正多面体与欧拉定理.pptx

定义：每个面都是有相同边数的正多边形，每个顶点为端点都有相同棱数的凸多面体，叫做正多面体正多面体：第1页/共20页 正多面体有且仅有五种：正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体 第2页/共20页 正多面体有且仅有五种：正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体 第3页/共20页正多面体的展开图 第4页/共20页 著名的数学家，瑞士人，大部分时间在俄国和法国度过他17岁获得硕士学位，早年在数学天才贝努里赏识下开始学习数学，毕业后研究数学，是数学史上最高产的作家在世发表论文700多篇，去世后还留下100多篇待发表其论著几乎涉及所有数学分支他首先使用f(x)表示函数，首先用表示连加，首先用i表示虚数单位在立体几何中多面体研究中，首先发现并证明欧拉公式欧拉欧拉公式及其应用第5页/共20页讨论问题1：（1）数出下列四个多面体的顶点数V、面数F、棱数E 并填表(1)（2）（3）图形编号顶点数V面数F棱数E（1）（2）（3）（4）规律：V+F-E=2 464 8612 6812201230(4)第6页/共20页(6)问题1：（2）数出下列多面体的顶点数V、面数F、棱数E 并填表讨论(5)5857812图形编号顶点数V面数F棱数E（5）（6）121224（7）(7)第7页/共20页多面体简单多面体表面经过连续变形能变成一个球面的多面体V+F-E=2简单多面体欧拉公式欧拉示性数第8页/共20页问题2：如何证明欧拉公式ABCDEA1B1C1D1E1ABCDEA1B1C1D1E1讨论压缩成平面图形第9页/共20页问题2：如何证明欧拉公式ABCDEA1B1C1D1E1ABCDEA1B1C1D1E1讨论压缩成平面图形第10页/共20页1、（1）一个简单多面体的各面都是三角形，则它的顶点数V和面数F的关系为_。欧拉公式的应用(2)一个简单多面体的各个顶点都有三条棱，则顶点数V与面数F满足的关系为_。第11页/共20页欧拉公式的应用2、简单多面体的每个面都是五边形，且每个顶点的一端都有三条棱，求这个多面体的面数和棱数第12页/共20页4、一个凸多面体的棱数是30，面数为12，则它的各面多边形内角的总和为_。5、是否存在这样的多面体，它有奇数个面，且每一个面都有奇数条边第13页/共20页欧拉公式的应用3、1996年的诺贝尔化学奖授予对发现C60有重大贡献的三位科家C60是有60 个C原子组成的分子，它结构为简单多面体形状这个多面体有60个顶点，从每个顶点都引出3条棱，各面的形状分别为五边形或六边形两种计算C60分子中形状为五边形和六边形的面各有多少？第14页/共20页小结猜想证明应用空间问题平面化V+F-E=2欧拉公式第15页/共20页（方法二）以四面体 为例来说明：将它的一个面 去掉，并使其变为平面图形，四面体的顶点数 、棱数 与剩下的面数 变形后都没有变。因此，要研究 、和 的关系，只要去掉一个面，将它变形为平面图形既可。对平面图形，我们来研究：（1）去掉一条棱，就减少一个面 例如去掉 ，就减少一个面，同理去掉棱 、也就各减少一个面 、因此，、的值都不变，因此 的值也不变。第16页/共20页（2）再从剩下的树枝形中，去掉一条棱，就减少一个顶点例如去掉 ，就减少一个顶点 ，同理，去掉 就减少一个顶点 ，最后剩下在此过程中 的值不变，但这时面数 是0。所以 的值也不变。最后只剩下 ，所以 最后加上去掉的一个面，就得到第17页/共20页例1.由欧拉定理证明：正多面体只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体这五种证明：设正多面体的每个面的边数为n，每个顶点连有m条棱，令这个多面体的面数为F，每个面有n条边，故共有nF条边，由于每条边都是两个面的公共边，故多面体棱数 （2）令这个多面体有个V顶点，每一个顶点处有m条棱，故共有mV条棱,由于每条棱有两个顶点，故多面体棱数 （1）由（1）（2）得：，代入欧拉公式：即 （3），又 ，但m,n不能同时大于3，（若 ，则有 ，即 这是不可能的）第18页/共20页m,n中至少有一个等于3令 ，则 ，同样若 可得 第19页/共20页感谢您的观看！第20页/共20页