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第二讲向量与矩阵运算第1页，此课件共39页哦qq 向量与矩阵的生成向量与矩阵运算向量与矩阵运算u 向量的生成向量的生成 直接输入直接输入:规则：向量元素必须用 括住行向量元素必须用逗号或空格分隔 列向量元素必须用分号分隔矩阵元素可以是任何matlab表达式，可以是实数，也可以是复数，复数可用特殊函数i，j 输入 例：x=2 pi/2;sqrt(3)3+5ia=1,2,3,4a=1;2;3;4第2页，此课件共39页哦u 向量的生成向量的生成 直接输入直接输入:冒号运算符：形式冒号运算符：形式x=x0:step:xna=1:4 =a=1,2,3,4b=0:pi/3:pi =b=0,1.0472,2.0944,3.1416c=6:-2:0 =c=6,4,2,0例例：注意注意:此时 可不用。冒号的作用冒号的作用：用于生成等间隔的向量，默认间隔为1。第3页，此课件共39页哦u 向量的生成向量的生成 直接输入直接输入:冒号运算符冒号运算符 从矩阵中抽取行或列从矩阵中抽取行或列A=1 2 3;4 5 6;7 8 9;B=A(1,:)B=1 2 3冒号的作用冒号的作用：用于用于选出矩阵指定行、列及元素。第4页，此课件共39页哦u 向量的生成向量的生成 直接输入直接输入:冒号运算符冒号运算符 从矩阵中抽取行或列从矩阵中抽取行或列 用用matlab函数函数A=linspace(1,5)%产生15的100个线性等间隔的数 注注意意：与冒号运算符方法的区别A=logspace(1,5)%产生101105的50个对数等间隔的数注意：matlab严格区分大小写字母，因此a与A是两个不同的变量。matlab函数名必须小写。第5页，此课件共39页哦u 矩阵的生成矩阵的生成 直接输入直接输入:A=1,2,3;4,5,6;7,8,9 由向量生成由向量生成 由函数生成由函数生成 通过编写通过编写m文件生成文件生成例例：x=1,2,3;y=2,3,4;A=x,y,B=x;y例例：load A.mat 通过外部数据文件加载通过外部数据文件加载例例：C=magic(3)第6页，此课件共39页哦常见矩阵生成函数zeros(m,n)生成一个 m 行 n 列的零矩阵，m=n 时可简写为 zeros(n)ones(m,n)生成一个 m 行 n 列的元素全为 1 的矩阵,m=n 时可写为 ones(n)eye(m,n)生成一个主对角线全为 1 的 m 行 n 列矩阵,m=n 时可简写为 eye(n)，即为 n 维单位矩阵diag(X)若 X 是矩阵，则 diag(X)为 X 的主对角线向量若 X 是向量，diag(X)产生以 X 为主对角线的对角矩阵tril(A)提取一个矩阵的下三角部分triu(A)提取一个矩阵的上三角部分rand(m,n)产生 01 间均匀分布的随机矩阵 m=n 时简写为 rand(n)randn(m,n)产生均值为0，方差为1的标准正态分布随机矩阵m=n 时简写为 randn(n)第7页，此课件共39页哦矩阵的修改l l 直接修改 可用可用可用可用 键找到所要修改的矩阵，用键找到所要修改的矩阵，用键找到所要修改的矩阵，用键找到所要修改的矩阵，用键移动到要修改的矩键移动到要修改的矩键移动到要修改的矩键移动到要修改的矩阵元素上即可修改阵元素上即可修改阵元素上即可修改阵元素上即可修改。指令修改 可以用A(,)=来修改。第8页，此课件共39页哦例如例如a=1 2 0;3 0 5;7 8 9a=1 2 0 3 0 5 7 8 9a(3,3)=0a=1 2 0 3 0 5 7 8 0第9页，此课件共39页哦l l把matlab工作空间中一些有用的数据长久保存下来的方法是生成mat数据文件。save 将工作空间中所有的变量存到matlab.mat文件中。数据的保存与获取默认文件名第10页，此课件共39页哦save datasave data将工作空间中所有的变量存到将工作空间中所有的变量存到将工作空间中所有的变量存到将工作空间中所有的变量存到data.matdata.mat文件中文件中文件中文件中。save data a bsave data a b 将工作空间中将工作空间中将工作空间中将工作空间中a a和和和和b b变量存到变量存到变量存到变量存到data.matdata.mat文件中。文件中。文件中。文件中。下次运行下次运行下次运行下次运行matlabmatlab时即可用时即可用时即可用时即可用loadload指令调用已生成的指令调用已生成的指令调用已生成的指令调用已生成的matmat文件文件文件文件。第11页，此课件共39页哦load load data load data a b mat文件是标准的二进制文件，还可以ASCII码形式保存。即可恢复保存过的所有变量第12页，此课件共39页哦向量的运算向量的点积：向量的点积：格式：格式：c=dot(A,B)%返回向量返回向量A、B的标量积。的标量积。A、B必须长度相等，与必须长度相等，与sum(a.*b)等效）等效）c=dot(A,B,dim)向量的加减（数加减）：向量的加减（数加减）：向量的数乘向量的数乘向量的叉积：向量的叉积：格式：格式：c=cross(A,B)%返回向量返回向量A、B的叉积的叉积向量。向量。A、B必须必须3个元素的向量个元素的向量c=cross(A,B,dim)第13页，此课件共39页哦矩阵操作q 提取矩阵的部分元素：提取矩阵的部分元素：冒号运算符冒号运算符u A(:)A的所有元素的所有元素u A(:,:)二维矩阵二维矩阵A的所有元素的所有元素u A(:,k)A的第的第 k 列列，A(k,:)A的第的第 k 行行 u A(k:m)A的第的第 k 到第到第 m 个元素个元素u A(:,k:m)A的第的第 k 到第到第 m 列组成的子矩阵列组成的子矩阵A(:)与与 A(:,:)的区别的区别?如何获得由如何获得由 A 的第一、三行和第一、二列组成的子矩阵？的第一、三行和第一、二列组成的子矩阵？自己动手b=a(1,1:2);a(3,1:2)第14页，此课件共39页哦矩阵操作q 矩阵的旋转矩阵的旋转u fliplr(A)左右旋转左右旋转u flipud(A)上下旋转上下旋转u rot90(A)逆时针旋转逆时针旋转 90 度；度；rot90(A,k)逆时针旋转逆时针旋转 k90 度度例例：A=1 2 3;4 5 6 B=fliplr(A)C=flipud(A)D=rot90(A),E=rot90(A,-1)第15页，此课件共39页哦矩阵操作q 矩阵的转置与共轭转置矩阵的转置与共轭转置u 共轭转置共轭转置u .转置，矩阵元素不取共轭转置，矩阵元素不取共轭例例：A=1 2;2i 3i B=A C=A.点与单引号之间不能有空格点与单引号之间不能有空格！第16页，此课件共39页哦矩阵操作q 改变矩阵的形状：改变矩阵的形状：reshapereshape(A,m,n):将矩阵元素按将矩阵元素按 列方向列方向 重组成重组成m*nm*n的矩阵的矩阵重组后得到的新矩阵的元素个数重组后得到的新矩阵的元素个数必须与原矩阵元素个数相等必须与原矩阵元素个数相等！第17页，此课件共39页哦矩阵操作q 查看矩阵的大小：查看矩阵的大小：sizeu size(A)列出矩阵列出矩阵 A 的的行数和列数行数和列数u size(A,1)返回矩阵返回矩阵 A 的的行数行数u size(A,2)返回矩阵返回矩阵 A 的的列数列数例例：A=1 2 3;4 5 6 size(A)size(A,1)size(A,2)u length(x)返回向量返回向量 X 的的长度长度u length(A)等价于等价于 max(size(A)第18页，此课件共39页哦矩阵基本运算q 矩阵的加减矩阵的加减：对应分量进行运算对应分量进行运算要求：要求：1.参与加减运算的矩阵具有相同的维数参与加减运算的矩阵具有相同的维数2.允许参与运算的两矩阵之一是标量。标量与矩阵的允许参与运算的两矩阵之一是标量。标量与矩阵的所有元素分别进行加减操作。所有元素分别进行加减操作。例例：A=1 2 3;4 5 6;B=3 2 1;6 5 4 C=A+B;D=A-B;q 矩阵的普通乘法矩阵的普通乘法要求参与运算的矩阵满足线性代数中矩阵相乘的原则，要求参与运算的矩阵满足线性代数中矩阵相乘的原则，标量可与任何矩阵相乘标量可与任何矩阵相乘例例：A=1 2 3;4 5 6;B=2 1;3 4;C=A*B D=A*pi第19页，此课件共39页哦矩阵基本运算q 矩阵的除法矩阵的除法：/、右除和左除右除和左除 若 A 可逆方阵，则AB A 的逆左乘的逆左乘 B =inv(A)*BB/A A 的逆右乘的逆右乘 B B*inv(A)X=AB A*X=BX=B/A X*A=B 通常，矩阵除法可以理解为 当当 A 和和 B 行数相等时即可进行左除行数相等时即可进行左除 当当 A 和和 B 列数相等时即可进行右除列数相等时即可进行右除第20页，此课件共39页哦矩阵的乘方u A 是方阵，p 是正整数Ap 表示 A 的 p 次幂，即 p 个 A 相乘。u 若 A 是方阵，p 不是正整数 Ap 的计算涉及到 A 的特征值分解，即若 A=V*D*V-1 则 Ap=V*(D.p)/V第21页，此课件共39页哦矩阵的乘方u 若 a 是标量，A 是方阵，且 V,D=eig(A)，则 aA V*(aD)/Vu 若 A,P 均是矩阵，则 AP 无定义u 若 a 是标量，则第22页，此课件共39页哦矩阵的 Kronecker 乘积q 矩阵矩阵 Kronecker 乘积的定义乘积的定义 设A是nm矩阵，B是pq矩阵，则A与B的kronecker乘积为：q Kronecker 乘积的性质乘积的性质u 是是 npmq 矩阵；矩阵；通常通常u 任何两个矩阵都有任何两个矩阵都有 Kronecker 乘积乘积 u Matlab 中实现两个矩阵中实现两个矩阵 Kronecker 相乘的函数为相乘的函数为kron(A,B)Kronecker乘积有时也称张量积乘积有时也称张量积第23页，此课件共39页哦l linv 矩阵求逆l ldet 行列式的值l leig 矩阵的特征值l ldiag 对角矩阵 l l 矩阵转置l lsqrt 矩阵开方矩阵的其它运算 第24页，此课件共39页哦矩阵的数组运算q 数组运算：数组运算：对应元素进行运算点与算术运算符之间不能有空格！u 数组运算包括：点加、点减（与矩阵加减运算等校）、点乘、点加、点减（与矩阵加减运算等校）、点乘、点除、点幂点除、点幂u 相应的数组运算符为：“.*”，“./”，“.”和“.”参与运算的对象必须具有相同的形状！例例：A=1 2 3;4 5 6;B=3 2 1;6 5 4;C=A.*B;D=A./B;E=A.B;F=A.B;第25页，此课件共39页哦a=1 2 3;4 5 6;7 8 9;b=2 4 6;1 3 5;7 9 10;a.*bans=2 8 18 4 15 30 49 72 90a*bans=25 37 46 55 85 109 85 133 172第26页，此课件共39页哦a./b=b.a 都是都是a的元素被的元素被b的对应元的对应元 素除素除a.b=b./a 都是都是a的元素被的元素被b的对应元的对应元 素除素除例:a=1 2 3;b=4 5 6;c1=a.b;c2=b./ac1=4.0000 2.5000 2.0000c2=4.0000 2.5000 2.0000第27页，此课件共39页哦a=1 2 3;b=4 5 6;z=a.bz=1.00 32.00 729.00第28页，此课件共39页哦函数取值设设 x 是变量，是变量，f 是一个函数是一个函数u 当当 x=a 是标量时，是标量时，f(x)=f(a)也是一个标量也是一个标量u 当当 x=a,b,c 是向量时，是向量时，f(x)=f(a),f(b),f(c)q 函数作用在矩阵上的取值函数作用在矩阵上的取值u 若若 A 是矩阵，则是矩阵，则 f(A)是一个与是一个与 A 同形状的矩阵同形状的矩阵 f 作用在作用在 x 的的每个分量上每个分量上第29页，此课件共39页哦函数取值例例：x=0:pi/4:pi;A=1 2 3;4 5 6;y1=sin(x);y2=exp(A);y3=sqrt(A);例例：第30页，此课件共39页哦矩阵的超越函数q Matlab 提供了三种矩阵函数：expm、sqrtm、logm详情参见联机帮助（详情参见联机帮助（help expm/sqrtm/logm）q 更一般的矩阵函数：funmu funm(A,fun)参数参数 fun 的可以是的可以是 exp,，log，cos，sin，cosh，sinh 第31页，此课件共39页哦数与数组的点幂x.y=14,25,36=1,32,729 x.2=12,22,32=1,4,9 2.x=?例例：x=1 2 3;y=4 5 6;2.x;y=?Matlab中的所有中的所有标点符号必须在标点符号必须在英文状态下输入英文状态下输入第32页，此课件共39页哦Matlab中常见数学函数sin、cos、tan、cot、sec、csc、asin、acos、atan、acot、asec、acsc、exp、log、log2、log10、sqrtabs、conj、real、imag、signfix、floor、ceil、round、mod、remmax、min、sum、mean、sort、fftnorm、rank、det、inv、eig、lu、qr、svdlog 是自然对数，即以是自然对数，即以 e 为底数为底数mod(x,y)结果与结果与 y 同号，同号，rem(x,y)则与则与 x 同号同号max 等函数的参数是矩阵时，是作用在矩阵各列上等函数的参数是矩阵时，是作用在矩阵各列上第33页，此课件共39页哦符号的作用l逗号和分号的作用 逗号和分号可作为指令间的分隔符，matlab允许多条语句在同一行出现。分号如果出现在指令后，屏幕上将不显示结果。第34页，此课件共39页哦注意：只要是赋过值的变量，不管是否在屏幕上显示过，都存储在工作空间中，以后可随时显示或调用。变量名尽可能不要重复，否则会覆盖。当一个指令或矩阵太长时，可用续行第35页，此课件共39页哦l冒号的作用 用于生成等间隔的向量，默认间隔为1。用于选出矩阵指定行、列及元素。循环语句第36页，此课件共39页哦小小 结结 本节介绍了本节介绍了matlab语言的向量与矩阵运算功语言的向量与矩阵运算功能，通过学习应该掌握：能，通过学习应该掌握：如何创建矩阵、修改矩阵如何创建矩阵、修改矩阵矩阵及数组运算矩阵及数组运算符号的用法符号的用法第37页，此课件共39页哦上机作业1.试分别生成 5 阶的单位阵、8 阶均匀分布的随机矩阵及其下三角矩阵2.生产列向量 x=1,3,5,7,9,293.生成以 x 的前 5 个元素为对角线的矩阵 A4.生成一个与 A 同阶的正态分布的随机矩阵 B5.输出 A 与 B 的 kronecker 乘积矩阵 C6.生成由 B 与其同阶魔方矩阵点乘得到的矩阵 D7.生成由 D 的第 2、4、5 行和第4、1 列组成的子矩阵 E8.求出矩阵 E 的最大元素第38页，此课件共39页哦%1.试分别生成试分别生成 5 阶的单位阵、阶的单位阵、8 阶均匀分布的随机矩阵及其下三角阶均匀分布的随机矩阵及其下三角矩阵矩阵a=eye(5)；b=rand(8)；c=tril(b)%2.生产列向量生产列向量 x=1,3,5,7,9,29x=1;3;5;7;9;11;13;15;17;19;21;23;25;27;29；%方法方法1y=1:2:29 ；%方法方法2z=linspace(1,29,15)；%方法方法3%3.生成以生成以 x 的前的前 5 个元素为对角线的矩阵个元素为对角线的矩阵 AA=diag(x(1:5)%4.生成一个与生成一个与 A 同阶的正态分布的随机矩阵同阶的正态分布的随机矩阵 BA=ones(6)；c=size(A)；B=randn(c)；%情况情况1%A1=ones(5,6)；c1=size(A1)；B1=randn(c1)；%情况情况2%5.生成由生成由 B 与其同阶魔方矩阵点乘得到的矩阵与其同阶魔方矩阵点乘得到的矩阵 Db=size(B)；b1=magic(b)；D=B.*b1%6.生成由生成由 D 的第的第 2、4、5 行和第行和第4、1 列组成的子矩阵列组成的子矩阵 EE=D(2,4,5,4,1)第39页，此课件共39页哦