第三讲数学解题过程课件.ppt

第三讲数学解题过程第1页，此课件共42页哦怎样学会解数学题怎样学会解数学题第2页，此课件共42页哦第3页，此课件共42页哦第4页，此课件共42页哦第5页，此课件共42页哦第6页，此课件共42页哦 解题的分析解题的分析案例：案例：20052005年北京市海淀区中考数学试题年北京市海淀区中考数学试题第7页，此课件共42页哦第8页，此课件共42页哦还有反思分析的余地吗?第9页，此课件共42页哦1 解题步骤的结构分析逻辑关系的结构提炼第10页，此课件共42页哦第11页，此课件共42页哦由已知二次.方程中分别给出了根、系数的约束条件想到，应找出根与系数的关系，选择求根公式。第12页，此课件共42页哦根与系数均为整数，由求根公式看出方程的判别式应为完全平方数第13页，此课件共42页哦用分解法解二元二次不定方程(再次用到m为整数的条件)第14页，此课件共42页哦代入原方程，得这个方程确有两个整数根整数=2满足充要条件，故为所求.第15页，此课件共42页哦第16页，此课件共42页哦2 逻辑结构的初步分析（1）在这个解法中，用到了二次方程的求根公式(公式法)、判别式的讨论(为平方数)、二元二次不定方程(分解法求招数解)、整数4的分解(及奇偶分析法)、二元一次方程的求解(消元法)等知识，两个整数条件都使用了两次，按先必要后充分的顺序组织步骤结构.这样，我们就弄清楚了解题中用到哪些知识、哪些方法(有川捕捉、有关提取)，它们又是怎样组成一个和谐的逻辑结构的有效组合).第17页，此课件共42页哦（2）这6个步骤一环扣一环。看上去是哪一步都不能省;第18页，此课件共42页哦3解题过程的自觉反思3.1反思问题表征第19页，此课件共42页哦第20页，此课件共42页哦3.2反思资源配置第21页，此课件共42页哦第22页，此课件共42页哦3.3 反思策略选择第23页，此课件共42页哦4 信息交合 信息交合，主要.是抓住整体分解中提炼出来的本质步骤.将信息单元转换或重组为更接近问题深层结构的新解法。第24页，此课件共42页哦第25页，此课件共42页哦第26页，此课件共42页哦第27页，此课件共42页哦第28页，此课件共42页哦回顾分析的框架第29页，此课件共42页哦选取一个案例.确定一个分析的视角第30页，此课件共42页哦选择一个分析的方法.第31页，此课件共42页哦作业：一个案例第32页，此课件共42页哦实实 数数 1无理数的引入无理数的引入定理定理1 没有一个有理数，它的平方等于没有一个有理数，它的平方等于2证明：证明：首先，因为首先，因为12=1，22=4，所以，所以12222，因此，没有一个，因此，没有一个正整数，它的平方等于正整数，它的平方等于2 其次，我们来证明任一正分数的平方也不等于其次，我们来证明任一正分数的平方也不等于2 说明有理数集不能满足开方运算的需要，为此，有必要说明有理数集不能满足开方运算的需要，为此，有必要引进新数，把有理数集予以扩充引进新数，把有理数集予以扩充定义定义1 已知线段已知线段AB和和CD，如果存在第三条线段，如果存在第三条线段EF去度量去度量AB和和CD，刚好都能整数次量完，就说线段，刚好都能整数次量完，就说线段EF是线段是线段AB和和CD的公度，的公度，这时就说这时就说AB和和CD可公度可公度第33页，此课件共42页哦例例1 正方形的边与对角线不可公度正方形的边与对角线不可公度如图如图1，正方形，正方形ACEF的面积是正方形的面积是正方形ABCD的面积的的面积的2倍，如倍，如果果AB与与AC可公度，则必存在一线段，在可公度，则必存在一线段，在AB上量上量n次，在次，在AC上量上量m次都恰巧量尽把该线段作为度量单位，则正方次都恰巧量尽把该线段作为度量单位，则正方形形ACEF的面积是的面积是 AC无公度。第34页，此课件共42页哦 2无理数的概念无理数的概念 由于十九世纪数学分析发展的需要，戴德金、康托、维由于十九世纪数学分析发展的需要，戴德金、康托、维尔斯特拉斯等人，几乎同时建立了实数理论，但那几种建立尔斯特拉斯等人，几乎同时建立了实数理论，但那几种建立实数理论的方法，不可能直接用于中学数学教学，在中学里，实数理论的方法，不可能直接用于中学数学教学，在中学里，一般还是以无穷十进小数来定义实数的一般还是以无穷十进小数来定义实数的 阿基米德公理阿基米德公理 不论线段不论线段OP与与OM是怎样的线段，总存在自然数是怎样的线段，总存在自然数n，使，使nOPOM 这条公理说的是，无论线段这条公理说的是，无论线段OP怎样小，点怎样小，点M距距O怎样远，用怎样远，用OP在直线上连续截取足够多次，总可得到一点在直线上连续截取足够多次，总可得到一点Q，位于点，位于点M右端右端(如如图图2)第35页，此课件共42页哦 稠密性公理：在直线上不同两点稠密性公理：在直线上不同两点A、B之间存在着无数个点。之间存在着无数个点。连续公理：在一条直线上的线段的无穷序列连续公理：在一条直线上的线段的无穷序列A1B1，A2B2，AnBn，如果有以下性质如果有以下性质：后继的线段被前一线段所包含；后继的线段被前一线段所包含；对于任意给出的一条无论怎样小的线段对于任意给出的一条无论怎样小的线段d，总存在某自然数，总存在某自然数n，使线，使线段段AnBn都小于都小于d，则必定存在唯一地点，则必定存在唯一地点P属于这个序列地所有线属于这个序列地所有线段。段。（退缩线段原理）（退缩线段原理）第36页，此课件共42页哦对于直线对于直线MN上的某线段上的某线段OP的度量，可按下面的步骤进行：的度量，可按下面的步骤进行：先取一条作为单位长度的线段先取一条作为单位长度的线段e从从O点沿着点沿着OP连续截取单连续截取单位线段位线段e，根据阿基米德公理，这个步骤进行到，根据阿基米德公理，这个步骤进行到P0次时，所得次时，所得线段还小于或等于线段还小于或等于OP，而截取，而截取p0+1次所得线段次所得线段OB0就超过就超过OP，这时有以下两种可能情形：这时有以下两种可能情形：(1)线段线段E恰好在恰好在OP上截取上截取P0次，这时线段次，这时线段OP的长度可以用非负的长度可以用非负整数整数p0表示表示 (2)线段线段E在在OP上截取上截取p0次后还剩下小于次后还剩下小于E的线段的线段A0P，而线段，而线段A0B0(=(p0+1)E)含点含点P，这时数，这时数p0和和p0+1可以分别看作是线段可以分别看作是线段OP的长度的长度精确到精确到1的不足近似值和过剩近似值的不足近似值和过剩近似值 定义定义2 无限不循环小数无限不循环小数p0p1p2pn叫做无理数，其中叫做无理数，其中p0是自然数是自然数或零，或零，0pi9(i=1，2，n，)第37页，此课件共42页哦3.实数的定义实数的定义定义定义3 有理数与无理数总称为实数有理数与无理数总称为实数 由于有理数都可以用无限循环小数表示由于有理数都可以用无限循环小数表示(整数和有限小数都整数和有限小数都可以表示成以零或可以表示成以零或9为循环节的无限小数为循环节的无限小数)，而无理数是无限不，而无理数是无限不循环小数，所以实数也可以定义为无限小数循环小数，所以实数也可以定义为无限小数4、实数的顺序、实数的顺序 5、实数的运算、实数的运算第38页，此课件共42页哦6、实数集的性质、实数集的性质（1）实数集是一个数域）实数集是一个数域 在实数集里定义了加、减、乘、除在实数集里定义了加、减、乘、除(除数不为除数不为0)四种运算，这四种运算，这些运算都封闭且满足算律，故实数集是一个数域，记为些运算都封闭且满足算律，故实数集是一个数域，记为R 实数域包含有理数域实数域包含有理数域（2）实数域是一个有序域）实数域是一个有序域 实数集里任两实数之间存在顺序关系，且满足顺序律，故实实数集里任两实数之间存在顺序关系，且满足顺序律，故实数集是个有序集数集是个有序集 其次，对于任意一个实数其次，对于任意一个实数，0，=0，-0有且仅有一个有且仅有一个成立且若实数成立且若实数0，0，则，则+0，0，故实数集还，故实数集还是个有序域是个有序域（3）实数域具有稠密性）实数域具有稠密性（4）实数域是阿基米德数域即在）实数域是阿基米德数域即在R中满足阿基米德公理中满足阿基米德公理第39页，此课件共42页哦复复 数数1、复数的概念及复数域的构成、复数的概念及复数域的构成定义定义4 设设(a，b)是有序实数对，是有序实数对，C0是所有这种数对的集合在是所有这种数对的集合在C0中中我们定义：我们定义：(1)当且仅当当且仅当a=c，b=d时，时，(a，b)=(c，d)；(2)数对的加法：数对的加法：(a，b)+(c，d)=(a+c，b+d)；(3)数对的乘法：数对的乘法：(a，b)(c，d)=(ac-bd，ad+bc)定理定理2 全体有序实数对的集合全体有序实数对的集合C0关于上述加法和乘法构成一个域关于上述加法和乘法构成一个域要证明要证明C0对上述定义的加法和乘法构成一个域，就要证明：对上述定义的加法和乘法构成一个域，就要证明：(1)加法的结加法的结合律；合律；(2)加法的交换律；加法的交换律；(3)加法有零元；加法有零元；(4)对对C0的每一个元素，的每一个元素，都有加性逆元；都有加性逆元；(5)乘法的结合律；乘法的结合律；(6)乘法的交换律；乘法的交换律；(7)乘法对加法乘法对加法的分配律；的分配律；(8)乘法有单位元；乘法有单位元；(9)对对C0的每个非零元素，都有乘的每个非零元素，都有乘性逆元性逆元第40页，此课件共42页哦 设设R0是是C0中所有形如中所有形如(a，0)的实数对作成的集合的实数对作成的集合 设设f：(a，0)a是是R0到实数域到实数域R的一个映射，的一个映射，f是是R0到到R上的同构上的同构映射映射 设设C是这样的集合，它以是这样的集合，它以R为真子集，且还包含为真子集，且还包含C0中一切不是形如中一切不是形如(a，0)的有序对建立的有序对建立C0到到C的一个映射的一个映射f：f()=a，当，当=(a，0)，f()=，当，当(a，0)，这里这里a R，为为C0中任二元素不难证明，中任二元素不难证明，f是是C0到到C上的一一上的一一映射映射第41页，此课件共42页哦 在集合在集合C中，定义加法和乘法如下：中，定义加法和乘法如下：f()f()f()(*)f()f()=f()，这里这里，是是C0中的任意元素因为中的任意元素因为f是是C0到到C上的一一映射，故上的一一映射，故f()，f()是是C的任意元素，由于的任意元素，由于，在在C0中唯一确定，因中唯一确定，因此此f()，f()就唯一确定，从而就唯一确定，从而f()f()，f()f()就唯一确就唯一确定因而等式定因而等式(*)，对于集合，对于集合C中的任意元素实际定义出加法和乘中的任意元素实际定义出加法和乘法，因此法，因此C是具有两种代数运算的集合另一方面等式是具有两种代数运算的集合另一方面等式(*)指出指出集合集合C关于这样定义的两种运算与域关于这样定义的两种运算与域C0同构所以同构所以C是一个域是一个域 我们把上面得到的域我们把上面得到的域C叫做复数域，其中的元素叫做复数叫做复数域，其中的元素叫做复数R是是它的子域它的子域第42页，此课件共42页哦