFTDFT来实现一个二维来实现一个二维来实现一个二维来实现一个二维DFTDFTDFTDFT。二维离散傅里叶变换的若干重要性质二维离散傅里叶变换的若干重要性质第14页/共76页然后再对然后再对然后再对然后再对F(x,v)F(x,v)F(x,v)F(x,v)沿沿沿沿x x x x方向进行一维的方向进行一维的方向进行一维的方向进行一维的(列列列列)变换而得到最变换而得到最变换而得到最变换而得到最后结果：后结果：后结果：后结果：(5.12)(5.12)2 2、可分离性、可分离性 以式以式(5.9)(5.9)：为例，为例，可先沿可先沿可先沿可先沿y y y y轴方向进行一维的轴方向进行一维的轴方向进行一维的轴方向进行一维的(行行行行)变换而求得：变换而求得：变换而求得：变换而求得：(5.11)(5.11)二维离散傅里叶变换的若干重要性质二维离散傅里叶变换的若干重要性质第15页/共76页2 2、可分离性、可分离性 行变换列变换二维离散傅里叶变换的若干重要性质二维离散傅里叶变换的若干重要性质第16页/共76页3 3、平均值、平均值 一幅图像的灰度平均值可表示为：一幅图像的灰度平均值可表示为：(5.13)(5.13)如果将如果将如果将如果将u=v=0u=v=0u=v=0u=v=0代入式代入式代入式代入式(3.28)(3.28)(3.28)(3.28)：可得可得可得可得：(5.14)(5.14)所以，一幅图像的灰度平均值可由所以，一幅图像的灰度平均值可由所以，一幅图像的灰度平均值可由所以，一幅图像的灰度平均值可由DFTDFTDFTDFT在原点处的值求在原点处的值求在原点处的值求在原点处的值求得，即：得，即：得，即：得，即：(5.15)(5.15)二维离散傅里叶变换的若干重要性质二维离散傅里叶变换的若干重要性质第17页/共76页4 4、周期性、周期性 对于对于MNMN的图像和二维离散傅里叶变换对的一般定的图像和二维离散傅里叶变换对的一般定义式义式(5.1)(5.1)和和(5.2)(5.2)，F(u,v)F(u,v)的周期性定义为：的周期性定义为：(m,n=0,1,2,(m,n=0,1,2,）(5.17)(5.17)二维离散傅里叶变换的若干重要性质二维离散傅里叶变换的若干重要性质第18页/共76页5 5、共轭对称性、共轭对称性 设设f(x,y)f(x,y)为实函数，则其傅里叶变换为实函数，则其傅里叶变换F(u,v)F(u,v)具有共具有共轭对称性：轭对称性：(5.18)(5.18)(5.19)(5.19)二维离散傅里叶变换的若干重要性质二维离散傅里叶变换的若干重要性质第19页/共76页6 6、平移性、平移性 对于对于MNMN的图像的图像f(x,y)f(x,y)和二维离散傅里叶变换对的和二维离散傅里叶变换对的一般定义式一般定义式(5.1)(5.1)和和(5.2)(5.2)，若设用符号，若设用符号 表示函数与表示函数与其傅里叶变换的对应性，则傅里叶变换的平移性可表示其傅里叶变换的对应性，则傅里叶变换的平移性可表示为：为：(5.20)(5.20)(5.21)(5.21)其中，其中，其中，其中，式式(5.20)(5.20)说明，给函数乘以一个指数项，就相当说明，给函数乘以一个指数项，就相当于把其变换后的傅里叶频谱在频率域进行平移。于把其变换后的傅里叶频谱在频率域进行平移。式式式式(5.21)(5.21)(5.21)(5.21)说明，给傅里叶频谱乘以一个指数项，说明，给傅里叶频谱乘以一个指数项，说明，给傅里叶频谱乘以一个指数项，说明，给傅里叶频谱乘以一个指数项，就相当于把其反变换后得到的函数在空间域进行平移。就相当于把其反变换后得到的函数在空间域进行平移。就相当于把其反变换后得到的函数在空间域进行平移。就相当于把其反变换后得到的函数在空间域进行平移。二维离散傅里叶变换的若干重要性质二维离散傅里叶变换的若干重要性质第20页/共76页6 6、平移性、平移性 可见，可见，当空域中当空域中f(x,y)f(x,y)产生移动时，在频域中只发产生移动时，在频域中只发生相移，而傅立叶变换的幅值不变，即：生相移，而傅立叶变换的幅值不变，即：同理，同理，当频域中当频域中F(u,v)F(u,v)产生移动时，相应的产生移动时，相应的f(x,y)f(x,y)在空域中也只发生相移，而幅值不变。在空域中也只发生相移，而幅值不变。二维离散傅里叶变换的若干重要性质二维离散傅里叶变换的若干重要性质第21页/共76页7 7、旋转不变形、旋转不变形 (补充补充)如果引入极坐标则f(x,yf(x,y)和F(u,v)F(u,v)分别变为f(r,)f(r,)和 F(,)F(,)。在极坐标系中，存在以下变换对 上式表明，上式表明，上式表明，上式表明，如果空间域函数如果空间域函数如果空间域函数如果空间域函数f(x,y)f(x,y)f(x,y)f(x,y)旋转旋转旋转旋转0 0 0 0角度后，角度后，角度后，角度后，相应的傅立叶变换相应的傅立叶变换相应的傅立叶变换相应的傅立叶变换F(u,vF(u,vF(u,vF(u,v)在频域中也旋转同在频域中也旋转同在频域中也旋转同在频域中也旋转同0 0 0 0角度。角度。角度。角度。同理，同理，同理，同理，F(u,v)F(u,v)F(u,v)F(u,v)在频域中旋转在频域中旋转在频域中旋转在频域中旋转0 0 0 0角度，其反变换角度，其反变换角度，其反变换角度，其反变换f(x,y)f(x,y)f(x,y)f(x,y)在空间域中也旋转在空间域中也旋转在空间域中也旋转在空间域中也旋转0 0 0 0角度。角度。角度。角度。二维离散傅里叶变换的若干重要性质二维离散傅里叶变换的若干重要性质第22页/共76页7 7、旋转不变形、旋转不变形 (补充补充)二维离散傅里叶变换的若干重要性质二维离散傅里叶变换的若干重要性质第23页/共76页1 1、图像傅里叶频谱关于、图像傅里叶频谱关于(M/2(M/2，N/2)N/2)的对称性的对称性 图像的傅里叶频谱特性分析图像的傅里叶频谱特性分析 设设f(x,y)f(x,y)是一幅大小为是一幅大小为MNMN的图像，根据离散傅立的图像，根据离散傅立叶变换的周期性公式叶变换的周期性公式(3.40)(3.40)：有：有：(5.22)(5.22)再根据离散傅立叶变换的共轭对称性式再根据离散傅立叶变换的共轭对称性式再根据离散傅立叶变换的共轭对称性式再根据离散傅立叶变换的共轭对称性式(3.42)(3.42)(3.42)(3.42)：就可得：就可得：就可得：就可得：(5.23)(5.23)(5.23)(5.23)第24页/共76页根据根据(5.23)(5.23)，对于，对于u=0u=0，M M -U U =M M当当v=0v=0时：时：当当当当v=1v=1v=1v=1时：时：时：时：当当当当v=2v=2v=2v=2时：时：时：时：当当当当v=N/2v=N/2v=N/2v=N/2时：时：时：时：0 0N/2N/2N NM MM/2M/2(M,N)(M,N)(M/2,N/2(M/2,N/2)A AB BC CD Dvu(M/2,N(M/2,N)(M,N/2(M,N/2)1 1、图像傅里叶频谱关于、图像傅里叶频谱关于(M/2(M/2，N/2)N/2)的对称性的对称性 (5.23)(5.23)(5.23)(5.23)图像的傅里叶频谱特性分析图像的傅里叶频谱特性分析第25页/共76页1 1、图像傅里叶频谱关于、图像傅里叶频谱关于(M/2(M/2，N/2)N/2)的对称性的对称性 (5.23)(5.23)(5.23)(5.23)同理，对于同理，对于v=0v=0，N N v v =N N：当当u=0u=0时：时：当当当当u=1u=1u=1u=1时：时：时：时：当当当当u=2u=2u=2u=2时：时：时：时：当当当当u=M/2u=M/2u=M/2u=M/2时：时：时：时：0 0N/2N/2N NM MM/2M/2(M,N)(M,N)(M/2,N/2(M/2,N/2)A A A AB BC CD D D Dvu(M/2,N(M/2,N)(M,N/2(M,N/2)由此可得：由此可得：由此可得：由此可得：频谱图频谱图频谱图频谱图A A A A区与区与区与区与D D D D区和区和区和区和B B B B区与区与区与区与C C C C区区区区关于坐标关于坐标关于坐标关于坐标(M/2,N/2)(M/2,N/2)(M/2,N/2)(M/2,N/2)对称。对称。对称。对称。图像的傅里叶频谱特性分析图像的傅里叶频谱特性分析第26页/共76页1 1、图像傅里叶频谱关于、图像傅里叶频谱关于(M/2(M/2，N/2)N/2)的对称性的对称性 图图5.25.2和图和图5.35.3是原点坐标位于是原点坐标位于(0,0)(0,0)的图像的傅的图像的傅里叶变换频谱关于里叶变换频谱关于(M/2,N/2)(M/2,N/2)对称的两个例子。对称的两个例子。图图5.2/5.2/图图5.3 5.3 关于关于(M/2,N/2)(M/2,N/2)对称示例对称示例1/1/示例示例2 2 (a)(a)图像图像 (b)(b)图像的原频谱图图像的原频谱图 (a)(a)图像图像 (b)(b)图像的原频谱图图像的原频谱图图像的傅里叶频谱特性分析图像的傅里叶频谱特性分析第27页/共76页2 2、图像傅里叶频谱特性及其频谱图、图像傅里叶频谱特性及其频谱图(0,0(0,0）(M/2,N/2(M/2,N/2）vuvu0 0N NM M(M,N(M,N）yx0 0N NM M(M,N(M,N）vu图像的傅里叶频谱特性分析图像的傅里叶频谱特性分析第28页/共76页2 2、图像傅里叶频谱特性及其频谱图、图像傅里叶频谱特性及其频谱图 图图图图5.2(b)5.2(b)5.2(b)5.2(b)频谱图频谱图 图图图图5.3(b)5.3(b)5.3(b)5.3(b)频谱图频谱图频谱图频谱图 图图图图5.5 5.5 5.5 5.5 原点平移到原点平移到(M/2(M/2，N/2)N/2)后的频谱图后的频谱图 原点在原点在原点在原点在(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)时的频谱图时的频谱图时的频谱图时的频谱图:图像的傅里叶频谱特性分析图像的傅里叶频谱特性分析第29页/共76页2 2、图像傅里叶频谱特性及其频谱图、图像傅里叶频谱特性及其频谱图（a）原图像 （b）移动前的幅度谱 （c）移动后幅度谱图像的傅里叶频谱特性分析图像的傅里叶频谱特性分析第30页/共76页2 2、图像傅里叶频谱特性及其频谱图、图像傅里叶频谱特性及其频谱图 对于式对于式(5.20):(5.20):当当u u0 0=M/2=M/2，v v0 0=N/2=N/2时，有时，有也即也即 也就是说，图也就是说，图也就是说，图也就是说，图5.55.55.55.5的频谱图的频谱图的频谱图的频谱图(a)(a)(a)(a)和和和和(b)(b)(b)(b)实质上是函数实质上是函数实质上是函数实质上是函数 的傅里叶频谱图。的傅里叶频谱图。的傅里叶频谱图。的傅里叶频谱图。图像的傅里叶频谱特性分析图像的傅里叶频谱特性分析第31页/共76页 图图图图5.2(b)5.2(b)5.2(b)5.2(b)频谱图频谱图 图图图图5.3(b)5.3(b)5.3(b)5.3(b)频谱图频谱图频谱图频谱图 图图图图5.5 5.5 5.5 5.5 原点平移到原点平移到(M/2(M/2，N/2)N/2)后的频谱图后的频谱图 原点在原点在原点在原点在(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)时的频谱图时的频谱图时的频谱图时的频谱图:的傅里叶频谱图。的傅里叶频谱图。的傅里叶频谱图。的傅里叶频谱图。的傅里叶频谱图。的傅里叶频谱图。的傅里叶频谱图。的傅里叶频谱图。图像的傅里叶频谱特性分析图像的傅里叶频谱特性分析第32页/共76页3 3、傅里叶变换在图像处理中的应用、傅里叶变换在图像处理中的应用 基本思路是基本思路是基本思路是基本思路是:先用先用(-1)(-1)(x+y)(x+y)乘以图像得乘以图像得(-1)(-1)(x+y)(x+y)f(x,y)f(x,y)；然后对；然后对其进行傅里叶正变换得到原点在其进行傅里叶正变换得到原点在(M/2,N/2)(M/2,N/2)之处的之处的F(u,v)F(u,v)；接着根据图像的频率特性，利用有关的低通频；接着根据图像的频率特性，利用有关的低通频率滤波器，或高通频率滤波器等，对其进行滤波处理；率滤波器，或高通频率滤波器等，对其进行滤波处理；再将处理的结果进行傅里叶反变换；最后给反变换的结再将处理的结果进行傅里叶反变换；最后给反变换的结果再乘以果再乘以(-1)(-1)(x+y)(x+y)就可得到最终的结果。就可得到最终的结果。典型的应用有：典型的应用有：典型的应用有：典型的应用有：去除图像噪声、图像数据压缩、图去除图像噪声、图像数据压缩、图像识别、图像重构和图像描述等。像识别、图像重构和图像描述等。图像的傅里叶频谱特性分析图像的傅里叶频谱特性分析第33页/共76页快速离散傅里叶变换及其实现快速离散傅里叶变换及其实现 1 1、快速离散傅里叶变换的实现思路、快速离散傅里叶变换的实现思路 在数字图像处理中，当在数字图像处理中，当MNMN图像阵列的图像阵列的M M和和N N较大时，较大时，直接利用离散傅里叶变换的定义式进行计算由于计算量直接利用离散傅里叶变换的定义式进行计算由于计算量非常大，以至于在实际中是无法实现的。快速离散傅里非常大，以至于在实际中是无法实现的。快速离散傅里叶变换算法的出现，才使得傅里叶变换用于实际的图像叶变换算法的出现，才使得傅里叶变换用于实际的图像处理成为可能。处理成为可能。且一般都是将二维图像的处理是分别通过按行和按且一般都是将二维图像的处理是分别通过按行和按列执行一维算法实现。列执行一维算法实现。第34页/共76页快速离散傅里叶变换及其实现快速离散傅里叶变换及其实现 2 2、串行计算二维、串行计算二维DFTDFT的方法的方法 设设f(x,y)f(x,y)是是NNNN的二维实序列，为表述方便，把看的二维实序列，为表述方便，把看作是作是NNNN的图像像素阵列，称：的图像像素阵列，称：为图像像素矩阵的二维离散傅里叶变换为图像像素矩阵的二维离散傅里叶变换(2D-DFT(2D-DFT）。其）。其逆变换逆变换(2D-IDFT(2D-IDFT）为：）为：其中：是变换核。第35页/共76页快速离散傅里叶变换及其实现快速离散傅里叶变换及其实现 2 2、串行计算二维、串行计算二维DFTDFT的方法的方法 根据二维傅里叶变换的可分离性，正变换式可改写根据二维傅里叶变换的可分离性，正变换式可改写成成:上式的表示形式说明，对于二维上式的表示形式说明，对于二维DFTDFT，可先对图像，可先对图像像素矩阵的各列分别进行列傅里叶变换像素矩阵的各列分别进行列傅里叶变换(简称列变换），简称列变换），然后再对变换结果的各行分别进行行傅里叶变换然后再对变换结果的各行分别进行行傅里叶变换(简称简称行变换），这样就可利用一维行变换），这样就可利用一维FFTFFT算法串行计算二维算法串行计算二维DFTDFT。第36页/共76页快速离散傅里叶变换及其实现快速离散傅里叶变换及其实现 2 2、串行计算二维、串行计算二维DFTDFT的方法的方法 (0,0）(0,0）(0,0）N-1 N-1 N-1 N-1 N-1 N-1 逐列变换 逐行变换 第37页/共76页快速离散傅里叶变换及其实现快速离散傅里叶变换及其实现 2 2、串行计算二维、串行计算二维DFTDFT的方法的方法 为了简化程序为了简化程序,可把列变换后的结果进行转置，这可把列变换后的结果进行转置，这样在进行行变换时就可应用列变换的程序，最后再把行样在进行行变换时就可应用列变换的程序，最后再把行变换后的结果进行一次转置即为变换结果。二维正变换变换后的结果进行一次转置即为变换结果。二维正变换的流程可简要描述为：的流程可简要描述为：第38页/共76页5.2 5.2 频率域图像增强频率域图像增强频率域图像增强频率域图像增强 第39页/共76页 对于对于那些在空间域中表述起来比较困难，甚那些在空间域中表述起来比较困难，甚至是不太可能实现的图像处理问题，可以先通过至是不太可能实现的图像处理问题，可以先通过对图像进行离散傅立叶变换把图像变换到频率域，对图像进行离散傅立叶变换把图像变换到频率域，然后利用适当的频率域图像处理方式对图像进行然后利用适当的频率域图像处理方式对图像进行处理，处理完后再把它转换回空间域中，从而解处理，处理完后再把它转换回空间域中，从而解决那些在空间域不便于解决的图像处理问题。决那些在空间域不便于解决的图像处理问题。第40页/共76页 由傅立由傅立叶频谱的特性可知，叶频谱的特性可知，u u和和v v同时为同时为0 0时的频率成时的频率成分对应于图像的平均灰度级。当从分对应于图像的平均灰度级。当从(傅立叶傅立叶)变换的原点变换的原点离开时，低频对应着图像的慢变化分量，比如一幅图像离开时，低频对应着图像的慢变化分量，比如一幅图像中较平坦的区域；当进一步离开原点时，中较平坦的区域；当进一步离开原点时，较高的频率开较高的频率开始对应图像中变化越来越快的灰度级，它们反映了一幅始对应图像中变化越来越快的灰度级，它们反映了一幅图像中物体的边缘和灰度级突发改变图像中物体的边缘和灰度级突发改变(如噪声如噪声)部分的图部分的图像成分。像成分。频率域图像增强正是基于这种机理，通过对图像的频率域图像增强正是基于这种机理，通过对图像的频率域图像增强正是基于这种机理，通过对图像的频率域图像增强正是基于这种机理，通过对图像的傅立叶频谱进行低通滤波傅立叶频谱进行低通滤波傅立叶频谱进行低通滤波傅立叶频谱进行低通滤波(使低频通过，使高频衰减使低频通过，使高频衰减使低频通过，使高频衰减使低频通过，使高频衰减)来来来来虑除噪声，通过对图像的傅立叶频谱进行高通滤波虑除噪声，通过对图像的傅立叶频谱进行高通滤波虑除噪声，通过对图像的傅立叶频谱进行高通滤波虑除噪声，通过对图像的傅立叶频谱进行高通滤波(使高使高使高使高频通过，使低频衰减频通过，使低频衰减频通过，使低频衰减频通过，使低频衰减)突出图像中的边缘和轮廓。突出图像中的边缘和轮廓。突出图像中的边缘和轮廓。突出图像中的边缘和轮廓。基本实现思想基本实现思想 第41页/共76页 设设f(x,y)f(x,y)为输入图像，为输入图像，F(u,v)F(u,v)为输入图像的傅为输入图像的傅立叶变换，立叶变换，H(u,v)H(u,v)为转移函数为转移函数(也称为滤波函数也称为滤波函数)，G(u,v)G(u,v)为对为对F(u,v)F(u,v)进行频率域滤波后的输出，进行频率域滤波后的输出，g(x,y)g(x,y)为经频率域滤波后的输出图像，则有：为经频率域滤波后的输出图像，则有：（5.27）（5.28）基本实现思想基本实现思想 第42页/共76页 频率域图像增强的步骤为：频率域图像增强的步骤为：（1 1）用）用(-1)(-1)(x+y)(x+y)乘以输入图像，进行中心变换；乘以输入图像，进行中心变换；（2 2）对步骤（）对步骤（1 1）的计算结果图像）的计算结果图像(-1)(-1)(x+y)(x+y)f(x,y)f(x,y)进行二维傅立叶变换，即求进行二维傅立叶变换，即求F(u,v)F(u,v)；（3 3）用设计的转移函数）用设计的转移函数H(u,v)H(u,v)乘以乘以F(u,v)F(u,v)，即按，即按式（式（5.275.27）求）求G(u,v)G(u,v)；（4 4）求步骤（）求步骤（3 3）的计算结果的傅立叶反变换，）的计算结果的傅立叶反变换，即计算即计算F F-1-1G(u,v)G(u,v)；（5 5）取步骤（）取步骤（4 4）的计算结果的实部；）的计算结果的实部；（6 6）用）用(-1)(-1)(x+y)(x+y)乘以步骤（乘以步骤（5 5）的计算结果，就可）的计算结果，就可得到通过频率域增强后的图像得到通过频率域增强后的图像g(x,y)g(x,y)。基本实现思想基本实现思想 第43页/共76页 以上过程可简要地描述为图以上过程可简要地描述为图5.75.7。g(x,y)g(x,y)增强后的图像增强后的图像f(x,y)f(x,y)输入图像输入图像F(u,v)H(u,v)F(u,v)傅立叶变 换频率滤波H(u,v)傅立叶反变换前处理后处理图5.7 频率域图像增强步骤 基本实现思想基本实现思想 第44页/共76页转移函数转移函数H(u,v)H(u,v)的设计的设计:比较笼统的说法是，频率域在很大程度上凭直观比较笼统的说法是，频率域在很大程度上凭直观指定滤波器。指定滤波器。比较具体的说法是，一般利用频率成分和图像外比较具体的说法是，一般利用频率成分和图像外表之间的对应关系选选择频率滤波器。表之间的对应关系选选择频率滤波器。更为一般的方法是利用基于数学和统计准则的近更为一般的方法是利用基于数学和统计准则的近似设计二维数字滤波器。似设计二维数字滤波器。转移函数的设计转移函数的设计 第45页/共76页 对于大小为对于大小为MNMN的函数的函数f(x,y)f(x,y)和和h(x,y)h(x,y)，其卷积形，其卷积形式表示为：式表示为：用用F(u,v)F(u,v)和和H(u,v)H(u,v)分别表示分别表示f(x,y)f(x,y)和和h(x,y)h(x,y)的傅立的傅立叶变换，则有傅立叶变换变换对：叶变换，则有傅立叶变换变换对：（5.30）（5.31）基于以上原理，可以先通过滤波实验构造合适的频基于以上原理，可以先通过滤波实验构造合适的频基于以上原理，可以先通过滤波实验构造合适的频基于以上原理，可以先通过滤波实验构造合适的频率滤波器，然后将其变换到空间域，在空间域实施实际率滤波器，然后将其变换到空间域，在空间域实施实际率滤波器，然后将其变换到空间域，在空间域实施实际率滤波器，然后将其变换到空间域，在空间域实施实际的滤波运算。的滤波运算。的滤波运算。的滤波运算。转移函数的设计转移函数的设计 第46页/共76页5.3 5.3 基于频率域的图像噪声消除基于频率域的图像噪声消除基于频率域的图像噪声消除基于频率域的图像噪声消除频率域低通滤波频率域低通滤波 第47页/共76页 在频率域中在频率域中，图像中的噪声和边缘对应于傅立叶频谱的高频部分，选择能使低频通过、使高频衰减的转移函数，就可以实现低通滤波，达到虑除噪声的目的。第48页/共76页理想低通滤波器理想低通滤波器 1.1.理想低通滤波器的转移函数定义理想低通滤波器的转移函数定义 其中其中其中其中，D D0 0是是1 1个非负整数，个非负整数，D(u,v)D(u,v)为频率平面从原点为频率平面从原点到点到点(u,v)(u,v)的距离。并且随着频率平面原点位置的不的距离。并且随着频率平面原点位置的不同同,D(u,v),D(u,v)的值也不同。的值也不同。（5.32）第49页/共76页 D(u,v)D(u,v)的值：的值：(1)(1)如果图像为如果图像为f(x,y)f(x,y)，则对，则对f(x,y)f(x,y)进行傅立叶变换进行傅立叶变换后的频率平面的原点在后的频率平面的原点在(0,0)(0,0)，这时从点，这时从点(u,v)(u,v)到频率平到频率平面原点面原点(0,0)(0,0)的距离为：的距离为：（5.33）0 0N NM M(M,N(M,N）vu理想低通滤波器理想低通滤波器 1.1.理想低通滤波器的转移函数定义理想低通滤波器的转移函数定义 第50页/共76页 D(u,v)D(u,v)的值：的值：(2)(2)如果图像如果图像f(x,y)f(x,y)的尺寸为的尺寸为MNMN，则对，则对(-(-1)1)(x+y)(x+y)f(x,y)f(x,y)进行傅立叶变换后的频率平面的原点在进行傅立叶变换后的频率平面的原点在(M/2,N/2(M/2,N/2），这时从点），这时从点(u,v)(u,v)到频率平面原点到频率平面原点(M/2,N/2)(M/2,N/2)的距离为：的距离为：（5.34）(0,0(0,0）(M/2,N/(M/2,N/2 2）vu理想低通滤波器理想低通滤波器 1.1.理想低通滤波器的转移函数定义理想低通滤波器的转移函数定义 第51页/共76页 2.2.理想低通滤波器的含义理想低通滤波器的含义 在半径为在半径为D D0 0的圆内，所有的频率没有衰减地通过的圆内，所有的频率没有衰减地通过该滤波器该滤波器;而在此半径的圆之外的所有频率完全被衰而在此半径的圆之外的所有频率完全被衰减掉。所以称减掉。所以称D D0 0为截至频率。为截至频率。理想低通滤波器理想低通滤波器 第52页/共76页 3.3.理想低通滤波器的转移函数横截面图和透视图理想低通滤波器的转移函数横截面图和透视图 1 1（a）转移函数 （b）透视图 该透视图的含义是：该透视图的含义是：只有那些位于该圆柱体内的频率范围的信号才能只有那些位于该圆柱体内的频率范围的信号才能通过，而位于圆柱体外的频率成分都将被虑除掉。通过，而位于圆柱体外的频率成分都将被虑除掉。频谱幅度谱理想低通滤波器理想低通滤波器 第53页/共76页 例例频率域理想低通滤波器的滤波效果及低频特性分频率域理想低通滤波器的滤波效果及低频特性分析析 若一般地设若一般地设R R为截止频率的圆周半径，为截止频率的圆周半径，EBEB为圆周为圆周内能量（图像功率）与原图像总能量（总功率）的百内能量（图像功率）与原图像总能量（总功率）的百分比，根据图像信号能量在频率域上的分布有：分比，根据图像信号能量在频率域上的分布有：(5.35)理想低通滤波器理想低通滤波器 第54页/共76页例例（续（续1 1）(a)(a)原图像 (b)(b)频谱图 (c)(c)截止频率半径10 (d)(d)截止频率半径20 (e)(e)截止频率半径40 (f)(f)截止频率半径80 第55页/共76页 1.1.巴特沃斯低通滤波器的转移函数定义巴特沃斯低通滤波器的转移函数定义（5.36）其中其中其中其中，D D0 0为截至频率，为截至频率，D(u,v)D(u,v)为频率平面从原点到点为频率平面从原点到点(u,v)(u,v)的距离，且的距离，且D(u,v)D(u,v)由由(5.34)(5.34)给出。给出。即：即：（5.34）巴特沃斯低通滤波器巴特沃斯低通滤波器第56页/共76页 2.2.转移函数横截面图和透视图转移函数横截面图和透视图（阶数为（阶数为1 13 3）（a）转移函数 （b）透视图 透视图的含义是：透视图的含义是：只有那些位于该草帽型体内的频率范围的信号才只有那些位于该草帽型体内的频率范围的信号才能通过，而位于草帽型体外的频率成分都将被虑除掉。能通过，而位于草帽型体外的频率成分都将被虑除掉。频谱幅度谱巴特沃斯低通滤波器巴特沃斯低通滤波器第57页/共76页 1.1.二维高斯低通滤波器的转移函数定义二维高斯低通滤波器的转移函数定义（5.37）其中其中其中其中，D(u,v)D(u,v)为频率平面从原点到点为频率平面从原点到点(u,v)(u,v)的距离，的距离，表示高斯曲线扩展的程度。当表示高斯曲线扩展的程度。当=D0时，可得到高时，可得到高斯低通滤波器的一种更为标准的表示形式：斯低通滤波器的一种更为标准的表示形式：（5.38）高斯低通滤波器高斯低通滤波器第58页/共76页 2.2.转移函数横截面图和透视图转移函数横截面图和透视图（D=10,20,30D=10,20,30）透视图的含义是：透视图的含义是：只有那些位于该草帽型体内的频率范围的信号才只有那些位于该草帽型体内的频率范围的信号才能通过，而位于草帽型体外的频率成分都将被虑除掉。能通过，而位于草帽型体外的频率成分都将被虑除掉。（a）转移函数 （b）透视图