第二节可分离变量的微分方程课件.ppt

第二节可分离变量的微分方程第1页，此课件共20页哦一、可分离变量的微分方程一、可分离变量的微分方程形如形如 的方程，称为的方程，称为可分离变量可分离变量的微分方程的微分方程.分离变量，得：分离变量，得：设设 y=(x)是方程是方程的解的解,则有恒等式：则有恒等式：两边积分两边积分,得得 即：即：设函数设函数 G(y)和和 F(x)是是 g(y)和和 f(x)的一个原函数的一个原函数,则有则有第2页，此课件共20页哦当当 G(y)与与F(x)可微且可微且 G(y)=g(y)0时时,说明由说明由确定的隐确定的隐函数函数 y=(x)是是的解的解.称称为方程为方程的的隐式通解隐式通解,或或通积分通积分.同样同样,当当F(x)=f(x)0时时,上述过程可逆上述过程可逆,由由确定的隐确定的隐函数函数 x=(y)也是也是的解的解.第3页，此课件共20页哦一、可分离变量的微分方程一、可分离变量的微分方程形如形如 的方程，称为的方程，称为可分离变量可分离变量的微分方程的微分方程.求解步骤求解步骤：(变量分离法变量分离法)1、分离变量、分离变量,得得2、两边积分、两边积分,得得3、求出通解、求出通解隐函数确定的微分方程的解隐函数确定的微分方程的解微分方程的隐式通解微分方程的隐式通解第4页，此课件共20页哦例例1 1 求解微分方程求解微分方程解解分离变量分离变量,得得两端积分两端积分,得得二、典型例题二、典型例题解得解得第5页，此课件共20页哦例例2 2 求解微分方程求解微分方程解解分离变量分离变量,得得两端积分两端积分,得得解得解得第6页，此课件共20页哦解解分离变量分离变量,得得两端积分两端积分,得得解得解得第7页，此课件共20页哦解解根据题意根据题意,有有(初始条件初始条件)对方程分离变量对方程分离变量,即即利用初始条件利用初始条件,得得故所求铀的变化规律为故所求铀的变化规律为然后积分然后积分:第8页，此课件共20页哦解解 根据牛顿第二定律根据牛顿第二定律,得得初始条件为初始条件为对方程分离变量对方程分离变量,然后积分然后积分:得得利用初始条件利用初始条件,得得代入上式后化简代入上式后化简,得特解得特解例例 设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度成正比成正比,并设降落伞离开跳伞塔时并设降落伞离开跳伞塔时(t=0)速度为速度为0,求求降落伞下落速度与时间的函数关系降落伞下落速度与时间的函数关系.t 足够大时足够大时第9页，此课件共20页哦解解分离变量分离变量,解得解得然后积分然后积分:第10页，此课件共20页哦可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程初值问题初值问题:的解也可直接用变上限积分来确定：的解也可直接用变上限积分来确定：第11页，此课件共20页哦分离变量法步骤分离变量法步骤:1.分离变量分离变量;2.两端积分两端积分隐式通解隐式通解.三、小结三、小结若是求特解，还需根据初值条件定常数若是求特解，还需根据初值条件定常数 .第12页，此课件共20页哦(1)找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程.常用的方法常用的方法:1)根据几何关系列方程根据几何关系列方程,2)根据物理规律列方程根据物理规律列方程,3)根据微量分析平衡关系列方程根据微量分析平衡关系列方程.(2)利用反映事物个性的特殊状态确定初值条件利用反映事物个性的特殊状态确定初值条件.(3)求通解求通解,并根据初值条件确定特解并根据初值条件确定特解.3.解解微分方程应用题的方法和步骤微分方程应用题的方法和步骤第13页，此课件共20页哦思考与练习思考与练习求方程的通解求方程的通解:提示提示:方程变形为方程变形为第14页，此课件共20页哦练练 习习 题题第15页，此课件共20页哦第16页，此课件共20页哦练习题答案练习题答案第17页，此课件共20页哦例例 9 有高为有高为 1 m 的半球形容器的半球形容器,水从它的底部小孔流水从它的底部小孔流出出,小孔横截面积为小孔横截面积为 1 cm2(如图如图).开始时容器内盛开始时容器内盛满了水满了水,求水从小孔流出过程中容器里水面的高度求水从小孔流出过程中容器里水面的高度 h(水面与孔口中心间的距离水面与孔口中心间的距离)随时间随时间t 的变化规律的变化规律.解解由力学知识得由力学知识得,水从孔口流出水从孔口流出的流量为的流量为流量系数流量系数孔口截面面积孔口截面面积重力加速度重力加速度第18页，此课件共20页哦设在微小的时间间隔设在微小的时间间隔水面的高度由水面的高度由 h 降至降至 h+dh,比较比较(1)和和(2)得得:第19页，此课件共20页哦即为未知函数的微分方程即为未知函数的微分方程.可分离变量可分离变量所求规律为所求规律为第20页，此课件共20页哦