第十二假设检验课件.ppt

第十二假设检验第1页，此课件共40页哦第十二章第十二章 假设检验假设检验 假设检验是对总体的分布函数的形式或分布中某些参数做出假设检验是对总体的分布函数的形式或分布中某些参数做出某种假设某种假设,然后通过抽取样本然后通过抽取样本,构造适当的统计量构造适当的统计量,对假设对假设的正确性进行判断的过程的正确性进行判断的过程.前面我们讨论了在总体分布族已知的情况下前面我们讨论了在总体分布族已知的情况下,如何根据如何根据样本去得到参数的优良估计样本去得到参数的优良估计.但有时但有时,我们并不需要估计某个我们并不需要估计某个参数的具体值而只需验证它是否满足某个条件参数的具体值而只需验证它是否满足某个条件,这就是这就是统计统计假设检验问题假设检验问题.第2页，此课件共40页哦第十二章第十二章 假设检验假设检验假设检验假设检验参数假设检验参数假设检验非参数假设检验非参数假设检验总体分布已知，总体分布已知，检验关于未知参数检验关于未知参数的某个假设的某个假设总体分布未知时的总体分布未知时的假设检验问题假设检验问题第3页，此课件共40页哦第一节第一节 检验的基本原理检验的基本原理 一、检验问题的提法一、检验问题的提法 假设检验是既同估计密切联系，但又有重要区别的假设检验是既同估计密切联系，但又有重要区别的一种推断方法。一种推断方法。例如：某种电子元件寿命例如：某种电子元件寿命X X服从参数为服从参数为的指数分布，随机抽的指数分布，随机抽取其中的取其中的n件。测得其寿命数据，件。测得其寿命数据，问题问题，这批元件的平均寿命是多少？，这批元件的平均寿命是多少？问题问题，按规定该型号元件当寿命不小于，按规定该型号元件当寿命不小于5000(h)为合格，为合格，问该批元件是否合格？问该批元件是否合格？问题问题是对总体未知参数是对总体未知参数=E(X)=1/作出估计。回答作出估计。回答“是多少？是多少？”，是定量的。问题，是定量的。问题则是对假设则是对假设“这这批元件合批元件合格格”做出接受还是拒绝的回答，因而是定性的。做出接受还是拒绝的回答，因而是定性的。第4页，此课件共40页哦 对上述例子，还可做更细致考察，设想如基于一次观察对上述例子，还可做更细致考察，设想如基于一次观察数据算出数据算出的估计值的估计值 ，我们能否就此接受，我们能否就此接受“这这批批元件合格元件合格”的这一假设呢？尽管的这一假设呢？尽管 但这个估计仅仅但这个估计仅仅是一次试验的结果，能否保证下一次测试结果也能得到是一次试验的结果，能否保证下一次测试结果也能得到的的估计值大于估计值大于5000呢？也就是说从观察数据得到的结果呢？也就是说从观察数据得到的结果 与参考值与参考值5000的差异仅仅是偶然的呢？还是总体均值的差异仅仅是偶然的呢？还是总体均值确实确实有大于有大于5000的的“趋势趋势”？这些问题是以前没有研究过的。一般而言，估计问题是回答这些问题是以前没有研究过的。一般而言，估计问题是回答总体分布的未知参数是多少？或范围有多大？而假设检验问题则总体分布的未知参数是多少？或范围有多大？而假设检验问题则是回答观察到的数据差异只是机会差异，还是反映了总体的真实是回答观察到的数据差异只是机会差异，还是反映了总体的真实差异？因此两者对问题的提法有本质不同。差异？因此两者对问题的提法有本质不同。第一节第一节 检验的基本原理检验的基本原理第5页，此课件共40页哦例例 有一批产品，需经检验合格后才能出厂，按按标准其次品率不得有一批产品，需经检验合格后才能出厂，按按标准其次品率不得超过超过4%4%今从这批产品中任意抽今从这批产品中任意抽1010件，发现有件，发现有3 3件次品，问这批产品能否件次品，问这批产品能否出厂出厂解：直观上看，这批产品似乎不能出厂，但理论依据何在解：直观上看，这批产品似乎不能出厂，但理论依据何在现以现以p p表示这批产品的次品率，按标准，若表示这批产品的次品率，按标准，若p=0.04,p0.04p0.04，则这批产品不能出厂。我们的问题就是要根据，则这批产品不能出厂。我们的问题就是要根据“1010件产品中有件产品中有3 3件次品件次品”，这一抽样结果来判断，这一抽样结果来判断p p是否大于是否大于0.040.04我们先提两个相互对立的假设，我们先提两个相互对立的假设，注意到，在假设注意到，在假设 成立的前提下，成立的前提下，“1010件产品中有件产品中有3 3件次品件次品”这一抽这一抽样结果的概率样结果的概率其概率小于其概率小于0.010.01，即这是一个小概率事件。根据实际推理原理，小概，即这是一个小概率事件。根据实际推理原理，小概率事件在一次抽样中是不可能发生的。而今这一小概率事件在一次抽样率事件在一次抽样中是不可能发生的。而今这一小概率事件在一次抽样中竟然发生了，这是不合理的。中竟然发生了，这是不合理的。所以所以 不成立，即不成立，即 成立。所以按此标准这批产品不能出厂成立。所以按此标准这批产品不能出厂第6页，此课件共40页哦 下面通过一个例子介绍下面通过一个例子介绍原假设和备择假设原假设和备择假设二二.原假设和备择假设原假设和备择假设第一节第一节 检验的基本原理检验的基本原理第7页，此课件共40页哦例例1(1(酒精含量酒精含量)一种无需医生处方即可达到的治疗咳一种无需医生处方即可达到的治疗咳嗽和鼻塞的药。按固定其酒精含量为嗽和鼻塞的药。按固定其酒精含量为5.5.今从一出厂的今从一出厂的一批药中随机抽取一批药中随机抽取1010瓶瓶,测试其酒精含量得到的测试其酒精含量得到的1010个含个含量的百分数量的百分数:5.01,4.87,5.11,5.21,5.03,4.96,4.78,4.98,4.88,5.06如果酒精含量服从正态分布如果酒精含量服从正态分布N(,0.00016),问该批药品的问该批药品的酒精含量是否合乎规定酒精含量是否合乎规定?任务任务:通过样本推断通过样本推断X X的均值的均值是否等于是否等于5.假设假设:上面的任务就是要通过样本去检验上面的任务就是要通过样本去检验“X X的均值的均值=5”这这样一个假设是否成立样一个假设是否成立.(.(在数理统计中把在数理统计中把“X X的均值的均值=5”=5”这这样一个待检验的假设记作样一个待检验的假设记作“H H0 0:=5:=5”称为称为 “原假设原假设”或或 “零假设零假设”.表明数据的表明数据的“差异差异”是偶然的是偶然的,总体没有总体没有 “变异变异”发生发生.第8页，此课件共40页哦 原假设的对立面是原假设的对立面是“X X的均值的均值10”10”记作记作“H H1 1:1010”称为称为“对立假设对立假设”或或“备择假设备择假设”.表明数表明数据的据的“差异差异”不是偶然的不是偶然的,是总体是总体 “变异变异”的表现的表现.把它们合写在一起就是把它们合写在一起就是:H H0 0:=10 :=10 H H1 1:1010 原假设原假设H H0 0表明含量符合规定，这个表明含量符合规定，这个55也称之为期望数，也称之为期望数，尽管尽管1010个数据都个数据都55与有出入，这只是抽样的随机性所致与有出入，这只是抽样的随机性所致;备择假设备择假设H H1 1表明总体均值表明总体均值已经偏离了期望数已经偏离了期望数55，数据，数据与期望数与期望数55的差异是其表现的差异是其表现.假设检验假设检验的任务的任务 必须在原假设与必须在原假设与备择备择假设假设之间作一选择之间作一选择第9页，此课件共40页哦检验统计量检验统计量是构造一个适当的能度量观察数与原假是构造一个适当的能度量观察数与原假设下的期望数之间的差异程度的统计量设下的期望数之间的差异程度的统计量,此统计量为检验统此统计量为检验统计量计量.特点特点:在原假设在原假设H0下分布式完全一致或者说可以计算下分布式完全一致或者说可以计算.因而通过标准化因而通过标准化 可得到检验统计量可得到检验统计量三三.检验统计量检验统计量 本例的观察数通过样本平均本例的观察数通过样本平均 表示表示,它是它是的一的一个无偏估计个无偏估计,而在下的期望数为而在下的期望数为=5,=5,在在H H0 0下下第10页，此课件共40页哦 从试验数据判断是否导致一个矛盾的结果从试验数据判断是否导致一个矛盾的结果,一个重要的一个重要的依据是小概率事件的实际推断原理依据是小概率事件的实际推断原理.看例看例1,1,由观察数据由观察数据,可算得的可算得的 观察值为观察值为4.989,4.989,代入统计量代入统计量Z Z的表达式的表达式,得得Z Z的观察值为的观察值为 四四.否定论证及实际推断原理否定论证及实际推断原理 否定论证是假设检验的重要推理方法否定论证是假设检验的重要推理方法,其要旨是其要旨是:先假定原假设先假定原假设H H0 0成立成立,如果从试验观察数据及此假定如果从试验观察数据及此假定将导致一个矛盾的结果将导致一个矛盾的结果,则必须否定这个原假设则必须否定这个原假设;反之反之,如果不出矛盾的结果如果不出矛盾的结果,就不能否定原假设就不能否定原假设.第11页，此课件共40页哦 在在H H0 0下下,Z服从标准正态分布服从标准正态分布,对于特定的一次试验对于特定的一次试验,统计量统计量Z取得观察值取得观察值-2.7509，是十分罕见的，以至于实际不会发生，是十分罕见的，以至于实际不会发生.事实上事实上,当当H H0 0成立时成立时,事件事件发生的机会只有发生的机会只有5(5(如图如图)这是一个小概率事件这是一个小概率事件.今从试验数据得到今从试验数据得到Z=-2.7509,Z=-2.7509,由于由于 表明这一小概率事件在该次试验中发生表明这一小概率事件在该次试验中发生,这与实际推这与实际推断原理矛盾断原理矛盾.因此否定原假设因此否定原假设.至此本例已获得解答至此本例已获得解答,即基于数据该批药即基于数据该批药品的酒精含量不符合规定品的酒精含量不符合规定.注意注意:在否定论中最终能否得出矛盾的结果，取决于数据在否定论中最终能否得出矛盾的结果，取决于数据.02.51.96-1.96-2.7509第12页，此课件共40页哦第二节第二节 显著水平检验法与正态总体检验显著水平检验法与正态总体检验一一.假设检验的两类错误假设检验的两类错误 一类错误是一类错误是,当当H H0 0为真时为真时,因为尽管事件因为尽管事件A|HA|H0 0 是是小概率事件小概率事件,但仍有可能发生但仍有可能发生,即样本观察值即样本观察值(x x1 1,x x2 2,.,.,x xn n)R)R时时,按检验法则将拒绝原假设按检验法则将拒绝原假设H H0 0,这这种错误称为种错误称为第一类错误第一类错误.根据检验法则根据检验法则,若若A A发生则拒绝发生则拒绝H H0 0,否则接受否则接受H H0 0.这不这不免要犯二类错误免要犯二类错误.第13页，此课件共40页哦第二节第二节 显著水平检验法与正态总体检验显著水平检验法与正态总体检验一一.假设检验的两类错误假设检验的两类错误 另一类错误是另一类错误是,当原假设当原假设H H0 0不真不真,即即H H1 1为真时为真时,A,A也有可能也有可能不发生不发生,即样本观察值即样本观察值(x x1 1,x x2 2,.,.,x xn n)R)R*,按检验法则按检验法则将接受原假设将接受原假设H H0 0,这种错误称为这种错误称为第二类错误第二类错误.第14页，此课件共40页哦第二节第二节 显著水平检验法与正态总体检验显著水平检验法与正态总体检验正确正确正确正确H H0 0 为真为真H H0 0 为假为假真实情况真实情况所作判断所作判断接受接受 H H0 0拒绝拒绝 H H0 0第一类错误第一类错误(弃真弃真)第二类错误第二类错误(取伪取伪)注意注意:不可能消除这两种错误不可能消除这两种错误,而只能控制发生而只能控制发生这两类错误之一的概率这两类错误之一的概率.一一.假设检验的两类错误假设检验的两类错误第15页，此课件共40页哦第二节第二节 显著水平检验法与正态总体检验显著水平检验法与正态总体检验 我们当然希望独两类错误的概率都很小我们当然希望独两类错误的概率都很小,但在样本容量但在样本容量n n固定固定时是无法做到的时是无法做到的.基于这种情况基于这种情况,且因为人们常常把拒绝且因为人们常常把拒绝H H0 0比错误比错误地接受地接受H H0 0看得更重些看得更重些.因此人们希望在控制犯第一类错误的概率因此人们希望在控制犯第一类错误的概率的条件下的条件下,尽量使犯第二类错误的概率小尽量使犯第二类错误的概率小,但这也是不容易的但这也是不容易的,有时甚至是不可能的有时甚至是不可能的.于是人们不得不降低要求于是人们不得不降低要求,只对犯第一类错只对犯第一类错误的概率误的概率加以限制加以限制,而不考虑犯第二错误的概率而不考虑犯第二错误的概率,在这种原在这种原则下则下,寻找临界域寻找临界域C C时只涉及原假设时只涉及原假设H H0 0,而不涉及备择假设而不涉及备择假设H H1 1,这种这种统计假设问题称为统计假设问题称为显著性检验显著性检验问题问题.对给定的犯第一类错误的概率对给定的犯第一类错误的概率称为称为显著性水平显著性水平.第16页，此课件共40页哦第二节第二节 显著水平检验法与正态总体检验显著水平检验法与正态总体检验二二.显著水平检验法显著水平检验法 显著水平检验法显著水平检验法:在数据收集之前就已经设定好一个检验在数据收集之前就已经设定好一个检验规则规则,即文献上称之为拒绝域即文献上称之为拒绝域R,R,使得当样本观察值落入使得当样本观察值落入R R就就拒绝拒绝H H0 0.对拒绝域对拒绝域R R的要求是的要求是:在在H H0 0 下下 样本落入样本落入RR为一小概率事件为一小概率事件,即即对预先给定的对预先给定的0011有有 P(P(样本落入样本落入R|HR|H0 0)此时称此时称R R所代表的检验为显著水平所代表的检验为显著水平的检验的检验第17页，此课件共40页哦第二节第二节 显著水平检验法与正态总体检验显著水平检验法与正态总体检验(1)(1)根据问题的要求建立原假设根据问题的要求建立原假设H H0 0和备择假设和备择假设H H1 1;假设检验的方法步骤假设检验的方法步骤(2)(2)选取检验统计量选取检验统计量T(XT(X1 1,X,X2 2,.,X,.,Xn n),),要求要求T T不含任何参数不含任何参数,以便计算以便计算H H0 0为真时的条件概率为真时的条件概率;(3)(3)给定显著性水平给定显著性水平,求出使求出使PTR|HPTR|H0 0的临界域的临界域C;C;(4)(4)若样本观察值若样本观察值T(T(x x1 1,x x2 2,.,.,x xn n)R,)R,则拒绝原假设则拒绝原假设H H0 0,否则否则接受接受H H0 0.第18页，此课件共40页哦第二节第二节 显著水平检验法与正态总体检验显著水平检验法与正态总体检验1).1).方差已知时总体均值的假设检验方差已知时总体均值的假设检验1 1 两个正态总体的假设检验两个正态总体的假设检验第19页，此课件共40页哦第二节第二节 显著水平检验法与正态总体检验显著水平检验法与正态总体检验第20页，此课件共40页哦第二节第二节 显著水平检验法与正态总体检验显著水平检验法与正态总体检验找临界值u/2示意图0a/2ua/2a/2-ua/2第21页，此课件共40页哦第二节第二节 显著水平检验法与正态总体检验显著水平检验法与正态总体检验第22页，此课件共40页哦作为未知参数作为未知参数的点估计的点估计,因此因此 偏小应该拒绝偏小应该拒绝H H0 0.若若H0成立成立,例例3 3 某降价盒装饼干，其包装上的广告上称每盒质量为某降价盒装饼干，其包装上的广告上称每盒质量为269g.269g.但有顾客投诉，钙饼干质量不足但有顾客投诉，钙饼干质量不足269g269g。为此质检部门从准备出。为此质检部门从准备出厂的一批盒装饼干中，随机抽取厂的一批盒装饼干中，随机抽取3030盒，由测得的盒，由测得的3030个质量数据个质量数据算出样本平均为算出样本平均为268.268.假设盒装饼干质量服从正态分布假设盒装饼干质量服从正态分布N(N(，2 22 2),),以显著水平以显著水平=0.05=0.05检验该产品广告是否真实检验该产品广告是否真实.解解:依题意依题意,可设原假设可设原假设H H0 0:=269 :=269 备择假设备择假设 H H1 1:269269则有则有则在下则在下Z ZN(0,1),N(0,1),即即Z Z的分布已知，因而的分布已知，因而Z Z可以做检验统计量，可以做检验统计量，偏小等价于偏小等价于Z Z偏小，从而得到拒绝域的形式如下偏小，从而得到拒绝域的形式如下其中其中k k待定，称之为待定，称之为临界值临界值.第23页，此课件共40页哦=0.05,为求显著水平为求显著水平0.05的检验的检验,只需选取只需选取k使得使得查表可得查表可得因而得到水平因而得到水平0.050.05检验的拒绝域检验的拒绝域代入数据得代入数据得Z=-2.74,Z=-2.74,显然小于临界值显然小于临界值-1.645,-1.645,因而依据检验因而依据检验规则应该拒绝规则应该拒绝H0,即该盒装广告又不是广告行为即该盒装广告又不是广告行为.第24页，此课件共40页哦第二节第二节 显著水平检验法与正态总体检验显著水平检验法与正态总体检验).).方差未知时总体均值的双侧假设检验方差未知时总体均值的双侧假设检验第25页，此课件共40页哦第二节第二节 显著水平检验法与正态总体检验显著水平检验法与正态总体检验第26页，此课件共40页哦第二节第二节 显著水平检验法与正态总体检验显著水平检验法与正态总体检验找临界值t/2示意图0a/2a/2-ta/2(n-1)ta/2(n-1)第27页，此课件共40页哦第二节第二节 显著水平检验法与正态总体检验显著水平检验法与正态总体检验第28页，此课件共40页哦其中其中未知未知.今用今用S S*代替代替,得到得到t t的统计量的统计量例例4.4.在在例例3中中,若盒装饼干重量服从正态分布若盒装饼干重量服从正态分布N(,2),与与2 2均未知均未知,已知样本平均已知样本平均 ,修正样本标准差为修正样本标准差为S S*=1.8,=1.8,求解相同的问题求解相同的问题.解解:此时不能使用此时不能使用Z Z作为统计量作为统计量,因为标准化变量为因为标准化变量为由正态总体抽样分布基本定理可知由正态总体抽样分布基本定理可知,在在H H0 0下下可得到拒绝域的形式如下可得到拒绝域的形式如下其中其中k k待定，称之为待定，称之为临界值临界值.第29页，此课件共40页哦=0.05,为求显著水平为求显著水平0.05的检验的检验,只需选取只需选取k使得使得因而得到水平因而得到水平0.050.05检验的拒绝域检验的拒绝域代入数据得代入数据得t=-3.044,t=-3.044,显然小于临界值显然小于临界值-1.699,-1.699,因而依据检验因而依据检验规则应该拒绝规则应该拒绝H0,即该盒装广告又不是广告行为即该盒装广告又不是广告行为.第30页，此课件共40页哦第二节第二节 显著水平检验法与正态总体检验显著水平检验法与正态总体检验2 2 两个正态总体的假设检验两个正态总体的假设检验第31页，此课件共40页哦第二节第二节 显著水平检验法与正态总体检验显著水平检验法与正态总体检验1).1).方差已知时均值的双侧假设检验方差已知时均值的双侧假设检验因为 当H0成立时，统计量第32页，此课件共40页哦第二节第二节 显著水平检验法与正态总体检验显著水平检验法与正态总体检验从而,对于给定的显著性水平,拒绝域为 第33页，此课件共40页哦第二节第二节 显著水平检验法与正态总体检验显著水平检验法与正态总体检验2).2).方差未知时均值的双侧假设检验方差未知时均值的双侧假设检验第34页，此课件共40页哦第二节第二节 显著水平检验法与正态总体检验显著水平检验法与正态总体检验第35页，此课件共40页哦第二节第二节 显著水平检验法与正态总体检验显著水平检验法与正态总体检验第36页，此课件共40页哦例例5.5.为评估某地区中学教学改革后教学质量情况，分别在为评估某地区中学教学改革后教学质量情况，分别在19951995年，年，19991999年举行两次数学考试，考生是从该地区中学的年举行两次数学考试，考生是从该地区中学的1717岁学生中随机抽岁学生中随机抽取，每次取，每次100100个。两次考试的平均得分分别为个。两次考试的平均得分分别为63.5,67.0.63.5,67.0.假定两次数假定两次数学考试成绩服从正态分布学考试成绩服从正态分布N(N(,2 2),N(),N(,2),2),分别在下列情况分别在下列情况下下,对显著水平对显著水平=0.05=0.05检验该地区数学成绩有无提高检验该地区数学成绩有无提高.(1).(1).已知已知1 1=2.1,=2.1,2 2=2.2.=2.2.(2).(2).假设假设1 1=2 2=但但未知未知,且两次考试成绩的样本方差为且两次考试成绩的样本方差为S S1 12 2=1.9=1.92 2,S S2 22 2=2.01=2.012 2解解:由题意由题意,可设原假设可设原假设H H0 0:1 1=2 2,备择假设备择假设H H1 1:1 1 2.2.分别记分别记19951995年年的样本平均为的样本平均为 ,1999,1999年的为年的为 ,可用可用 作作1 1-2 2的点估计的点估计,因此因此当当 偏大时偏大时,应拒绝应拒绝H H0 0第37页，此课件共40页哦 偏大等价于偏大等价于Z Z偏大偏大,故有拒绝域故有拒绝域(1)(1)因在因在H H0 0下下 ,标准化标准化 得到检验统计量得到检验统计量=0.05,为求显著水平为求显著水平0.05的检验的检验,只需选取只需选取k使得使得代入数据得代入数据得z=11.513,z=11.513,显然大于临界值显然大于临界值1.645,1.645,因而依据检验因而依据检验规则应该拒绝规则应该拒绝H0,即认为数学成绩有提高即认为数学成绩有提高.第38页，此课件共40页哦(2)(2)因在因在H H0 0下下 可用可用=0.05,为求显著水平为求显著水平0.05的检验的检验,只需选取只需选取k使得使得代入数据得代入数据得t=12.591,t=12.591,仍然大于临界值仍然大于临界值1.645,1.645,因而依据检验因而依据检验规则应该拒绝规则应该拒绝H0,即认为数学成绩有提高即认为数学成绩有提高.第39页，此课件共40页哦例例 某电器厂生产一种云母片，由长期生产的数据知，云母片的厚度服从正态分布，厚某电器厂生产一种云母片，由长期生产的数据知，云母片的厚度服从正态分布，厚度均值度均值 ，现从某天生产的云母片中随机抽取，现从某天生产的云母片中随机抽取10片，测量期厚度，算得样本均值片，测量期厚度，算得样本均值 ，样本标准差，样本标准差s=0.014（mm），问这天生产的云母片的平均厚度与以往有无显著差异？取显），问这天生产的云母片的平均厚度与以往有无显著差异？取显著性水平著性水平解：以解：以x表示这天生产的云母片的厚度总体，以表示这天生产的云母片的厚度总体，以 和和 分别表示其均值和方差，按题意分别表示其均值和方差，按题意xN（，），），和和 均未知，问问题就是要在显著性水平均未知，问问题就是要在显著性水平 下检验假设下检验假设由于由于 未知，现用未知，现用t检验法检验，取检验统计量为检验法检验，取检验统计量为 第40页，此课件共40页哦