第五节闭区间上连续函数的性质课件.ppt
第五节闭区间上连续函数的性质第1页，此课件共32页哦定理1例如例如,1、四则运算的连续性一、连续函数的运算性质第2页，此课件共32页哦定理定理4 4例如例如,第3页，此课件共32页哦定理3 严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数.例如例如,反三角函数在其定义域内皆连续反三角函数在其定义域内皆连续.第4页，此课件共32页哦定理3注注1.定理的条件：定理的条件：内层函数有极限，外层函数内层函数有极限，外层函数 在极限值点处连续在极限值点处连续意义1.极限符号可以与函数符号互换极限符号可以与函数符号互换;第5页，此课件共32页哦例1解第6页，此课件共32页哦例2解同理可得同理可得第7页，此课件共32页哦二、初等函数的连续性二、初等函数的连续性定理定理4 4 基本初等函数在定义域内是连续的基本初等函数在定义域内是连续的.定理定理5 5 一切初等函数在其一切初等函数在其定义区间定义区间内都是连续内都是连续的的.定义区间是指包含在定义域内的区间定义区间是指包含在定义域内的区间.第8页，此课件共32页哦例例1 1例例2 2解解解解 初等函数求极限的方法初等函数求极限的方法代入法代入法.第9页，此课件共32页哦例例3 求求解解不能应用差的极限运算法则，须变形不能应用差的极限运算法则，须变形先分子有理化，然后再求极限先分子有理化，然后再求极限第10页，此课件共32页哦第11页，此课件共32页哦例例4 求求解解:原式说明说明:若则有第12页，此课件共32页哦三 闭区间上连续函数的性质 在闭区间在闭区间 a,b上连续：上连续：在在(a,b)内连续，在内连续，在 a点右连续，在点右连续，在 b 点左连续点左连续.闭区间上连续函数的定义第13页，此课件共32页哦、最大值和最小值定理、最大值和最小值定理定义:例如例如,第14页，此课件共32页哦定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.注意注意:1.若区间是开区间若区间是开区间,定理不一定成立定理不一定成立;2.若区间内有间断点若区间内有间断点,定理不一定成立定理不一定成立.第15页，此课件共32页哦例如例如,无最大值和最小值 也无最大值和最小值 又如又如,推论：推论：由定理 1 可知有证证:设上有界.在闭区间上连续的函数在该区间上有界.第16页，此课件共32页哦3、介值定理、介值定理定义定义:.内至少存在一个实根内至少存在一个实根在在即方程即方程第17页，此课件共32页哦几何解释几何解释:第18页，此课件共32页哦定理 4(介值定理)设函数)(xf在闭区间 ba,上连续，且在这区间的端点取不同的函数值 Aaf=)(及 Bbf=)(,那末，对于A与B之间的任意一个数 C，在开区间()ba,内至少有一点x x，使得Cf=)(x x )(ba x x.第19页，此课件共32页哦例1证由零点定理由零点定理,推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 与最小值 之间的任何值.第20页，此课件共32页哦证由零点定理由零点定理,例2第21页，此课件共32页哦第22页，此课件共32页哦例例4 证证由零点定理知由零点定理知总之总之第23页，此课件共32页哦注注方程方程f(x)=0的根的根函数函数f(x)的零点的零点有关闭区间上连续函数命题的证明方法有关闭区间上连续函数命题的证明方法10直接法：先利用最值定理，再利用介值定理直接法：先利用最值定理，再利用介值定理20间接法（辅助函数法）：先作辅助函数，间接法（辅助函数法）：先作辅助函数，再利用零点定理再利用零点定理辅助函数的作法辅助函数的作法（1）将结论中的）将结论中的(或或x0或或c)改写成改写成x（2）移项使右边为）移项使右边为0，令左边的式子为，令左边的式子为F(x)则则F(x)即为所求即为所求第24页，此课件共32页哦 区间一般在题设中或要证明的结论中已经给出，余下区间一般在题设中或要证明的结论中已经给出，余下只须验证只须验证F(x)在所讨论的区间上在所讨论的区间上连续，连续，再比较一下两个端再比较一下两个端点处的函数值的符号，或指出要证的值介于点处的函数值的符号，或指出要证的值介于F(x)在所论闭在所论闭区间上的最大值与最小值之间。区间上的最大值与最小值之间。第25页，此课件共32页哦内容小结内容小结左连续右连续第一类间断点可去间断点跳跃间断点左右极限都存在 第二类间断点无穷间断点振荡间断点左右极限至少有一个不存在在点间断的类型在点连续的等价形式第26页，此课件共32页哦基本初等函数在定义区间内在定义区间内连续连续函数的四则运算四则运算的结果连续连续函数的反函数反函数连续连续函数的复合函数复合函数连续初等函数在定义区间内连续说明说明:分段函数在界点处是否连续需讨论其 左、右连续性.3.3.初等函数连续性初等函数连续性4.四个定理四个定理有界性定理有界性定理;最值定理最值定理;介值定理介值定理;根的存在性定理根的存在性定理.注意注意1闭区间；闭区间；2连续函数连续函数这两点不满足上述定理不一定成立这两点不满足上述定理不一定成立第27页，此课件共32页哦备用题备用题 确定函数间断点的类型.解解:间断点为无穷间断点;故为跳跃间断点.第28页，此课件共32页哦思考题一第29页，此课件共32页哦思考题一解答是它的可去间断点是它的可去间断点第30页，此课件共32页哦思考题二下述命题是否正确？下述命题是否正确？第31页，此课件共32页哦思考题二解答不正确不正确.例函数例函数第32页，此课件共32页哦
