D14无穷小量与无穷大量.pptx

定义1.若时,函数则称函数为时的无穷小量,简称无穷小.以零为极限的数列也是当n时的无穷小第1页/共23页定义1.若时,函数则称函数为时的无穷小量,简称无穷小.说明:除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小!因为当时,显然 C 只能是 0!CC注意:函数是否为无穷小与自变量的变化趋势有关!第2页/共23页其中(x)为一个无穷小定理定理 1.(无穷小与函数极限的关无穷小与函数极限的关系系)证:仅就 的情形证明,其他情形类似.必要性 设,则令则其中(x)是当 的无穷小,并且充分性 设,(x)是当 的无穷小则第3页/共23页(1)有限个无穷小量的代数和是无穷小量;定理定理 2.自变量相同变化趋势的无穷小量有如下自变量相同变化趋势的无穷小量有如下性质性质:证:由已知,f在x0处是局部有界的,故(2)有限个无穷小量的乘积是无穷小量;恒有从而故所以(x)f(x)是当 时的无穷小.(x)是当 的无穷小,定理 3.设f是在x0处局部有界的函数,则(x)f(x)是当 时的无穷小.第4页/共23页(1)有限个无穷小量的代数和是无穷小量;(2)有限个无穷小量的乘积是无穷小量;(x)是当 的无穷小,定理 3.设f是在x0处局部有界的函数,则(x)f(x)是当 时的无穷小.(x)是当 的无穷小,定理.设f是在 内有界(即 )则(x)f(x)是当 时的无穷小.定理定理 2.自变量相同变化趋势的无穷小量有如下自变量相同变化趋势的无穷小量有如下性质性质:第5页/共23页设(x)与(x)是自变量x有相同变化趋势的无穷小,且(x)0.定义定义2(无穷小的阶无穷小的阶).则称(x)是(x)的高阶无穷小,记作(或当(x)0时,称(x)是(x)的低阶无穷小)且c 0为常数,称(x)与(x)是同阶无穷小;则称(x)与(x)是等价无穷小,记作第6页/共23页则称(x)是关于(x)的k阶无穷小,特别取(x)=x-x0,若 则称(x)是当xx0时的k阶无穷小.例1.当x0时,试比较下列无穷小的阶:第7页/共23页解:解:第8页/共23页解:解:第9页/共23页由上例中(2)(3)(4)可得,当x0时,根据高阶无穷小的定义,上式还可以表示为:当x0时,注意:并非每个无穷小都有阶数,比如当x0时,第10页/共23页例例2.2.证明证明:当当时,证:第11页/共23页证明提示:二、无穷小的等价代换 定理4.设(x)与(x),都是自变量有相同变化趋势的无穷小,若 并且则并且第12页/共23页例3.利用无穷小等价代换定理求以下极限解:因为所以第13页/共23页(2)解:原式 注意:应用无穷小等价代换定理求极限时,只能对待求极限函数中的无穷小因子进行.若待求极限的函数表达式中含有函数的加减法运算,则不能对其中的相加与相减的无穷小项进行等价代换.第14页/共23页(3)解:第15页/共23页三、无穷大量(绝对值无限趋大的变量)定义3.设是一个函数,若即当则称函数f(x)是当 时的无穷大量,简称无穷大.时,恒有定义3.设是一个函数,若即当则称函数f(x)是当 时的无穷大量,简称无穷大.时,恒有若在定义中改为则记作第16页/共23页注意注意:1.无穷大不是很大的数,它是描述函数的一种状态.2.函数为无穷大,必定无界.但反之不真!例如,函数但不是无穷大!第17页/共23页例例4.证明证明证:任给正数 M,要使即只要取则对满足的一切 x,有所以若 则直线为曲线的铅直渐近线.铅直渐近线说明:第18页/共23页若 则称直线为曲线的水平渐近线.如下图第19页/共23页若为无穷小,且则为无穷大.若为无穷大,为无穷小;则据此定理(1),关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.定理5.在自变量的相同变化趋势下,有下述结论:说明:(1)(2)有限个无穷大量的乘积是无穷大量;(3)无穷大量与有界量之和是无穷大量.第20页/共23页两个无穷大量的代数和不一定是无穷大量;无穷大量与有界量的乘积不一定是无穷大量.注意:大O记号设函数f(x)与g(x)定义在x0的某去心邻域 中,若 在x0处是局部有界的,则记作 .特别地,若f(x)在x0处是局部有界的,则记作f(x)=O(1).例如:第21页/共23页谢谢!THE END第22页/共23页感谢您的欣赏！第23页/共23页