X多元函数极限和连续.pptx

多元函数的极限 z例：（人影长度）C B H D h o y PD=f(x,y)00 xP(x,y)第1页/共24页二、二、二元函数的极限二元函数的极限第2页/共24页第3页/共24页注:(1).二元函数的极限称为二重极限;(2).二重极限存在,是指P(x,y)以任何方式趋于 时,f(x,y)都无限接近于A.故如果P(x,y)沿不同路径趋于 时,f(x,y)趋于不同的值,可断定极限不存在.(3)有二次极限可能没有二重极限，有二重极限也可能没有二次极限，两者关系（P34定理111）第4页/共24页仅知其中一个存在,推不出其它二者存在.二重极限二重极限不同不同.如果它们都存在,则三者相等.例如例如,显然与累次极限二重极限不存在.二次极限不存在第5页/共24页例例1 1 求证 证证多元函数极限的求法 1)两边夹法则：由两边夹法则第6页/共24页例2 证明解：因为x2+y2 2xy,x0,y0,2xy,x0,y0,第7页/共24页2)四则运算，重要极限：例 计算：第8页/共24页解解3）换元法第9页/共24页例例2 2求极限 解解其中第10页/共24页例例3 3解解第11页/共24页4）无穷小量性质例 计算下列极限第12页/共24页5）极限不存在的方法：第13页/共24页例例1 1 证明 不存在 证证故极限不存在第14页/共24页例例2 2 证明 不存在 证证取其值随k的不同而变化，故极限不存在第15页/共24页二、多元函数的连续二、多元函数的连续性性定义定义否则为间断点第16页/共24页多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数一切多元初等函数在其定义区域内是连续的一切多元初等函数在其定义区域内是连续的定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域例如:分别在半平面 x 0；x2+y22；(x,y)(0,0)内连续。第17页/共24页初等函数除 外处处连续.除(0,0)外处处连续.(0,0)点极限不存在间断线函数不连续的点称为间断点。例：指出下列函数间断点第18页/共24页例例 讨论函数在(0,0)处的连续性解解取故函数在(0,0)处连续.第19页/共24页偏导数存在与连续的关系但函数在该点处并不连续.偏导数存在 连续.一元函数中在某点可导 连续，多元函数中在某点偏导数存在 连续，第20页/共24页例二元函数在点(0,0)处不连续、偏导数存在偏导数存在，又当（x，y）沿y=kx趋向于（0，0）时随着k的不同，该极限值也不同，所以极限 不存在，f(x，y)在（0，0）不连续。第21页/共24页不能.例如,解:第22页/共24页闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数，在上的多元连续函数，在D D上至少取得它的最大值和最小值各一次上至少取得它的最大值和最小值各一次 若多元函数若多元函数f f在有界闭区域在有界闭区域D D上连续，而上连续，而M,mM,m为函为函数在数在D D上最大最小值，则上最大最小值，则M M与与m m之间任何值之间任何值都是都是f f的函的函数值数值（1）最大值和最小值定理（2）介值定理第23页/共24页感谢您的观看！第24页/共24页