D极限存在准则及两个重要极限.pptx
例例1.证明证明证:利用夹逼准则.且由第1页/共49页2.函数极限存在的夹逼准则函数极限存在的夹逼准则准则1.且第2页/共49页例2.求解:令则利用夹逼准则可知第3页/共49页3.准则准则2(单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限)(证明略)Mx1x5x4x3x2xna第4页/共49页第5页/共49页第6页/共49页二、二、两个重要极限两个重要极限 注 第7页/共49页圆扇形AOB的面积证:当即亦即时，显然有AOB 的面积AOD的面积故有注 第8页/共49页如何计算：公式的推广：如果请 公式的特点！注意第9页/共49页例例3.求求解:例4.求解:令则因此原式注意：变量代换也是一种很有用的方法第10页/共49页例例5.求求解:原式=例6.已知圆内接正 n 边形面积为证明:证:说明:计算中注意利用第11页/共49页例例7.求求解:例8.求解:原式第12页/共49页例.求 解：因为所以，第13页/共49页解例 当 时，求第14页/共49页第15页/共49页2.证:利用二项式公式,有第16页/共49页大 大 正又比较可知第17页/共49页根据准则根据准则 2 可知数可知数列列即有极限.又内容小结 注:这个极限值被瑞士欧拉（Euler)首先用字母e表示，它是一个无理数,其值用e=2.7182818284)来表示.第18页/共49页2.证:当时,设则第19页/共49页当则从而有故说明:此极限也可写为:时,令更一般地有:第20页/共49页例例9.求求解:令则说明：若利用则 原式第21页/共49页例例10.求求解:原式=第22页/共49页例11求极限解第23页/共49页例11(复利息问题)设银行将数量为A0的款贷出,每期利率为 r.若一期结算一次,则t 期后连本带利可收回 若每期结算 m 次,则 t 期后连本带利可收回 现实生活中一些事物的生长(r0)和衰减(r0)就遵从这种规律,而且是立即产生立即结算。例如细胞的繁殖、树木生长、物体冷却、放射性元素的衰减等。第24页/共49页若按连续复利(将利息记入本金,时刻结算本利和的方法)计算：实质上就是每期的结算次数 时的本利和第25页/共49页贴现问题 与此相反，若已知未来值At求现在值A0，则称贴现问题。这时利率r称为贴现率。连续的贴现公式为：若称A0为现在值，At为未来值，已知现在值求未来值是复利问题:由复利公式，容易推得离散的贴现公式为:第26页/共49页例12 设年利率为6.5，按连续复利计算，现投资多少元，16年之末可得1200元？解：贴现率r=6.5，未来值At=1200，t=16。现在值：第27页/共49页都是无穷小,引例.但 可见无穷小量趋于 0 的速度是多样的.三、无穷小的比较第28页/共49页定义定义.例如例如,当当若则称 是比 高阶的无穷小,若若若若或设是自变量同一变化过程中的无穷小,记作则称 是比 低阶的无穷小;则称 是 的同阶无穷小;则称 是关于 的 k 阶无穷小;则称 是 的等价无穷小,记作第29页/共49页例例1.证明证明:当当时,证:第30页/共49页例例2.证明证明:证:目录 上页 下页 返回 结束 因此 即有等价关系:说明:上述证明过程也给出了等价关系:第31页/共49页定理定理1.证:即即例如,故第32页/共49页定理定理2.设设且存在,则证:例如,等价无穷小替换定理：第33页/共49页 注:此定理表明,求两个无穷小量积或商的极限时,如果分子（或分子的乘积因子）或分母（或分母的乘积因子）的等价无穷小量存在,则就可用它们各自的等价无穷小量来代换原来的分子或 分母（或分子或分母的乘积因子）,使计算简化。第34页/共49页例如,例3.求解:原式 第35页/共49页例例4.求求解:第36页/共49页例例5.第37页/共49页例6.第38页/共49页例7 若 ，求a.解：所以，a=2.第39页/共49页例8 若【分析】本题属于已知极限求参数的反问题.注：一般地，已知解第40页/共49页思考题：已知 ，求 解 因为 ，则所以，利用等价无穷小替换得从而第41页/共49页常用等价无穷小:第八节 第42页/共49页常用等价无穷小:注:代表相同的表达式第43页/共49页内容小结内容小结数列极限存在的夹逼准则函数极限存在的夹逼准则1.极限存在准则:夹逼准则;单调有界准则;第44页/共49页2.两个重要极限两个重要极限或注:代表相同的表达式第45页/共49页3.无穷小的比较设 ,对同一自变量的变化过程为无穷小,且 是 的高阶无穷小 是 的低阶无穷小 是 的同阶无穷小 是 的等价无穷小 是 的 k 阶无穷小第46页/共49页故极限存在，思考题思考题 1.设,且求解：设则由递推公式有数列单调递减有下界，故利用极限存在准则第47页/共49页 2.设设证:显然证明下述数列有极限.即单调增,又存在“拆项相消”法第48页/共49页感谢您的欣赏！第49页/共49页
