122全等三角形的判定.pptx
ABC1.什么叫全等三角形？能够重合的两个三角形叫全等三角形。2.全等三角形有什么性质？全等三角形的对应边相等，对应角相等.已知，试找出其中相等的边与角第1页/共76页ABC即：三条边对应相等，三个角对应相等的两个三角形全等。六个条件，可得到什么结论？第2页/共76页与满足上述六个条件中的一部分是否能保证与全等呢？ABC一个条件可以吗？两个条件可以吗？第3页/共76页一个条件可以吗？1.有一条边相等的两个三角形不一定全等探究活动课本62.有一个角相等的两个三角形不一定全等结论：有一个条件相等不能保证两个三角形全等.第4页/共76页6cm300有两个条件对应相等不能保证三角形全等.60o300不一定全等1.有两个角对应相等的两个三角形两个条件可以吗？3.有一个角和一条边对应相等的两个三角形2.有两条边对应相等的两个三角形4cm6cm不一定全等30060o4cm6cm不一定全等30o 6cm结论：探究活动课本6第5页/共76页三个条件呢？探究活动1.三个角；2.三条边；3.两边一角；4.两角一边。如果给出三个条件画三角形，你能说出有哪几种可能的情况？第6页/共76页结论:三个内角对应相等的三角形 不一定全等。探究活动1.有三个角对应相等的两个三角形60o30030060o90o90o三个条件呢？第7页/共76页若已知一个三角形的三条边，你能画若已知一个三角形的三条边，你能画出这个三角形吗？出这个三角形吗？画一个三角形，使它的三边长分别为4cm,5cm,7cm.三边对应相等的两个三角形会全等吗？画法：1.画线段AB=4cm；2.分别以A、B为圆心，5cm、7cm 长为半径作圆弧，交于点C；3.连结AB、AC；ABC就是所求的三角形.探究活动第8页/共76页三边相等的两个三角形会全等吗？画法：探究活动你能得出什么结论？课本6第9页/共76页三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”。用上面的结论可以判定两个三角形全等判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等第10页/共76页ABCABC三边对应相等的两个三角形全等.(简写成“边边边”或“SSS”)如何用符号语言来表达呢?结论课本7 A=_ B=_ C=_第11页/共76页ABCADC（SSS）例1已知：如图，AB=AD，BC=CD，求证：ABCADCABCDACAC()AB=AD()BC=CD()证明：在ABC和ADC中=已知已知 公共边判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等。分析：要证明ABCADC，首先看这两个三角形的三条边是否对应相等。结论：从这题的证明中可以看出，证明是由题设（已知）出发，经过一步步的推理，最后推出结论正确的过程。第12页/共76页准备条件：证全等时要用的间接条件要先证好；三角形全等书写三步骤：写出在哪两个三角形中摆出三个条件用大括号括起来写出全等结论证明的书写步骤：第13页/共76页例2 如图，ABCABC是一个钢架，AB=ACAB=AC，ADAD是连接点A A与BCBC中点D D的支架.求证：ABDACD.ABDACD.ABCDABCD.CDBDBCD的中点，是证明：QACDABD中，和在DDADADCDBDACAB，.SSSACDABD）（DD(1)(2)BAD=CAD.(2)BAD=CAD.（2）由（1）得ABDACD，BAD=BAD=CAD.CAD.第14页/共76页已知AOB（如图），用直尺和圆规作AOB,使AOB=AOB。O OA AB BOOAABB课 本 P7-8第15页/共76页 工人师傅常用角尺平分一个任意角.做法如下：如图，AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合.过角尺顶点C的射线OC便是AOB的平分线.为什么？课 本 P8OMABNC第16页/共76页over第17页/共76页例3、已知BAC（如图），用直尺和圆规作BAC的平分线AD，并说出该作法正确的理由。ACB第18页/共76页我们曾经做过这样的实验：将三根木条钉成一个三角形木架，这个三角形木架的形状和大小就不变了，你现在能解释其中的道理吗？思考:你能用三角形的稳定性来说明SSS公理吗?三角形的三边长度固定，这个三角形的形状大小就完全确定，这个性质叫三角形的稳定性。第19页/共76页三角形的稳定性举例第20页/共76页第21页/共76页如图，AB=AC，AE=AD，BD=CE，求证：AEBADC。证明：BD=CEBD-ED=CE-ED，即BE=CD。CABDE在AEB和ADC中，AB=ACAE=ADBE=CDAEBADC(sss)第22页/共76页CBDAFEDB思考 已知AC=FE，BC=DE，点A、D、B、F在一条直线上，AD=FB.要用“边边边”证明ABC FDE，除了已知中的AC=FE，BC=DE以外，还应该有什么条件？怎样才能得到这个条件？解：要证明ABCFDE，还应该有AB=DF这个条件DB是AB与DF的公共部分，且AD=BFAD+DB=BF+DB即AB=DF第23页/共76页思考FDBABC中，和在DDFBACDBBCFDAB，.SSSFDBABC）（DDCBDAFEDB 已知AC=FE，BC=DE，点A、D、B、F在一条直线上，AD=FB.要用“边边边”证明ABC FDE，除了已知中的AC=FE，BC=DE以外，还应该有什么条件？怎样才能得到这个条件？第24页/共76页练习1：如图，ABAC，BDCD，BHCH，图中有几组全等的三角形？它们全等的条件是什么？HDCBA解：有三组。在ABH和ACH中,AB=AC，BH=CH，AH=AH,ABHACH（SSS）；BD=CD，BH=CH，DH=DH,DBHDCH（SSS）.在ABH和ACH中,AB=AC，BD=CD，AD=AD,ABDACD（SSS）；在ABH和ACH中第25页/共76页（2）如图，D、F是线段BC上的两点，AB=CE，AF=DE，要使ABFECD，还需要条件 .BCBCDCBBF=DC或 BD=FCABCD练习2解：ABCDCB理由如下：AB=CDAC=BD=ABD ()SSS（1）如图，AB=CD，AC=BD，ABC和DCB是否全等？试说明理由。AE B D F C 第26页/共76页练习3、如图，在四边形ABCD中,AB=CD,AD=CB,求证：A=C.DABC证明：在ABD和CDB中AB=CDAD=CBBD=DBABDACD（SSS）（已知）（已知）（公共边）A=C（全等三角形的对应角相等）你能说明ABCD，ADBC吗？第27页/共76页解：E、F分别是AB，CD的中点（）又AB=CDAE=CF在ADE与CBF中AE=ADECBF ()AE=AB CF=CD（）1212补充练习：如图，已知AB=CD，AD=CB，E、F分别是AB，CD的中点，且DE=BF，说出下列判断成立的理由.ADECBFA=C线段中点的定义CFADABCDSSSADECBF全等三角形对应角相等已知ADBCFECB A=C ()=第28页/共76页请同学们谈谈本节课的收获与体会本节课你学到了什么？发现了什么？有什么收获？还存在什么没有解决的问题？第29页/共76页小结2.三边对应相等的两个三角形全等（简写马“边边边”或“SSS”）；1.知道三角形三条边的长度怎样画三角形；3.初步学会理解证明的思路，应用“边边边”证明两个三角形全等.第30页/共76页课堂小结1.边边边公理：有三边对应相等的两个三角形全等 简写成“边边边”（SSS）2.边边边公理的发现过程所用到的数学方法（包括画 图、猜想、分析、归纳等.)3.边边边公理的应用中所用到的数学方法:证明线段（或角相等）证明线段（或角）所在的两个三角形全等.转化1.说明两个三角形全等所需的条件应按对应边的顺序书写.2.结论中所出现的边必须在所证明的两个三角形中.用结论说明两个三角形全等需注意第31页/共76页 小明做了一个如图所小明做了一个如图所示的风筝，他想去验证示的风筝，他想去验证BACBAC与与DACDAC是否相等，是否相等，但手头却只有一把足够但手头却只有一把足够长的尺子。你能帮助他长的尺子。你能帮助他想个方法吗？说明你这想个方法吗？说明你这样做的理由。样做的理由。ABDC思考第32页/共76页探索与思考 小明有一块“飞镖”，想知道B和C是否相等，他没有量角器，只有刻度尺，你能帮小明想一个办法吗？说明你的做法的理由。CABD第33页/共76页 取出课前自制长度适当的木条，把它们分别做成三角形和四边形框架，并拉动它们。你发现什么？你发现什么？三角形的大小和形状是固定不变的，而四边形的形状会改变。只要三角形三边的长度确定了，这个三形的形状和大小就确定，三角形的这个性质叫三角形三角形的稳定性。的稳定性。做一做第34页/共76页 四边形不具有稳定性，你能想出什么方法让它们的形状不发生改变吗？试一试第35页/共76页 已知三角形三条边分别是4cm，5cm，7cm，画出这个三角形第36页/共76页八年级 上册12.2 三角形全等的判定（第2课时）第37页/共76页尺规作图，探究边角边的判定方法问题1先任意画出一个ABC，再画一个ABC，使AB=AB，A=A，CA=CA（即两边和它们的夹角分别相等）把画好的ABC剪下来，放到ABC 上，它们全等吗？A B C 第38页/共76页A B C A D E 尺规作图，探究边角边的判定方法现象：两个三角形放在一起能完全重合说明：这两个三角形全等画法：（1）画DAE=A；（2）在射线AD上截取AB=AB，在射线AE上截取AC=AC；（3）连接BCB C 第39页/共76页几何语言：在ABC 和ABC中，ABC ABC（SAS）尺规作图，探究边角边的判定方法归纳概括“SAS”判定方法:两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）AB=AB，A=A，AC=AC，第40页/共76页课堂练习下列图形中有没有全等三角形，并说明全等的理由甲8cm9cm丙8cm9cm8cm9cm乙303030第41页/共76页课堂练习图甲与图丙全等，依据就是“SAS”，而图乙中30的角不是已知两边的夹角，所以不与另外两个三角 形全等甲8cm9cm丙8cm9cm8cm9cm乙303030第42页/共76页利用今天所学“边角边”知识，带黑色的那块因为它完整地保留了两边及其夹角，一个三角形两条边的长度和夹角的大小确定了，这个三角形的形状、大小就确定下来了应用“SAS”判定方法，解决简单实际问题问题2某同学不小心把一块三角形的玻璃从两个 顶点处打碎成两块（如图），现要到玻璃店去配一块完 全一样的玻璃请问如果只准带一块碎片，应该带哪一 块去，能试着说明理由吗？第43页/共76页例题讲解，学会运用例如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个不经过池塘可以直接到达点A 和B的点C，连接AC并延长至D，使CD=CA，连接BC 并延长至E，使CE=CB，连接ED，那么量出DE的长就是A，B的距离为什么？ABCDE12第44页/共76页例题讲解，学会运用AC=DC（已知），1=2（对顶角相等），BC=EC（已知），证明：在ABC 和DEC 中，ABCDE12ABC DEC（SAS）AB=DE（全等三角形的对应边相等）第45页/共76页如图，在ABC 和ABD 中，AB=AB，AC=AD，B=B，但ABC 和ABD 不全等探索“SSA”能否识别两三角形全等问题3 两边一角分别相等包括“两边夹角”和“两边及其中一边的对角”分别相等两种情况，前面已探索出“SAS”判定三角形全等的方法，那么由“SSA”的条件能判定两个三角形全等吗？A B C D 第46页/共76页画ABC 和DEF，使B=E=30，AB=DE=5cm，AC=DF=3cm观察所得的两个三角形是否全等？两边和其中一边的对角这三个条件无法唯一确定三角形的形状，所以不能保证两个三角形全等因此，ABC 和DEF 不一定全等探索“SSA”能否识别两三角形全等第47页/共76页（1）本节课学习了哪些主要内容？（2）我们是怎么探究出“SAS”判定方法的？用 “SAS”判定三角形全等应注意什么问题？（3）到现在为止，你学到了几种证明两个三角形 全等的方法？课堂小结 第48页/共76页问题1先在一张纸上画一个ABC，然后在另一张纸上画DEF，使EF=BC，E=B，F=CABC 和DEF 能重合吗？根据你画的两个三角形及结果，你能得到又一个判定两个三角形全等的方法吗？两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（简称为“角边角”或“ASA”）动手画图，探究“ASA”判定方法第49页/共76页适时引申，探究“AAS”判定方法 问题2解答下面问题，你能获得什么结论？如图，在ABC 和DEF 中，A=D，B=E，BC=EF，ABC 与DEF 全等吗？你能利用“ASA”证明你的 结论吗？ABCDEF第50页/共76页应用“ASA”判定方法，解决实际问题 问题3如图，小明、小强一起踢球，不小心把一 块三角形的装饰玻璃踢碎了，摔成了3块，两人决定赔 偿你能告诉他们只带其中哪一块去玻璃店，就可以买 到一块完全一样的玻璃吗？321第51页/共76页例题示范，巩固新知证明：在ABE 和ACD 中，ABE ACD（ASA）AE=ADB=C，AB=AC，A=A，例1如图，点D 在AB上，点E 在AC上，BA=AC，B=C求证：AD=AE ABCDE第52页/共76页例题示范，巩固新知证明：DAB=EAC，DAC=EAB.AEBE，ADDC，D=E=90.在ADC 和AEB 中,ABCDE例2如图，AEBE，ADDC，CD=BE，DAB =EAC求证：AB=AC 第53页/共76页例题示范，巩固新知DAC=EAB，D=E，CD=BE，ADC AEB（AAS）AC=AB例2如图，AEBE，ADDC，CD=BE，DAB =EAC求证：AB=AC 证明：ABCDE第54页/共76页课堂练习练习如图，E，F 在线段AC上，ADCB，AE=CF若B=D，求证：DF=BEABCDEF证明：ADCB，A=C.AE=CF，AF=CE.在ADF 和CBE 中,第55页/共76页课堂练习练习如图，E，F 在线段AC上，ADCB，AE=CF若B=D，求证：DF=BEA=C，D=B，AF=CE，ADF CBE（AAS）DF=BE证明：ABCDEF第56页/共76页课堂练习变式若将条件“B=D”变为“DFBE”，那么原结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由ABCDEF第57页/共76页课堂小结（1）本节课学习了几种判断两个三角形全等的方法？分别是什么？它们之间有什么共同点和区别？（2）本节课学习的两种方法能否用“两角一边相等，则三角形全等”来代替？第58页/共76页第4课时12.2 三角形全等的判定第59页/共76页我们已经学过判定全等三角形的方法有哪些？1、边边边(SSS)3、角边角(ASA)4、角角边(AAS)2、边角边(SAS)第60页/共76页如图，AB BE于B，DEBE于E，（1）若 A=D，AB=DE，则ABC与 DEF （填“全等”或“不全等”）根据 （用简写法）.全等ASAABCDEF第61页/共76页ABCDEF（2）若 A=D，BC=EF，则ABC与DEF （填“全等”或“不全等”）根据 （用简写法）.AAS全等（3）若AB=DE，BC=EF，则ABC与DEF （填“全等”或“不全等”）根据 （用简写法）.全等SAS（4）若AB=DE，BC=EF，AC=DF，则 ABC与DEF （填“全等”或“不全等”）根据_（用简写法）.全等SSS第62页/共76页 如图，舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量.第63页/共76页ABCA1B1C1（1）你能帮他想个办法吗？方法一：测量斜边和一个对应的锐角.(AAS)方法二：测量没遮住的一条直角边和一个对应的锐 角.(ASA)或(AAS)第64页/共76页 如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”.你相信他的结论吗？下面让我们一起来验证这个结论.ABCA1B1C1第65页/共76页 任意画一个RtACB，使C90，再画一个RtACB使C=C，BCBC，ABAB，（1）你能试着画出来吗？与小组交流一下.（2）把画好的RtACB放到RtACB上，它们全等吗？你能发现什么规律？第66页/共76页 作MCN=90;CMN 在射线CM上截取线段 CB=CB;MNB 以B为圆心,BA为半径画弧，交射线CN于点A;CMNBA连接AB.CMNBAC第67页/共76页 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.简写成“斜边、直角边”或“HL”.第68页/共76页2.如图，AC=AD，C，D是直角，将上述条件标注在图中，你能说明BC与BD相等吗？CDAB在RtACB和RtADB中,AB=AB,AC=AD.RtACBRtADB(HL).BC=BD(全等三角形对应边相等).【解析】第69页/共76页【例】如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角ABC和DEF的大小有什么关系？【例题】第70页/共76页AFCEDB1.如图，AB=CD,BFAC,DEAC,AE=CF.求证：BF=DE.【跟踪训练】第71页/共76页 2.如图，两根长度为12 m的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由.第72页/共76页1.（温州中考）如图，AC，BD是矩形ABCD的对角线，过点D作DEAC交BC的延长线于E，则图中与ABC全等的三角形共有（）A1个 B2个 C3个 D4个第73页/共76页通过本课时的学习，需要我们掌握：直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判定全等的方法:SSS、SAS、ASA、AAS，还有直角三角形特殊的判定方法：HL.第74页/共76页 在数学的天地里，重要的不是我们知道什么，而是我们怎么知道什么.毕达哥拉斯 第75页/共76页谢谢大家观赏！第76页/共76页
