有限元法基础平板弯曲问题.pptx
10.平板弯曲问题 本章要点本章要点l板弯曲理论的基本假设和方程板弯曲理论的基本假设和方程lKirchhoff板单元的构造方法和特点板单元的构造方法和特点lMindlin板单元的构造方法和特点板单元的构造方法和特点l离散离散Kirchhoff单元的基本特点单元的基本特点有限元法基础1第1页/共52页10.平板弯曲问题关键概念关键概念C1 1类板单元类板单元 C0 0类板单元类板单元非协调板单元非协调板单元 协调板单元协调板单元Ks奇异性条件奇异性条件 Ke非奇异性条件非奇异性条件DKT板单元板单元有限元法基础2第2页/共52页10.平板弯曲问题有限元法基础3ZXY中面中面板的特点：在一个方向的尺度远远小于其他两个板的特点：在一个方向的尺度远远小于其他两个方向，中面是平面，只承受横向载荷。方向，中面是平面，只承受横向载荷。第3页/共52页10.1 Kirchhoff板单元有限元法基础4一一.基本方程基本方程lKirchhoff假设假设 1）变形前垂直于中面的直线段，变形后依然垂）变形前垂直于中面的直线段，变形后依然垂 直于中面，并且忽略它的伸缩变形直于中面，并且忽略它的伸缩变形 2）忽略厚度方向的应力，即）忽略厚度方向的应力，即第4页/共52页10.1 Kirchhoff板单元有限元法基础5l板中任意点的位移表示为板中任意点的位移表示为三维问题三维问题 二维问题二维问题 第5页/共52页10.1 Kirchhoff板单元有限元法基础6l定义广义应变和定义广义应变和 广义内力广义内力l广义应力应变关系广义应力应变关系抗弯刚度抗弯刚度第6页/共52页10.1 Kirchhoff板单元有限元法基础7l应力与广义内力的关系应力与广义内力的关系l平衡方程平衡方程l以中面挠度以中面挠度w表示的微分方程表示的微分方程第7页/共52页10.1 Kirchhoff板单元有限元法基础8l边界条件边界条件1）固支类边界）固支类边界2）简支类边界）简支类边界3）给定力边界）给定力边界第8页/共52页10.1 Kirchhoff板单元有限元法基础9第9页/共52页10.1 Kirchhoff板单元有限元法基础10l最小势能原理最小势能原理以上广义应变是挠度以上广义应变是挠度w的二阶导数关系，基于的二阶导数关系，基于此理论的板单元是此理论的板单元是C1类连续问题。类连续问题。第10页/共52页10.1 Kirchhoff板单元有限元法基础11l有限元列式有限元列式 设插值函数为设插值函数为 通过泛函取驻值得有限元方程通过泛函取驻值得有限元方程 单元刚度矩阵单元刚度矩阵第11页/共52页10.1 Kirchhoff板单元有限元法基础12二二.非协调矩形板单元非协调矩形板单元 每节点有每节点有3DOF，4节点单元共节点单元共12个节点个节点DOF。第12页/共52页10.1 Kirchhoff板单元有限元法基础13l插值函数插值函数 按广义坐标有限元法，在按广义坐标有限元法，在Pascal三角形中选取三角形中选取12项多项式项多项式 第13页/共52页10.1 Kirchhoff板单元有限元法基础14 第14页/共52页10.1 Kirchhoff板单元有限元法基础15l以节点以节点DOF表示插值函数表示插值函数 表示为矩阵形式表示为矩阵形式 第15页/共52页10.1 Kirchhoff板单元有限元法基础16l以自然坐标表示以自然坐标表示 第16页/共52页10.1 Kirchhoff板单元有限元法基础17l收敛性检查收敛性检查 1）位移模式位移模式 代表刚体位移代表刚体位移 沿沿Z向的平移和绕向的平移和绕y轴和轴和X轴的转动轴的转动 2）位移模式）位移模式 代表常曲率代表常曲率 满足完备性要求满足完备性要求第17页/共52页10.1 Kirchhoff板单元有限元法基础18 3）单元间连续性检查）单元间连续性检查 单元边界为单元边界为x=常数常数 或或 y=常数，常数，w是三次变化曲线。是三次变化曲线。以以23边为例，可以由边为例，可以由 4个参数个参数完全确定。完全确定。在在23边的法向导数为边的法向导数为 为三次为三次x变化变化,而在边界上只有而在边界上只有2个个参数。参数。法向导数不连续法向导数不连续第18页/共52页10.1 Kirchhoff板单元有限元法基础19 4）由于在单元间边界上法向导数不连续，所以插值函）由于在单元间边界上法向导数不连续，所以插值函数是非协调的；数是非协调的；5）单单元元不不满满足足收收敛敛准准则则，但但是是可可以以验验证证该该单单元元通通过过补补片片试试验验（Patch Test），故故当当单单元元剖剖分分不不断断缩缩小小时时，计计算结果还是能收敛于精确解。算结果还是能收敛于精确解。通过补片试验通过补片试验实际验算实际验算第19页/共52页10.1 Kirchhoff板单元有限元法基础20例例:均布载荷下四边固支方形薄板均布载荷下四边固支方形薄板,利用对称性取四分之一板计算利用对称性取四分之一板计算第20页/共52页10.1 Kirchhoff板单元有限元法基础21例例:载荷作用下方形薄板载荷作用下方形薄板,利用对称性取四分之一板计算利用对称性取四分之一板计算注：由于是非协调元，位移解并补满足下界条件注：由于是非协调元，位移解并补满足下界条件第21页/共52页10.1 Kirchhoff板单元有限元法基础22三三.3节点三角形非协调板单元节点三角形非协调板单元共有共有3 39个个DOF三次完备多项式三次完备多项式 ijm10项第22页/共52页10.1 Kirchhoff板单元有限元法基础23l插值函数插值函数 面积坐标刚体位移常应变第23页/共52页10.1 Kirchhoff板单元有限元法基础24l坐标变换坐标变换l代入节点坐标求出系数，得到形函数代入节点坐标求出系数，得到形函数 第24页/共52页10.1 Kirchhoff板单元有限元法基础25l位移插值函数的特点位移插值函数的特点a)插值函数包含有完备的线性项和二次项，能插值函数包含有完备的线性项和二次项，能正确反映刚体位移和常应变；正确反映刚体位移和常应变；b)在单元边界上，在单元边界上，w是三次变化，可由两端节点是三次变化，可由两端节点的的w 和和w,s唯一确定，唯一确定，w是协调的；是协调的；c)在单元边界上，在单元边界上，w,n是二次变化的是二次变化的,不能由两端不能由两端节点的节点的w,n确定，确定，w,n是非协调的。是非协调的。第25页/共52页10.1 Kirchhoff板单元有限元法基础26 l Irons等已证明如果单元网格是由3组等间距直线产生的，单元能够通过补片试验，并收敛于解析解。第26页/共52页10.1 Kirchhoff板单元有限元法基础273节点三角板元节点三角板元四.协调单元l思路：在边界(如i-j)上寻找校正函数 ，具有性质1）在全部边界上2）在 j-m,i-m 边上3)在 i-j 上 ，按二次变化，且在中点上取1 单元边界上单元边界上w,n 二次变化二次变化非协调元非协调元第27页/共52页10.1 Kirchhoff板单元有限元法基础28l插直函数w是非协调元的产值函数,为待定常数。目目的的：调整 使在单元边界中点处的 w,n等于两端节点的 w,n 的平均值，也即使得边界上法向导数线性化，可由两端点的值唯一确定。第28页/共52页10.1 Kirchhoff板单元有限元法基础29l 的确定线性化要求，在边界中点处原插值原插值函数计函数计算出的算出的各边界各边界中点值中点值原插值原插值函数计函数计算的边算的边界中点界中点平均值平均值第29页/共52页10.1 Kirchhoff板单元有限元法基础30l校正函数校正函数可以验证以上函数满足校正函数的要求，即在全可以验证以上函数满足校正函数的要求，即在全部边界上等于零，在部边界上等于零，在i-m和和j-m边法向导数为零，边法向导数为零，在在i-j边上边上 二次变化。二次变化。令令 第30页/共52页10.1 Kirchhoff板单元有限元法基础31l单元特点单元特点a)单元协调性完全满足单元协调性完全满足b)随着单元尺寸不断减小，解能单调收敛于精确解随着单元尺寸不断减小，解能单调收敛于精确解c)有高阶校正函数，要提高数值积分阶次有高阶校正函数，要提高数值积分阶次d)实际计算时，单元往往过于刚硬实际计算时，单元往往过于刚硬第31页/共52页10.1 Kirchhoff板单元有限元法基础32l例：简支方板受中心集中力例：简支方板受中心集中力第32页/共52页l协调薄板元列式的其他方法协调薄板元列式的其他方法1）组合单元法）组合单元法 将将四四个个三三角角形形单单元元组组合合为为一一个个四四边边形形单单元元，选选用用特特殊殊插插值值函函数数，使使之之满足连续性要求，并凝聚内部节点满足连续性要求，并凝聚内部节点2）多节点参数法）多节点参数法 引入高阶导数项作为节点引入高阶导数项作为节点DOF，以提高边界的协调性，例如以提高边界的协调性，例如10.1 Kirchhoff板单元有限元法基础33第33页/共52页lReissner-Mindlin 变形假设变形假设 变变形形前前垂垂直直于于中中面面的的直直线线段段，变变形形后后仍仍然然保保持持为为直直线线段段，但但不不在在垂垂直于中面。直于中面。10.2 Mindlin板单元有限元法基础34第34页/共52页l广义应变广义应变l变分原理变分原理10.2 Mindlin板单元有限元法基础35一般取一般取 k=5/6第35页/共52页l位移插值位移插值10.2 Mindlin板单元有限元法基础36第36页/共52页l应变应变-节点节点DOF矩阵矩阵10.2 Mindlin板单元有限元法基础37第37页/共52页l有限元方程有限元方程由泛函取极值条件得由泛函取极值条件得单元刚度矩阵单元刚度矩阵10.2 Mindlin板单元有限元法基础38第38页/共52页l边界条件边界条件 三种类型：三种类型：1）2）3）给给定定位位移移属属于于强强制制边边界界条条件件，给给定定内内力力属属于于自自然然边界条件边界条件10.2 Mindlin板单元有限元法基础39第39页/共52页l剪切自锁剪切自锁 与与Timoshenko梁梁单单元元一一样样Mindlin板板元元中中剪剪切切能量引入后，存在罚因子现象能量引入后，存在罚因子现象解决办法有减缩积分、假设应变等方法解决办法有减缩积分、假设应变等方法多变量有限元也是常见的处理方法多变量有限元也是常见的处理方法10.2 Mindlin板单元有限元法基础40第40页/共52页l积分方案积分方案目标：保证目标：保证K非奇异性和非奇异性和Ks奇异性奇异性保证保证K非奇异性的必要条件非奇异性的必要条件M单元数；单元数；ng高斯积分点数；高斯积分点数；d应变分量数；应变分量数；N系统的独立系统的独立DOF数。数。N节点总数节点总数每节点每节点DOF数给定约束数数给定约束数10.2 Mindlin板单元有限元法基础41第41页/共52页对对Mindlin板单元，保证板单元，保证K非奇异性的必要条件非奇异性的必要条件nb 和和ns分分别别为为Kb和和Ks的的高高斯斯积积分分点点数数；db和和ds分分别别为为Kb和和Ks的应变分量数，的应变分量数，db3，ds2。保证保证Ks奇异性的必要条件奇异性的必要条件10.2 Mindlin板单元有限元法基础42第42页/共52页积分方案积分方案10.2 Mindlin板单元有限元法基础43第43页/共52页l假设应变法假设应变法 以以4节节点点Mindlin板板元元为为例例，为为双双线线性性插插值值，剪应变为剪应变为10.2 Mindlin板单元有限元法基础44第44页/共52页l新泛函新泛函l假设剪应变假设剪应变4节点取样点节点取样点10.2 Mindlin板单元有限元法基础45第45页/共52页剪应变取样点剪应变取样点10.2 Mindlin板单元有限元法基础46第46页/共52页l思路思路 使使用用Mindlin板板理理论论，将将薄薄板板的的C1类类连连续续降降为为C0类类连连续续问问题题，然然后后在在一一些些离离散散点点上上和和特特定定线线上上满满足足Kirchhoff假假设设，这这样样建建立立的的单单元元避避免免了了C1类类的的插插值值的难点，也避开了的难点，也避开了Ks奇异的处理。奇异的处理。DKT单元只适合应用于薄板分析。单元只适合应用于薄板分析。10.3 离散Kirchhoff薄板单元（DKT）有限元法基础47第47页/共52页l泛函表达式泛函表达式l位移插值位移插值10.3 离散Kirchhoff薄板单元（DKT）有限元法基础48第48页/共52页l离散离散Kirchhoff假设假设1）在角节点）在角节点2）在各边中节点）在各边中节点10.3 离散Kirchhoff薄板单元（DKT）有限元法基础49第49页/共52页l在单元边界假设三次在单元边界假设三次w节点参数节点参数 wi，w,si 在在i-j边上切向导数，其中边上切向导数，其中lij为边长为边长利利用用6个个离离散散Kirchhoff约约束束条条件件可可消消除除单单元元的的6个个边中点边中点DOF，得到，得到单元是单元是9DOF的的3节点三角形薄板元节点三角形薄板元10.3 离散Kirchhoff薄板单元（DKT）有限元法基础50第50页/共52页 板弯曲理论中对垂直于中面的直线段的不同变形假设导致不同的连续性问题；使用C1类板理论建立有限元列式，选取连续的位移插值函比较困难；使用C0类板理论建立有限元列式，需要处理剪切自锁现象。10.4 小结有限元法基础51第51页/共52页52感谢您的观看！第52页/共52页
