第二节数列极限.ppt
第二节数列极限现在学习的是第1页，共28页数学语言描述数学语言描述:一一、数列极限的定义、数列极限的定义引例引例.设有半径为设有半径为 r 的圆的圆,逼近圆面积逼近圆面积 S.如图所示如图所示,可知可知当当 n 无限增大时无限增大时,无限逼近无限逼近 S(刘徽割圆术刘徽割圆术),当当 n N 时时,用其内接正用其内接正 n 边形的面积边形的面积总有总有现在学习的是第2页，共28页定义定义:自变量取正整数的函数称为自变量取正整数的函数称为数列数列,记作记作或或称为称为通项通项(一般项一般项).若数列若数列及常数及常数 a 有下列关系有下列关系:当当 n N 时时,总有总有记作记作此时也称数列此时也称数列收敛收敛,否则称数列否则称数列发散发散.几何解释几何解释:即即或或则称该数列则称该数列的极限为的极限为 a,现在学习的是第3页，共28页例如例如,趋势不定趋势不定收收 敛敛发发 散散现在学习的是第4页，共28页例例1.已知已知证明数列证明数列的极限为的极限为1.证证:欲使欲使即即只要只要因此因此,取取则当则当时时,就有就有故故现在学习的是第5页，共28页例例2.已知已知证明证明证证:欲使欲使只要只要即即取取则当则当时时,就有就有故故故也可取故也可取也可由也可由N 与与 有关有关,但不唯一但不唯一.不一定取最小的不一定取最小的 N.说明说明:取取现在学习的是第6页，共28页例例3.设设证明等比数列证明等比数列证证:欲使欲使只要只要即即亦即亦即因此因此,取取,则当则当 n N 时时,就有就有故故的极限为的极限为 0.现在学习的是第7页，共28页二、收敛数列的性质二、收敛数列的性质证证:用反证法用反证法.及及且且取取因因故存在故存在 N1,从而从而同理同理,因因故存在故存在 N2,使当使当 n N2 时时,有有1.收敛数列的极限唯一收敛数列的极限唯一.使当使当 n N1 时时,假设假设从而从而矛盾矛盾.因此收敛数列的极限必唯一因此收敛数列的极限必唯一.则当则当 n N 时时,故假设不真故假设不真!满足的不等式满足的不等式现在学习的是第8页，共28页例例4.证明数列证明数列是发散的是发散的.证证:用反证法用反证法.假设数列假设数列收敛收敛,则有唯一极限则有唯一极限 a 存在存在.取取则存在则存在 N,但因但因交替取值交替取值 1 与与1,内内,而此二数不可能同时落在而此二数不可能同时落在长度为长度为 1 的开区间的开区间 使当使当 n N 时时,有有因此该数列发散因此该数列发散.现在学习的是第9页，共28页2.收敛数列一定有界收敛数列一定有界.证证:设设取取则则当当时时,从而有从而有取取 则有则有由此证明收敛数列必有界由此证明收敛数列必有界.说明说明:此性质反过来不一定成立此性质反过来不一定成立.例如例如,虽有界但不收敛虽有界但不收敛.有有数列数列现在学习的是第10页，共28页3.收敛数列的保号性收敛数列的保号性.若若且且时时,有有证证:对对 a 0,取取推论推论:若数列从某项起若数列从某项起(用反证法证明用反证法证明)现在学习的是第11页，共28页*4.收敛数列的任一子数列收敛于同一极限收敛数列的任一子数列收敛于同一极限.证证:设数列设数列是数列是数列的任一子数列的任一子数列.若若则则当当 时时,有有现取正整数现取正整数 K,使使于是当于是当时时,有有从而有从而有由此证明由此证明*现在学习的是第12页，共28页三、极限存在准则三、极限存在准则由此性质可知由此性质可知,若数列有两个子数列收敛于不同的极若数列有两个子数列收敛于不同的极限限,例如，例如，发散发散!夹逼准则夹逼准则;单调有界准则单调有界准则;柯西审敛准则柯西审敛准则.则原数列一定发散则原数列一定发散.说明说明:现在学习的是第13页，共28页1.夹逼准则夹逼准则(准则准则1)(P49)证证:由条件由条件(2),当当时时,当当时时,令令则当则当时时,有有由条件由条件(1)即即故故 现在学习的是第14页，共28页例例5.证明证明证证:利用夹逼准则利用夹逼准则.且且由由现在学习的是第15页，共28页2.单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限(准则准则2)(P52)(证明略证明略)现在学习的是第16页，共28页例例6.设设证明数列证明数列极限存在极限存在.(P52P54)证证:利用二项式公式利用二项式公式,有有现在学习的是第17页，共28页大大 大大 正正又又比较可知比较可知现在学习的是第18页，共28页根据准则根据准则 2 可知数列可知数列记此极限为记此极限为 e,e 为无理数为无理数,其值为其值为即即有极限有极限.又又现在学习的是第19页，共28页*3.柯西极限存在准则柯西极限存在准则(柯西审敛原理柯西审敛原理)(P55)数列数列极限存在的充要条件是极限存在的充要条件是:存在正整数存在正整数 N,使当使当时时,证证:“必要性必要性”.设设则则时时,有有 使当使当因此因此“充分性充分性”证明从略证明从略.有有现在学习的是第20页，共28页内容小结内容小结1.数列极限的数列极限的“N”定义及应用定义及应用2.收敛数列的性质收敛数列的性质:唯一性唯一性;有界性有界性;保号性保号性;任一子数列收敛于同一极限任一子数列收敛于同一极限3.极限存在准则极限存在准则:夹逼准则夹逼准则;单调有界准则单调有界准则;柯西准则柯西准则现在学习的是第21页，共28页思考与练习思考与练习1.如何判断极限不存在如何判断极限不存在?方法方法1.找一个趋于找一个趋于的子数列的子数列;方法方法2.找两个收敛于不同极限的子数列找两个收敛于不同极限的子数列.2.已知已知,求求时时,下述作法是否正确下述作法是否正确?说明理由说明理由.设设由递推式两边取极限得由递推式两边取极限得不对不对!此处此处现在学习的是第22页，共28页3.若对任意若对任意中仅有有限多项不满足中仅有有限多项不满足则数列则数列以以为极限吗为极限吗?4.数列数列收敛于实数收敛于实数等于等于 ，A.对任给对任给在在内有数列内有数列的无穷多项的无穷多项B.对任给对任给在在内有数列内有数列的有穷多项的有穷多项C.对任给对任给在在外有数列外有数列的无穷多项的无穷多项D.对任给对任给在在外有数列外有数列的有穷多项的有穷多项5.若若和和都收敛于都收敛于，则，则必定收敛于必定收敛于。现在学习的是第23页，共28页作业P30 3(2),(3),4 ,6P56 4(1),(3)4(3)提示:可用数学归纳法证现在学习的是第24页，共28页故极限存在，故极限存在，备用题备用题 1.1.设设,且且求求解：解：设设则由递推公式有则由递推公式有数列单调递减有下界，数列单调递减有下界，故故利用极限存在准则利用极限存在准则现在学习的是第25页，共28页 2.设设证证:显然显然证明下述数列有极限证明下述数列有极限.即即单调增单调增,又又存在存在“拆项相消拆项相消”法法现在学习的是第26页，共28页
