自考线性代数第六章实二次型.ppt
自考线性代数第六章实二次型现在学习的是第1页，共50页6.1 实二次型及其标准形实二次型及其标准形现在学习的是第2页，共50页对应 投影投影变换 例例2阶方方阵 对应 以原点以原点为中心逆中心逆时针旋旋转j j 角角的的旋旋转变换 例例2阶方方阵 现在学习的是第3页，共50页解析几何中，二次曲线的一般形式ax2+bxy+cy2=0 通过选择适当的的旋转变换使得 mx 2+ny 2=0 现在学习的是第4页，共50页定义：定义：含有含有 n 个变量个变量 x1,x2,xn 的二次齐次函数的二次齐次函数称为称为二次型二次型现在学习的是第5页，共50页令令 aij=aji，则 2 aij xi xj=aij xi xj+aji xi xj，于是，于是现在学习的是第6页，共50页对称称阵现在学习的是第7页，共50页对称称阵 A 的秩也叫做的秩也叫做二次型二次型 f 的秩的秩线性性变换与矩与矩阵之之间存在着一一存在着一一对应关系关系.对称称阵的的二次型二次型二次型二次型的矩的矩阵现在学习的是第8页，共50页对于二次型，于二次型，寻找可逆的找可逆的线性性变换使二次型只含平方使二次型只含平方项，即，即f =k1 y12+k2 y22+kn yn2 定定义：只含平方只含平方项的二次型称的二次型称为二次型的二次型的标准形准形（或法式）（或法式）.如果如果标准形的系数准形的系数 k1,k2,kn 只在只在1,0,1三个数中取三个数中取值,即即 f =k1 y12+kp yp2 kp+1 yp+12 kr yr2 则上式称上式称为二次型的二次型的规范形范形说明：明：这里只里只讨论实二次型，所求二次型，所求线性性变换也限于也限于实数范数范围.简记为 x=C y，于是于是 f=xTAx =(C y)T A(C y)=yT(CTAC)y现在学习的是第9页，共50页写出二次型对应的对称矩阵A。解：可根据所给的二次型的各个系数直解：可根据所给的二次型的各个系数直接写出对应的对称矩阵接写出对应的对称矩阵例例1现在学习的是第10页，共50页写出由对称矩阵确定的二次型。解：可根据所给的对称矩阵直接写解：可根据所给的对称矩阵直接写出对应的二次型出对应的二次型例例2现在学习的是第11页，共50页【练习练习109】三元二次型的矩阵为（）。A B C DA现在学习的是第12页，共50页【练习练习110】实对称矩阵 所对应的二次型 _现在学习的是第13页，共50页【练习练习111】二次型的矩阵是_。现在学习的是第14页，共50页【练习练习112】二次型的秩是_。2【解解】秩为秩为2 现在学习的是第15页，共50页【练习练习113】实对称矩阵 所对应的二次型是_现在学习的是第16页，共50页【练习练习114】二次型的秩是().A1 B2 C3 D4C【解解】秩为秩为3 现在学习的是第17页，共50页【练习练习115】二次型 =的正惯性指数为 .1【解解】只有只有 的系数是正的。的系数是正的。现在学习的是第18页，共50页定定义：设 A,B 都是都是 n 阶矩矩阵，若有可逆矩若有可逆矩阵 P 满足足P 1AP=B，则称矩称矩阵A 和和 B 相似相似（P.121定定义7）定定义：设 A,B 都是都是 n 阶矩矩阵，若有可逆矩若有可逆矩阵 C 满足足CTAC=B，则称矩称矩阵A 和和 B 合同合同（P.129定定义9）显然，然，BT=(CTAC)T=CTAT(CT)T=CTAC=B即若即若 A 为对称称阵，则 B 也也为对称称阵R(B)=R(A)经过可逆可逆变换后，二次型后，二次型 f 的矩的矩阵由由 A 变为与与 A 合同的矩合同的矩阵CTAC，且二次型的秩不，且二次型的秩不变现在学习的是第19页，共50页若二次型若二次型 f 经过可逆可逆变换 x=C y 变为标准形，即准形，即问题：对于于对称称阵 A，寻找可逆矩找可逆矩阵 C，使，使 CTAC 为对角角阵,（把（把对称称阵合同合同对角化）角化）现在学习的是第20页，共50页定定义：如果如果 n 阶矩矩阵A 满足足 ATA=E，即即 A1=AT，则称矩称矩阵A 为正交矩正交矩阵，简称称正交正交阵定理：定理：设 A 为 n 阶对称称阵，则必有必有正交正交阵 P，使得，使得P 1AP=PTAP=L L，其中其中 L L 是以是以 A 的的 n 个特征个特征值为对角元的角元的对角角阵（不唯一）（不唯一）.（P.124定理定理7）定理：定理：任任给二次型二次型 f(x)=xTAx（其中（其中A=AT），总存在存在正交正交变换 x=P y，使，使 f 化化为标准形准形 f(P y)=l l1 y12+l l2 y22+l ln yn2 其中其中 l l1,l l2,l ln 是是 f 的矩的矩阵 A 的特征的特征值推推论：任任给二次型二次型 f(x)=xTAx（其中（其中A=AT），总存在存在可逆可逆变换 x=C z，使，使 f(Cz)为规范形范形现在学习的是第21页，共50页推推论：任任给二次型二次型 f(x)=xTAx（其中（其中A=AT），总存在存在可逆可逆变换 x=C z，使，使 f(C z)为规范形范形证明：明：f(P y)=l l1 y12+l l2 y22+l ln yn2若若R(A)=r，不妨，不妨设 l l1,l l2,l lr 不等于零，不等于零，l lr+1=l ln=0,令令则 K 可逆，可逆，变换 y=Kz 把把 f(P y)化化为f(PKz)=(PKz)T A(PKz)=zTKTPTAPKz=zTKTKz其中其中现在学习的是第22页，共50页【例例3】求一个正交求一个正交变换 x=P y，把二次型，把二次型f=2x1x2+2x1x3+2x2x3化化为标准形准形【解解】二次型的矩二次型的矩阵根据根据P.125例例12的的结果，有正交果，有正交阵使得使得于是正交于是正交变换 x=P y 把二次型化把二次型化为标准形准形f=2y12+y22+y32现在学习的是第23页，共50页如果要把如果要把 f 化化为规范形，令范形，令 ，即，即可得可得 f 的的规范形：范形：f=z12+z22+z32现在学习的是第24页，共50页 在以下4个矩阵中，哪些是合同矩阵？哪些是不合同矩阵？【例例4】【解解】这这4个方阵的秩都同为个方阵的秩都同为3，因为，因为，A与与C的正惯性指数同为的正惯性指数同为1，所以，所以A与与C合同。合同。B与与D的正惯性指数同为的正惯性指数同为2，所以，所以B与与D合同。但合同。但A与与B不合同，不合同，B与与C不合同。不合同。现在学习的是第25页，共50页【练习练习116】二次型 =经正交变换可化为标准形 .解解:用配方法用配方法现在学习的是第26页，共50页【练习练习117】求正交变换 ，将二次型 化为标准形，并指出 是否为正定二次型 解解:二次型的矩阵二次型的矩阵由由得得 的特征值为的特征值为现在学习的是第27页，共50页对于对于 ，由，由 得特征向量得特征向量对于对于 ，由，由 得特征向量得特征向量现在学习的是第28页，共50页将将 单位化，得单位化，得 令令 ，则，则 为正交矩阵，为正交矩阵，从而经正交变换从而经正交变换 ，将二次型化为标准形，将二次型化为标准形 由于由于 的特征值都大于零，故的特征值都大于零，故 正定正定.现在学习的是第29页，共50页6.2 正定二次型和正定矩阵正定二次型和正定矩阵现在学习的是第30页，共50页1.正定矩阵具有对称矩阵A的二次型如果对于任何 ，都有成立，则称 为正定二次型，矩阵A称为正定矩阵。现在学习的是第31页，共50页2.半正定矩阵具有对称矩阵A的二次型如果对于任何 ，都有成立，则称 为半正定二次型，矩阵A称为半正定矩阵。现在学习的是第32页，共50页3.负定矩阵具有对称矩阵A的二次型如果对于任何 ，都有成立，则称 为负定二次型，矩阵A称为负定矩阵。现在学习的是第33页，共50页4.半负定矩阵具有对称矩阵A的二次型如果对于任何 ，都有成立，则称 为半负定二次型，矩阵A称为半负定矩阵。现在学习的是第34页，共50页5.不定二次型其他的实二次型称为不定二次型，其他的实对称阵称为不定矩阵。现在学习的是第35页，共50页以n=3为例。【例例6】（1）正定二次型：）正定二次型：对应的矩阵对应的矩阵（2）半正定二次型：）半正定二次型：对应的矩阵对应的矩阵（3）负定二次型：）负定二次型：对应的矩阵对应的矩阵现在学习的是第36页，共50页（4）半负定二次型：）半负定二次型：对应的矩阵对应的矩阵（5）不定二次型：）不定二次型：对应的矩阵对应的矩阵现在学习的是第37页，共50页 问是不是正定二次型？【例例7】解：因为它对应的对称矩阵中的对角解：因为它对应的对称矩阵中的对角元素元素 ，所以它不是正定，所以它不是正定二次型。二次型。现在学习的是第38页，共50页定理：n阶实对称矩阵A=（aij）是正定矩阵A的n个顺序主子式Dk0,k=1,2,，n。现在学习的是第39页，共50页判定 是不是正定矩阵。【例例8】解：因为解：因为A的三个顺序主子式：的三个顺序主子式：所以，所以，A是正定矩阵。是正定矩阵。现在学习的是第40页，共50页 问 为何值时，以下三元二次为正定二次型：【例例9】解：它是标准二次型。它是正定解：它是标准二次型。它是正定二次型当且仅当它的所有系数都是二次型当且仅当它的所有系数都是正数，即正数，即得得现在学习的是第41页，共50页 问 为何值时，以下三元二次为正定二次型：【例例10】解：写出对应的对称矩阵解：写出对应的对称矩阵得得现在学习的是第42页，共50页定理：矩阵 为正定矩阵的充分必要条件是 .称为 的顺序 阶主式，即 现在学习的是第43页，共50页【练习练习118】设矩阵设矩阵A=为正定矩阵，则为正定矩阵，则 的取值范围是的取值范围是_ 【解解】现在学习的是第44页，共50页【练习练习119】设矩阵设矩阵A=为正定矩阵，则为正定矩阵，则 的取值范围是的取值范围是_ 【解解】现在学习的是第45页，共50页【练习练习120】已知二次型已知二次型 正定，则数正定，则数k的取值范围为的取值范围为_【解解】现在学习的是第46页，共50页【练习练习121】设设 ，则二次型，则二次型 是（是（）A正定正定 B负定负定C半正定半正定D不定已知二次型不定已知二次型 【解解】B负定。负定。现在学习的是第47页，共50页【练习练习122】设矩阵设矩阵A=，则二次型，则二次型 的规的规范形是范形是_【解解】其中其中 现在学习的是第48页，共50页【练习练习123】二次型二次型 的规范形是（的规范形是（）ABC D【解解】其中其中 D现在学习的是第49页，共50页【练习练习124】设实对称矩阵设实对称矩阵 ，则，则3元二次型元二次型 的规范形为的规范形为（）（）ABC D【解解】D现在学习的是第50页，共50页
