第二讲的数值计算.ppt

第二讲的数值计算现在学习的是第1页，共56页数值运算的功能创建矩阵矩阵运算多项式运算线性方程组数值统计线性插值函数优化微分方程的数值解现在学习的是第2页，共56页一、命令行的基本操作1.创建矩阵的方法创建矩阵的方法直接输入法规则：矩阵元素必须用 括住 矩阵元素必须用逗号或空格分隔 在 内矩阵的行与行之间必须 用分号分隔现在学习的是第3页，共56页 矩阵元素可以是任何matlab表达式，可以是实数，也可以是复数，复数可用特殊函数I，j 输入 a=1 2 3;4 5 6 x=2 pi/2;sqrt(3)3+5i 矩阵元素现在学习的是第4页，共56页符号的作用逗号和分号的作用 逗号和分号可作为指令间的分隔符，matlab允许多条语句在同一行出现。分号如果出现在指令后，屏幕上将不显示结果。现在学习的是第5页，共56页注意：只要是赋过值的变量，不管是否在屏幕上显示过，都存储在工作空间中，以后可随时显示或调用。变量名尽可能不要重复，否则会覆盖。当一个指令或矩阵太长时，可用续行现在学习的是第6页，共56页冒号的作用 用于生成等间隔的向量，默认间隔为1。用于选出矩阵指定行、列及元素。循环语句现在学习的是第7页，共56页2.用matlab函数创建矩阵空阵 matlab允许输入空阵，当一项操作无结果时，返回空阵。rand 随机矩阵eye 单位矩阵zeros 全部元素都为0的矩阵ones 全部元素都为1的矩阵现在学习的是第8页，共56页 还有伴随矩阵、稀疏矩阵、魔方矩阵、对角矩阵、范德蒙等矩阵的创建，就不一一介绍了。注意：matlab严格区分大小写字母，因此a与A是两个不同的变量。matlab函数名必须小写。现在学习的是第9页，共56页3.矩阵的修改 直接修改 可用键找到所要修改的矩阵，用键移动到要修改的矩阵元素上即可修改。指令修改 可以用A(,)=来修改。现在学习的是第10页，共56页例如例如a=1 2 0;3 0 5;7 8 9a=1 2 0 3 0 5 7 8 9a(3,3)=0a=1 2 0 3 0 5 7 8 0还可以用函数subs修改，matlab6.0还可用find函数修改。现在学习的是第11页，共56页把matlab工作空间中一些有用的数据长久保存下来的方法是生成mat数据文件。save 将工作空间中所有的变量存到matlab.mat文件中。二、数据的保存与获取默认文件名现在学习的是第12页，共56页save data将工作空间中所有的变量存到data.mat文件中。save data a b 将工作空间中a和b变量存到data.mat文件中。下次运行matlab时即可用load指令调用已生成的mat文件。现在学习的是第13页，共56页load load data load data a b mat文件是标准的二进制文件，还可以ASCII码形式保存。即可恢复保存过的所有变量现在学习的是第14页，共56页1.矩阵加、减（,）运算规则：相加、减的两矩阵必须有相同的行和列两矩阵对应元素相加减。允许参与运算的两矩阵之一是标量。标量与矩阵的所有元素分别进行加减操作。三、矩阵运算现在学习的是第15页，共56页2.矩阵乘（）运算规则：A矩阵的列数必须等于B矩阵的行数标量可与任何矩阵相乘。a=1 2 3;4 5 6;7 8 0;b=1;2;3;c=a*bc=14 32 23 现在学习的是第16页，共56页d=-1;0;2;f=pi*df=-3.1416 0 6.2832 矩阵除的运算在线性代数中没有，有矩阵逆的运算，在matlab中有两种矩阵除运算现在学习的是第17页，共56页 a p a 自乘p次幂 方阵方阵1的整数的整数3.矩阵乘方 an,ap,pa对于p的其它值,计算将涉及特征值和特征向量，如果p是矩阵，a是标量ap使用特征值和特征向量自乘到p次幂；如a,p都是矩阵，ap则无意义。现在学习的是第18页，共56页 a=1,2,3;4,5,6;7,8,9;a2 ans=30 36 42 66 81 96 102 126 150当一个方阵有复数特征值或负实特征值时，非整数幂是复数阵。现在学习的是第19页，共56页 a0.5 ans=0.4498+0.7623i 0.5526+0.2068i 0.6555-0.3487i 1.0185+0.0842i 1.2515+0.0228i 1.4844-0.0385i 1.5873-0.5940i 1.9503-0.1611i 2.3134+0.2717i现在学习的是第20页，共56页inv 矩阵求逆det 行列式的值eig 矩阵的特征值diag 对角矩阵 矩阵转置sqrt 矩阵开方4.矩阵的其它运算 现在学习的是第21页，共56页5.矩阵的一些特殊操作矩阵的变维 a=1:12;b=reshape(a,3,4)c=zeros(3,4);c(:)=a(:)矩阵的变向 rot90:旋转;fliplr:上翻;flipud:下翻矩阵的抽取 diag:抽取主对角线;tril:抽取主下三角;triu:抽取主上三角矩阵的扩展现在学习的是第22页，共56页关系运算 关系符号意义=小于小于或等于大于大于或等于等于不等于现在学习的是第23页，共56页 数组运算指元素对元素的算术运算，与通常意义上的由符号表示的线性代数矩阵运算不同1.数组加减(.+,.-)a.+b a.-b5.矩阵的数组运算 对应元素相加减（与矩阵加减对应元素相加减（与矩阵加减等效）等效）现在学习的是第24页，共56页2.数组乘除(，./，.）ab a，b两数组必须有相同的行 和列两数组相应元素相乘。a=1 2 3;4 5 6;7 8 9;b=2 4 6;1 3 5;7 9 10;a.*bans=2 8 18 4 15 30 49 72 90 现在学习的是第25页，共56页a=1 2 3;4 5 6;7 8 9;b=2 4 6;1 3 5;7 9 10;a*bans=25 37 46 55 85 109 85 133 172 现在学习的是第26页，共56页a./b=b.aa.b=b./aa./b=b.a 都是a的元素被b的对应元 素除a.b=b./a 都是a的元素被b的对应元 素除例:a=1 2 3;b=4 5 6;c1=a.b;c2=b./ac1=4.0000 2.5000 2.0000c2=4.0000 2.5000 2.0000 给出a,b对应元素间的商.现在学习的是第27页，共56页3.数组乘方(.)元素对元素的幂例:a=1 2 3;b=4 5 6;z=a.2z=1.00 4.00 9.00z=a.bz=1.00 32.00 729.00现在学习的是第28页，共56页matlab语言把多项式表达成一个行向量，该向量中的元素是按多项式降幂排列的。f(x)=anxn+an-1xn-1+loa0 可用行向量 p=an an-1 a1+a0表示1.poly 产生特征多项式系数向量特征多项式一定是n+1维的特征多项式第一个元素一定是1四、多项式运算 现在学习的是第29页，共56页例:a=1 2 3;4 5 6;7 8 0;p=poly(a)p=1.00 -6.00 -72.00 -27.00 p是多项式p(x)=x3-6x2-72x-27的matlab描述方法，我们可用：p1=poly2str(p,x)函数文件，显示数学多项式的形式p1=x3-6 x2-72 x-27现在学习的是第30页，共56页2.roots 求多项式的根a=1 2 3;4 5 6;7 8 0;p=poly(a)p=1.00 -6.00 -72.00 -27.00r=roots(p)r=12.12 -5.73 显然 r是矩阵a的特征值 -0.39现在学习的是第31页，共56页当然我们可用poly令其返回多项式形式p2=poly(r)p2=1.00 -6.00 -72.00 -27.00matlab规定多项式系数向量用行向量表示，一组根用列向量表示。现在学习的是第32页，共56页3.conv,convs多项式乘运算例:a(x)=x2+2x+3;b(x)=4x2+5x+6;c=(x2+2x+3)(4x2+5x+6)a=1 2 3;b=4 5 6;c=conv(a,b)=conv(1 2 3,4 5 6)c=4.00 13.00 28.00 27.00 18.00p=poly2str(c,x)p=4 x4+13 x3+28 x2+27 x+18现在学习的是第33页，共56页4.deconv多项式除运算a=1 2 3;c=4.00 13.00 28.00 27.00 18.00d=deconv(c,a)d=4.00 5.00 6.00d,r=deconv(c,a)余数余数c除除a后的整数后的整数现在学习的是第34页，共56页5.多项式微分matlab提供了polyder函数多项式的微分。命令格式：polyder(p):求p的微分polyder(a,b):求多项式a,b乘积的微分p,q=polyder(a,b):求多项式a,b商的微分例：a=1 2 3 4 5;poly2str(a,x)ans=x4+2 x3+3 x2+4 x+5b=polyder(a)b=4 6 6 4poly2str(b,x)ans=4 x3+6 x2+6 x+4现在学习的是第35页，共56页五、代数方程组求解matlab中有两种除运算左除和右除。对于方程ax+b，a 为anm矩阵，有三种情况：当n=m时，此方程成为“恰定”方程 当nm时，此方程成为“超定”方程 当nm时，此方程成为“欠定”方程 matlab定义的除运算可以很方便地解上述三种方程现在学习的是第36页，共56页1.恰定方程组的解方程ax+b(a为非奇异)x=a-1 b 矩阵逆两种解:x=inv(a)b 采用求逆运算解方程 x=ab 采用左除运算解方程 现在学习的是第37页，共56页方程ax=ba=1 2;2 3;b=8;13;x=inv(a)*b x=ab x=x=2.00 2.00 3.00 3.00 =a x =b例:x1+2x2=8 2x1+3x2=13现在学习的是第38页，共56页2.超定方程组的解方程 ax=b,mn时此时不存在唯一解。方程解(a a)x=a b x=(a a)-1 a b 求逆法 x=ab matlab用最小二乘法找一 个准确地基本解。现在学习的是第39页，共56页例:x1+2x2=1 2x1+3x2=2 3x1+4x2=3a=1 2;2 3;3 4;b=1;2;3;解1 x=ab 解2 x=inv(aa)a b x=x=1.00 1.00 0 0.00 =a x =b现在学习的是第40页，共56页3.欠定方程组的解 当方程数少于未知量个数时,即不定情况,有无穷多个解存在。matlab可求出两个解：用除法求的解x是具有最多零元素的解是具有最小长度或范数的解，这个解是基于伪逆pinv求得的。现在学习的是第41页，共56页 x1+2x2+3x3=1 2x1+3x2+4x3=2a=1 2 3;2 3 4;b=1;2;x=ab x=pinv(a)b x=x=1.00 0.83 0 0.33 0 -0.17=a x =b现在学习的是第42页，共56页六、微分方程求解微分方程求解的仿真算法有多种，常用的有Euler（欧拉法）、Runge Kutta(龙 格-库塔法。Euler法称一步法，用于一阶微分方程现在学习的是第43页，共56页当给定仿真步长时：所以 yn+1=yn+hf(xn,yn)n=0,1,2 y(x0)=y0现在学习的是第44页，共56页Runge Kutta法龙格-库塔法：实际上取两点斜率的平均 斜率来计算的，其精度高于欧拉算法。龙格-库塔法：ode23 ode45 k1=hf(xn,yn)k2=hf(xn+h,yn+k)现在学习的是第45页，共56页例：x+(x2-1)x+x=0为方便令x1=x，x2=x分别对x1,x2求一阶导数，整理后写成一阶微分方程组形式 x1=x2 x2=x2(1-x12)-x11.建立m文件2.解微分方程现在学习的是第46页，共56页建立m文件function xdot=wf(t,x)xdot=zeros(2,1)xdot(1)=x(2)xdot(2)=x(2)*(1-x(1)2)-x(1)给定区间、初始值;求解微分方程t0=0;tf=20;x0=0 0.25;t,x=ode23(wf,t0,tf,x0)plot(t,x),figure(2),plot(x(:,1),x(:,2)现在学习的是第47页，共56页命令格式:T,Y=ODE23(ODEFUN,TSPAN,Y0)建立m文件function dxdt=wf(t,x)dxdt=x(2);x(2)*(1-x(1)2)-x(1);求解微分方程t,x=ode23(wf,0 30,0 0.25);plot(t,x);figure(2)plot(x(:,1),x(:,2)现在学习的是第48页，共56页现在学习的是第49页，共56页七、函数优化寻优函数：fmin 单变量函数fmins 多变量函数constr 有约束条件无约束条件无约束条件现在学习的是第50页，共56页例1：f(x)=x2+3x+2在-5 5区间的最小值f=fmin(x2+3*x+2,-5,5)例2：f(x)=100(x2-x12)2+(a-x1)2在x1=a,x2=a2处有最小值function f=xun(x,a)f=100*(x(2)-x(1).2).2+(a-x(1).2;x=fmins(xun,0,0,sqrt(2)现在学习的是第51页，共56页八、数据分析与插值函数max 各列最大值各列最大值 mean 各列平均值各列平均值sum 各列求和各列求和std 各列标准差各列标准差var 各列方差各列方差sort 各列递增排序各列递增排序现在学习的是第52页，共56页九、拟合与插值1.多项式拟合x0=0:0.1:1；y0=-.447 1.978 3.11 5.25 5.02 4.66 4.01 4.58 3.45 5.35 9.22;p=polyfit(x0,y0,3)p=56.6915 -87.1174 40.0070 -0.9043xx=0:0.01:1;yy=polyval(p,xx);plot(xx,yy,-b,x0,y0,or)现在学习的是第53页，共56页2.插值插值的定义是对某些集合给定的数据点之间函数的估值方法。当不能很快地求出所需中间点的函数时，插值是一个非常有价值的工具。Matlab提供了一维、二维、三次样条等许多插值选择现在学习的是第54页，共56页table1 table2 intep1 interp2 spline v利用已知点确定未知点v粗糙 精确v集合大的 简化的插值函数插值函数现在学习的是第55页，共56页小 结 本节介绍了matlab语言的数值运算功能，通过学习应该掌握：如何创建矩阵、修改矩阵符号的用法矩阵及数组运算多项式运算线性方程组与微分运算现在学习的是第56页，共56页