D362可分离变量微分方程.pptx

例例1.求微分方程求微分方程的通解.解:分离变量得两边积分得即(C 为任意常数)或说明:在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、减解.(此式含分离变量时丢失的解 y=0)第1页/共10页例例2.解初值问解初值问题题解:分离变量得两边积分得即由初始条件得 C=1,(C 为任意常数)故所求特解为第2页/共10页例例3.求下述微分方程的通解求下述微分方程的通解:解:令 则故有即解得(C 为任意常数)所求通解:第3页/共10页练习练习:解法 1 分离变量即(C 0 )解法 2故有积分(C 为任意常数)所求通解:积分第4页/共10页例例4.子的含量 M 成正比,求在衰变过程中铀含量 M(t)随时间 t 的变化规律.解:根据题意,有(初始条件)对方程分离变量,即利用初始条件,得故所求铀的变化规律为然后积分:已知 t=0 时铀的含量为已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原第5页/共10页例例5.成正比,求解:根据牛顿第二定律列方程初始条件为对方程分离变量,然后积分:得利用初始条件,得代入上式后化简,得特解并设降落伞离开跳伞塔时(t=0)速度为0,设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度 降落伞下落速度与时间的函数关系.t 足够大时第6页/共10页内容小结内容小结1.微分方程的概念微分方程;定解条件;2.可分离变量方程的求解方法:说明:通解不一定是方程的全部解.有解后者是通解,但不包含前一个解.例如,方程分离变量后积分;根据定解条件定常数.解;阶;通解;特解 y=x 及 y=C 第7页/共10页(1)找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程.常用的方法:1)根据几何关系列方程2)根据物理规律列方程3)根据微量分析平衡关系列方程(2)利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件.(3)求通解,并根据定解条件确定特解.3.解微分方程应用题的方法和步解微分方程应用题的方法和步骤骤例4例5第8页/共10页思考与练习思考与练习 求下列方程的通解:提示:(1)分离变量(2)方程变形为第9页/共10页感谢您的欣赏！第10页/共10页