D129常系数非齐次.pptx

一、一、为实数,设特解为其中 为待定多项式,代入原方程,得(1)若 不是特征方程的根,则取从而得到特解形式为为 m 次多项式.Q(x)为 m 次待定系数多项式第1页/共23页(2)若 是特征方程的单根,为m 次多项式,故特解形式为(3)若 是特征方程的重根,是 m 次多项式,故特解形式为小结对方程,此结论可推广到高阶常系数线性微分方程.即即当 是特征方程的 k 重根 时,可设特解第2页/共23页例例1.的一个特解.解:本题而特征方程为不是特征方程的根.设所求特解为代入方程:比较系数,得于是所求特解为第3页/共23页例例2.的通解.解:本题特征方程为其根为对应齐次方程的通解为设非齐次方程特解为比较系数,得因此特解为代入方程得所求通解为第4页/共23页例例3.求解定解问题求解定解问题解:本题特征方程为其根为设非齐次方程特解为代入方程得故故对应齐次方程通解为原方程通解为由初始条件得第5页/共23页于是所求解为解得第6页/共23页二、二、对非齐次方程则可设特解:其中 为特征方程的 k 重根(k =0,1),上述结论也可推广到高阶方程的情形.第7页/共23页例例4.的一个特解.解:本题 特征方程故设特解为不是特征方程的根,代入方程得比较系数,得于是求得一个特解第8页/共23页例例5.的通解.解:特征方程为其根为对应齐次方程的通解为比较系数,得因此特解为代入方程:所求通解为为特征方程的单根,因此设非齐次方程特解为第9页/共23页例例6.解:(1)特征方程有二重根所以设非齐次方程特解为(2)特征方程有根利用叠加原理,可设非齐次方程特解为设下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式:第10页/共23页内容小结内容小结 为特征方程的 k(0,1,2)重根,则设特解为为特征方程的 k(0,1)重根,则设特解为3.上述结论也可推广到高阶方程的情形.第11页/共23页思考与练习思考与练习时可设特解为 时可设特解为 提示:1.(填空)设第12页/共23页2.求微分方程求微分方程的通解 (其中为实数).解:特征方程特征根:对应齐次方程通解:时,代入原方程得故原方程通解为时,代入原方程得故原方程通解为第13页/共23页3.已知二阶常微分方程已知二阶常微分方程有特解求微分方程的通解.解:将特解代入方程得恒等式比较系数得故原方程为对应齐次方程通解:原方程通解为第14页/共23页欧拉方程 常系数线性微分方程第15页/共23页欧拉方程的算子解法欧拉方程的算子解法:则第16页/共23页则由上述计算可知:用归纳法可证 于是欧拉方程 转化为常系数线性方程:第17页/共23页例例1.解:则原方程化为亦即其根则对应的齐次方程的通解为特征方程 第18页/共23页 的通解为换回原变量,得原方程通解为设特解:代入确定系数,得第19页/共23页例例2.解:将方程化为(欧拉方程)则方程化为即特征根:设特解:代入 解得 A=1,所求通解为 第20页/共23页例例3.解:由题设得定解问题则化为特征根:设特解:代入得 A1 第21页/共23页得通解得通解为为利用初始条件得故所求特解为第22页/共23页感谢您的欣赏！第23页/共23页