静电场及其边值问题的解法.ppt

静电场及其边值问题的解法静电场及其边值问题的解法现在学习的是第1页，共33页3.5 3.5 静电场边值问题，唯一性定理静电场边值问题，唯一性定理Electrostatic-Field Boundary-Value Problems,Uniqueness Theoremn边值问题：边值问题：在给定的边界条件下，求解位函数的泊松方程或拉普拉斯方程，以得到任在给定的边界条件下，求解位函数的泊松方程或拉普拉斯方程，以得到任意点位函数或场强；意点位函数或场强；本节内容本节内容本节内容本节内容 3.5.1 3.5.1 边值问题的类型边值问题的类型边值问题的类型边值问题的类型 3.5.2 3.5.2 惟一性定理惟一性定理惟一性定理惟一性定理现在学习的是第2页，共33页 静态场问题静态场问题已知场域边界上各点电位值电位值分布型问题分布型问题给定场源分布，求任意点给定场源分布，求任意点场强或位函数；场强或位函数；边值型问题边值型问题给定边界条件，求解位函给定边界条件，求解位函数的泊松方程或拉普拉斯数的泊松方程或拉普拉斯方程，以得到任意点位函方程，以得到任意点位函数或场强；数或场强；静静态态场场问问题题第一类第一类边界条件边界条件第二类第二类边界条件边界条件第三类第三类边界条件边界条件一、二类边界条件的线性组合线性组合，即已知场域边界上各点电位的法向导数电位的法向导数现在学习的是第3页，共33页一、静电场边值问题及其分类一、静电场边值问题及其分类1.边值问题的分类边值问题的分类-根据根据场域边界条件场域边界条件的的不同不同1.狄利克雷问题：给定整个场域边界上的电位函数值（第一类）1.聂曼问题：给定待求位函数在边界上的法向导数值 （第二类）1.混合边值问题：给定边界上的位函数及其法向导数的线性组合（第三类）现在学习的是第4页，共33页 2.边值条件包括：边值条件包括：1.场域场域的边界条件的边界条件2.衔接衔接条件条件-不同不同媒质分界面上媒质分界面上的边界条件的边界条件3.周期周期边界条件边界条件4.自然自然边界条件边界条件（无界空间）（无界空间）现在学习的是第5页，共33页 边值条件边值条件 自然边界条件自然边界条件（无界空间）（无界空间）周期边界条件周期边界条件 衔接条件衔接条件 -不同媒质不同媒质分界面上的边界条件分界面上的边界条件，如，如现在学习的是第6页，共33页例：例：（第一类边值问题）（第一类边值问题）（第三类边值问题）（第三类边值问题）例：例：现在学习的是第7页，共33页计算法实验法图解法边值型问边值型问题解法题解法解析法解析法数值法数值法有限差分法有限差分法有限元法有限元法边界元法边界元法矩量法矩量法镜像法镜像法分离变量法分离变量法复变函数法复变函数法格林函数法格林函数法3.5 3.5 静电场边值问题，唯一性定理静电场边值问题，唯一性定理3.边值型问题的解法边值型问题的解法现在学习的是第8页，共33页二、惟一性定理二、惟一性定理 Uniqueness Theorem 即，即，满足边界条件的泊松方程或拉普拉斯方程的解是惟一的满足边界条件的泊松方程或拉普拉斯方程的解是惟一的。3.5 3.5 静电场边值问题，唯一性定理静电场边值问题，唯一性定理 在场域在场域V 的边界面的边界面S上给定上给定 或或 的值，的值，则泊松方程或拉普拉斯方程在场域则泊松方程或拉普拉斯方程在场域V 具有惟具有惟一值。一值。惟一性定理的表述惟一性定理的表述惟一性定理的重要意义惟一性定理的重要意义给出了静态场边值问题具有惟一解的条件给出了静态场边值问题具有惟一解的条件为静态场边值问题的各种求解方法提供了理论依据为静态场边值问题的各种求解方法提供了理论依据为求解结果的正确性提供了判据为求解结果的正确性提供了判据现在学习的是第9页，共33页 3.6 3.6 镜像法镜像法 Image Method镜像法的镜像法的基本原基本原理理接地导体平面接地导体平面的镜像的镜像点电荷对点电荷对无限大介质平面无限大介质平面的镜像的镜像导体球面导体球面的镜像的镜像导体圆柱面导体圆柱面的镜像的镜像线电流线电流对无限大对无限大磁介质平面磁介质平面的镜像的镜像本节内容本节内容现在学习的是第10页，共33页 当当有有电电荷荷存存在在于于导导体体或或介介质质表表面面附附近近时时，导导体体和和介介质质表表面面会会出出现现感感应电荷或极化电荷，而感应电荷或极化电荷将影响场的分布。应电荷或极化电荷，而感应电荷或极化电荷将影响场的分布。非非均均匀匀感感应应电电荷荷产产生生的的电电位位很很难难求求解解，可可以用等效电荷的电位替代以用等效电荷的电位替代1.问题的提出问题的提出几个实例几个实例q q一一、镜像法的基本原理镜像法的基本原理接接地地导导体体板板附附近近有有一个点电荷，如图所示。一个点电荷，如图所示。qq非均匀感应电荷非均匀感应电荷等效电荷等效电荷现在学习的是第11页，共33页 接地导体球附近有一个点电荷，接地导体球附近有一个点电荷，如图如图。非非均均匀匀感感应应电电荷荷产产生生的的电电位位很很难难求求解解，可可以以用用等等效效电电荷荷的电位替代的电位替代 接地导体柱附近有一个线电荷。接地导体柱附近有一个线电荷。情况与上例类似，但等效电情况与上例类似，但等效电 荷为线电荷。荷为线电荷。q q非均匀感应电荷非均匀感应电荷qq等效电荷等效电荷结论结论：所谓镜像法是将不均匀电荷分布的作用等效为点电荷所谓镜像法是将不均匀电荷分布的作用等效为点电荷 或线电荷的作用。或线电荷的作用。问题问题：这种等效电荷是否存在？这种等效电荷是否存在？这种等效是否合理？这种等效是否合理？现在学习的是第12页，共33页2.镜像法的原理镜像法的原理镜像法概念：在一定条件下，用一个或多个一个或多个位于待求场域边界以外边界以外虚设的较简单的较简单的等效电荷等效电荷来等效替代场域等效替代场域边界上边界上未知的较为未知的较为复杂的电荷分布复杂的电荷分布的作用，且保持原有边界上边界保持原有边界上边界条件不变条件不变，则根据惟一性定理，待求场域空间电场可由原来的电荷和所有等效电荷产生的电场叠加得到。n从而将原含该边界的从而将原含该边界的非均匀媒质空间非均匀媒质空间变换成变换成无限大单一均匀无限大单一均匀媒质的空间媒质的空间，使分析计算过程得以明显简化；，使分析计算过程得以明显简化；n这些等效电荷称为镜像电荷镜像电荷，这种求解方法称为镜像法镜像法。现在学习的是第13页，共33页 用虚设的镜像电荷来替代实际边界用虚设的镜像电荷来替代实际边界,将原来具有边界的空间变成同一媒质空间同一媒质空间，使计算简化。镜像法镜像法:3.理论依据：理论依据：惟一性定理现在学习的是第14页，共33页 个数、位置个数、位置、电量大小电量大小“三要素三要素”。4.镜像法应用的关键点镜像法应用的关键点5.确定镜像电荷的两条原则确定镜像电荷的两条原则等效求解的等效求解的“有效场域有效场域”镜像电荷的确定镜像电荷的确定镜像电荷必须位于所求解的场区域以外的空间中；镜像电荷必须位于所求解的场区域以外的空间中；镜像电荷的个数、位置及电荷量的大小以满足所求解的场镜像电荷的个数、位置及电荷量的大小以满足所求解的场 区域区域 的边界条件来确定；的边界条件来确定；现在学习的是第15页，共33页二、二、接地导体平面的镜像接地导体平面的镜像1.点电荷点电荷对对无限大接地无限大接地导体平面的镜像导体平面的镜像2.线电荷线电荷对无限大接地导体平面的镜像对无限大接地导体平面的镜像3.点电荷点电荷对半无限大接地导体角域对半无限大接地导体角域(导体劈导体劈)的镜像的镜像现在学习的是第16页，共33页二、二、接地导体平面的镜像接地导体平面的镜像1.点电荷对无限大接地导体平面的镜像点电荷对无限大接地导体平面的镜像 求（1）导体上方（即导体上方（即z0z0的空间）的电位分布的空间）的电位分布；（2）导体表面的感应电荷。3.6 3.6 镜像法镜像法q q 待求场域：上半空间 边界：无限大导体平面 边界条件：现在学习的是第17页，共33页*此此时时，在在z0的的空空间间里里任任一一点点p(x,y,z)的的电电位位等等于于原原点点电电荷荷q和和镜镜像像电电荷荷所所产产生生电电位位的的叠叠加加。3.6 3.6 镜像法镜像法有效区域有效区域q qq q现在学习的是第18页，共33页注意：仅对上半空间等效。*此时要保证z=0平面边界条件不变，即应为零电位。可见，引入镜像电荷 后保证了边界条件不变；镜像点电荷位于z0的空间，电位仍然满足原有的方程。由惟一性定理知结果正确。故对z=0平面上任意点有*选无穷远处为参考点无穷远处为参考点，则在z0的空间任一点p的总电位是：得 3.6 3.6 镜像法镜像法现在学习的是第19页，共33页镜像电荷镜像电荷Z0Z0空间的电位分布：空间的电位分布：有效区域有效区域q qq q现在学习的是第20页，共33页上半空间的电场强度：现在学习的是第21页，共33页（2 2）根据静电场的边界条件，求导体表面的感应电荷密度：）根据静电场的边界条件，求导体表面的感应电荷密度：3.6 3.6 镜像法镜像法q q现在学习的是第22页，共33页导体表面的总感应电荷导体表面的总感应电荷导体表面上感应电荷对点电荷的作用力镜像电荷 代替了导体表面所有感应电荷对上半空间的作用。可见，q q或或现在学习的是第23页，共33页2.线电荷对无限大接地导体平面的镜像线电荷对无限大接地导体平面的镜像原问题原问题有效区域有效区域-hz镜像线电荷：镜像线电荷：待求场域待求场域 z0中的电位中的电位:u上半空间的电场xz现在学习的是第24页，共33页3.点电荷点电荷对半无限大接地导体角域对半无限大接地导体角域(导体劈导体劈)的镜像的镜像两两个个相相互互垂垂直直相相连连的的半半无无限限大大接接地地导导体体平平板板形形成成的的角角域域内内，有有点点电电荷荷q 位于位于(d1,d2)处处,求角内的电场分布。求角内的电场分布。d11qd22RR1R2R3q1d1d2d2q2d1q3d2d1现在学习的是第25页，共33页 d1qd2RR1R2R3q1d1d2d2q2d1q3d2d1 d11qd22镜像电荷镜像电荷q1=q，位于，位于(d1,d2)镜像电荷镜像电荷q2=q，位于，位于(d1,d2)镜像电荷镜像电荷q3=q,位于位于(d1,d2)电位函数电位函数现在学习的是第26页，共33页由两个半无限大接地导体平面形成角形边界，当其夹角 为整数时，该角域中的点电荷将有(2n-1)个镜像电荷，该角域中的场可以用镜像法求解;结论：结论：q/3/3q当n=3时：现在学习的是第27页，共33页u当当n n=3=3时：时：u角域夹角为角域夹角为/n，n为整数时，有为整数时，有(2n1)个镜像电荷，个镜像电荷，un不为整数时，镜像电荷将有无数个，镜像法就不再适用了；当角域不为整数时，镜像电荷将有无数个，镜像法就不再适用了；当角域夹角为钝角时，镜像法亦不适用。夹角为钝角时，镜像法亦不适用。角域外有5个镜像电荷，大小和位置如图所示。所有镜像电荷都正、负交替地分布在同一个圆周上，该圆的圆心位于角域的顶点，半径为点电荷到顶点的距离。轮流找出镜像电荷及镜像电荷的镜像，直到最后的镜像电荷与原电荷重合为止。现在学习的是第28页，共33页 例例1 一一个个点点电电荷荷q与与无无限限大大导导体体平平面面距距离离为为d，如如果果把把它它移移至至无无穷穷远远处处，需要做多少功？需要做多少功？解解：移移动动电电荷荷q时时，外外力力需需要要克克服服电电场场力力做做功功，而而电电荷荷q受受的的电电场场力力来来源源于于导导体体板板上上的的感感应应电电荷荷。可可以以先先求求电电荷荷q 移移至至无无穷穷远远时时电电场力所做的功。场力所做的功。qqx =0d-d 由由镜镜像像法法，感感应应电电荷荷可可以以用用像像电电荷荷 替替代代。当当电电荷荷q 移移至至x时，像电荷时，像电荷 应位于应位于x，则，则像电荷产生的电场强度像电荷产生的电场强度现在学习的是第29页，共33页1.点电荷对无限大接地导体平面的镜像点电荷对无限大接地导体平面的镜像 求（1）导体上方（即导体上方（即z0z0的空间）的空间）的电位分布的电位分布；（2）导体表面的感应电荷。3.6 3.6 镜像法镜像法 待求场域：上半空间 边界：无限大导体平面 边界条件：z=0 时有效区域有效区域q qq q镜像电荷镜像电荷现在学习的是第30页，共33页2.线电荷对无限大接地导体平面的镜像线电荷对无限大接地导体平面的镜像原问题原问题有效区域有效区域-hz镜像线电荷：镜像线电荷：xz现在学习的是第31页，共33页u当当n n=3=3时：时：u角域夹角为角域夹角为/n，n为整数时，有为整数时，有(2n1)个镜像电荷，个镜像电荷，un不为整数时，镜像电荷将有无数个，镜像法就不再适用了；当角不为整数时，镜像电荷将有无数个，镜像法就不再适用了；当角域夹角为钝角时，镜像法亦不适用。域夹角为钝角时，镜像法亦不适用。轮流找出镜像电荷及镜像电荷的镜像，直到最后的镜像电荷与原电荷重合为止。3.点电荷点电荷对半无限大接地导体角域对半无限大接地导体角域(导体劈导体劈)的镜像的镜像现在学习的是第32页，共33页三、点电荷对无限大介质平面的镜像设想用镜像电荷代替界面上极化电荷的作用，并使镜像电荷和点电荷共同作用，满足界面上的边界条件。当待求区域为介质1所在区域时，在边界之外设一镜像电荷 q介质1中任一点的电位为：现在学习的是第33页，共33页