ch数列收敛性的判别准则实用.pptx
2几种证明极限存在的方法：几种证明极限存在的方法：n按照数列极限的定义证明。n利用夹逼性证明。最简单的思想是利用数列本身的性质证明数列极限的存在性第2页/共41页3n（1）单调有界准则n（2）数列极限的归并原理n（3）Weierstrass(维尔斯特拉斯维尔斯特拉斯)定理n（4）柯西(Cauchy)收敛原理2.3 2.3 数列极限存在的判别准则数列极限存在的判别准则第3页/共41页4（1 1）单调有界准则）单调有界准则单调增加单调减少单调数列几何解释:更细致地，单调增加且有上界的数列必有极限.单调递减且有下界的数列必有极限.用确界定理证明第4页/共41页5几点说明：定理中 an 的单调性只要从某一项之后满足即可.这是因为数列的敛散性与前有限项无关。此定理的条件为充分但非必要条件。本定理只是证明了存在性。第5页/共41页6例例6 6证证(舍去)第6页/共41页7证明例例7证证第7页/共41页8正的第8页/共41页9第9页/共41页10EXEX解解解解EX 设其中 ，证明 收敛。第10页/共41页11证明：证明：递增显然，下面证明有上界，事实上：EX 设其中 ，证明 收敛。第11页/共41页12分别用定义，夹逼性及单调有界准则三种方法进一步考虑Z 思考思考第12页/共41页15 子数列概念及其收敛性子数列概念及其收敛性定义注（2 2）数列极限的归并原理数列极限的归并原理第15页/共41页16数列收敛与其子数列收敛的密切联系数列收敛与其子数列收敛的密切联系：定理 2.7(数列极限的归并原理)证明：必要性证明：必要性充分性，充分性，注意到 是其自身的子数列！第16页/共41页17推论推论 若数列存在两个子数列分别收敛于不同的极限，则这个数列必发散。注意注意 该推论是证明数列发散的很好的工具。第17页/共41页18例8证明 (必要性)由定理2.72.7第18页/共41页19数列收敛与其子数列收敛的密切联系数列收敛与其子数列收敛的密切联系：n1 若数列收敛，则其任意子数列也收敛（并且收敛到同一极限）n2 若数列的奇数列和偶数列都收敛到同一极限，则原数列也收敛到该极限第19页/共41页21（3）Weierstrass定理考虑有界数列和收敛数列之间的关系考虑有界数列和收敛数列之间的关系收敛数列一定有界收敛数列一定有界有界数列未必收敛有界数列未必收敛定理定理2.8(Weierstrass定理定理)有界数列必有收敛子数列有界数列必有收敛子数列用单调有界准则证明！引理引理 从任意数列中必可取出一个单调的从任意数列中必可取出一个单调的子数列子数列先给出以下引理证明：设an 是有界数列，由引理从中可取出一个单调的子数列ank,它显然是有界的，由单调有界准则得ank是收敛的。引理引理 从任意数列中必可取出一个单调的从任意数列中必可取出一个单调的子数列子数列第21页/共41页22引理引理 从任意数列中必可取出一个单调的从任意数列中必可取出一个单调的子数列子数列（2）若数列中只有有限多项可作为“龙头”，这时取最后一个“龙头”的下一项，记作an1，由于an1不是“龙头”，在它的后边必有一项an2（n2n1)满足an1 an2，如此进行下去就得到一个子列ank,它是一个严格递增子列。证明 先引进一个定义：若数列中的一项大于等于在这项之后的所有各项，则称这一项是一个“龙头”。分二种情况讨论。（1）若数列中存在着无穷多个“龙头”，那么把这些可作为“龙头”的项依次地取下来，显然得到一个递减的数列。第22页/共41页232.数列的任意收敛子数列的极限称为该数列的极限点,也称为聚点.说明1.定理2.8也称为致密性定理;数列的聚点原理.定理定理2.8(Weierstrass定理定理)有界数列必有收敛子数列有界数列必有收敛子数列注意：聚点可以属于数列中的点也可以不属于！第23页/共41页24（4 4）柯西柯西(Cauchy)(Cauchy)收敛原理收敛原理1）Cauchy数列（基本数列）:定义定义2.2 如果对为基本数列为基本数列思考:证明证明第24页/共41页25补充：证明证2）柯西收敛原理定理定理 2.92.9 (柯西收敛原理)收敛收敛为基本数列，简称基本列。为基本数列，简称基本列。第25页/共41页26 定理定理2.92.9 柯西极限存在准则柯西极限存在准则(柯西收敛原理柯西收敛原理)数列数列极限存在的充要条件是极限存在的充要条件是:存在正整数存在正整数 N,使当使当时时,证明证明:“必要性必要性”.设设则则时时,有有 使当使当因此因此有有第26页/共41页27“充分性充分性”为基本数列为基本数列由定理由定理2.8，使当使当时时,有有 另一方面，另一方面，为基本数列为基本数列,使当使当时时,有有 取取使当使当时时,有有 第27页/共41页28柯西(Cauchy)收敛原理第28页/共41页29例9 分析第29页/共41页32柯西(Cauchy)收敛准则的意义n收敛数列的各项越到后面，项之间几乎“挤”在了一起。n判别 的收敛性只要根据本身满足的特性就可以判别，不需要引入别的数列作参照。n把数列项与其极限的关系变换为数列各个项之间的关系。第32页/共41页33柯西(Cauchy)收敛原理第33页/共41页34例11 利用：取：第34页/共41页35注意：区间套定理第35页/共41页36故极限存在，故极限存在，1.1.设设,且且求求解解：设设则由递推公式有则由递推公式有数列单调递减有下界，数列单调递减有下界，故故利用极限存在准则利用极限存在准则第36页/共41页37 2.设设证证:显然显然证明下述数列有极限证明下述数列有极限.即即单调增单调增,又又存在存在“拆项相消拆项相消”法法第37页/共41页38内容小结内容小结1.数列极限的数列极限的“N”定义及应用定义及应用2.收敛数列的性质收敛数列的性质:唯一性唯一性;有界性有界性;保号性保号性;保不等式性保不等式性;四四则运算法则则运算法则;夹逼性夹逼性3.数列收敛性（极限存在）判别准则数列收敛性（极限存在）判别准则:单调有界准则单调有界准则;柯西准则柯西准则数列极限的归并原理数列极限的归并原理Weierstrass(维尔斯特拉斯维尔斯特拉斯)定理定理第38页/共41页39维尔斯特拉斯维尔斯特拉斯(Weierstrass 1815 1897)德国数学家德国数学家.他的主要贡献是在分他的主要贡献是在分析学方面析学方面.1854年他解决了椭圆积分年他解决了椭圆积分 还建立了椭圆函数的新还建立了椭圆函数的新 结构结构.他在分析学中建立了实数理论他在分析学中建立了实数理论,引进了极限的引进了极限的 定义定义,及性质及性质,还构造了一个处处不可微的连续函数还构造了一个处处不可微的连续函数:的逆转问题的逆转问题,给出了连续函数的严格定义给出了连续函数的严格定义为分析学的算术化作出了重要贡献为分析学的算术化作出了重要贡献.第39页/共41页40柯柯 西西 柯西（Cauchy，Augustin Louis1789-1857），十九世纪前半 世纪的法国数学家。他的特长是在分析学方面，他对微积分给出了严密的基础。他 还证明了复变函数论的主要定理以及在实变数和复变数的情况 下微分方程解的存在定理，这些都是很重要的。他的全集卷，仅次于欧拉，居第二位。柯西是历史上有数的大分析学家之一。幼年时在父亲的教导下学习数学。拉格朗日、拉普拉斯常和他的父亲交往，曾预言柯西日后必成大器。年柯西入理工科大学，年成为那里的教授。年，在拉普拉斯和泊松的鼓励下，柯西出版了分析教程、无穷小计算讲义、无穷小计算在几何中的应用这几部划时代的著作。他给出了分析学一系列基本概念的严格定义。柯西的极限定义至今还在普遍使用，连续、导数、微分、积分、无穷级数的和等概念也建立在较为坚实的基础上。现今所谓的柯西定义或方法是半个世纪后经过维尔斯特拉斯的加工才完成的。柯西时代实数的严格理论还未建立起来，因此极限理论也就不可能完成。柯西在年提出方法（后来又改成），即所谓极限概念的算术化，把整个极限过程用一系列不等式来刻画，使无穷的运算化成一系列不等式的推导。后来维尔斯特拉斯将和联系起来，完成了方法。第40页/共41页41感谢您的欣赏！第41页/共41页
