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第八章 组合变形 （Combined deformation）8-1 组合变形和叠加原理（Combined deformation and superposition method）8-2 拉伸（压缩）与弯曲的组合（Combined axial and flexural loads）8-3 偏心压缩 截面核心(Eccentric loads&the kern（or core）of a section)8-4 扭转与弯曲的组合（Combined torque and flexural loads）第1页/共76页8.1 概述在外力作用下，构件若同时产生两种或两种以上基本变在外力作用下，构件若同时产生两种或两种以上基本变形的情况，称为组合变形。形的情况，称为组合变形。拉弯组合拉弯组合弯扭组合弯扭组合压弯组合压弯组合第2页/共76页拉扭组合拉扭组合第3页/共76页第4页/共76页 叠加原理的成立要求叠加原理的成立要求:内力内力、应力应力、应变应变、变形等与外力之间成线性关系变形等与外力之间成线性关系.8-1 组合变形和叠加原理（Combined deformation and superposition method）1.1.外力简化，将组合变形分解为几个基本变形外力简化，将组合变形分解为几个基本变形:将外力将外力简化并沿主惯性轴分解简化并沿主惯性轴分解,将组合变将组合变形分解为基本变形形分解为基本变形,使使之每个力（或力偶）对应一种基本变形之每个力（或力偶）对应一种基本变形3.3.确定危险截面上的危险点，建立强度条件确定危险截面上的危险点，建立强度条件:分别计算在每一种基本变形下构件的应力分别计算在每一种基本变形下构件的应力,画画出危险截面的应力分布图出危险截面的应力分布图,利用利用叠加原理叠加原理 将基本变形下的应力叠加将基本变形下的应力叠加,确定危险点确定危险点,进而进而建立强度条件建立强度条件.一、处理组合变形的基本步骤一、处理组合变形的基本步骤（Basic method for solving combined deformationBasic method for solving combined deformation）2.2.确定危险截面确定危险截面:求每个外力分量对应的内力方程和内力图求每个外力分量对应的内力方程和内力图,确定危险截面确定危险截面.第5页/共76页=+=+例题：例题：第6页/共76页一、受力特点一、受力特点 （Character of external forceCharacter of external force）杆件将发生拉伸杆件将发生拉伸 （压缩（压缩 ）与弯曲组合变形）与弯曲组合变形 作用在杆件上的外力既有轴向拉作用在杆件上的外力既有轴向拉(压压 )力力,还有横向力还有横向力二、变形特点二、变形特点（Character of deformationCharacter of deformation）8-2 拉伸（或压缩）与弯曲的组合（Combined axial loading and bending）F FF F1 1 产生弯曲变形产生弯曲变形F F2 2 产生拉伸变形产生拉伸变形F Fy yF Fx xF Fy y 产生弯曲变形产生弯曲变形F Fx x 产生拉伸变形产生拉伸变形F F1 1F F2 2F F2 2 示例示例1 1 示例示例2 2第7页/共76页三、确定危险截面三、确定危险截面x xy yOz zMMz zF FNN 横截面上内力横截面上内力 2.2.弯曲弯曲 1.1.拉拉(压压):轴力轴力 F FNN弯矩弯矩 MMz z剪力剪力F Fs s 因为剪力引起的切应力较小因为剪力引起的切应力较小,故一般不考虑故一般不考虑.F FS SF F1 1F F2 2F F2 2第8页/共76页 轴力轴力（axial forceaxial force）所以跨中截面是杆的危险截面所以跨中截面是杆的危险截面F F1 1F F2 2F F2 2l l/2/2l l/2/2 画内力图确定危险截面画内力图确定危险截面 弯矩弯矩（bending momentbending moment）xxFN图M图F2F1l l/4第9页/共76页四、确定危险点四、确定危险点 拉伸正应力拉伸正应力 最大弯曲正应力最大弯曲正应力 杆危险截面杆危险截面 下边缘各点为危险点，其应力为下边缘各点为危险点，其应力为F F1 1F F2 2F F2 2l l/2/2l l/2/2-第10页/共76页 当材料的许用拉应力和许用压应力不相等时当材料的许用拉应力和许用压应力不相等时,应分别建立应分别建立杆件的抗拉和抗压强度条件杆件的抗拉和抗压强度条件.五、强度条件五、强度条件（Strength conditionStrength condition）由于危险点处的应力状态仍为单向应力状态由于危险点处的应力状态仍为单向应力状态,故其强度条件为故其强度条件为:第11页/共76页例题例题1 1 小型压力机的铸铁框架如图所示小型压力机的铸铁框架如图所示.已知材料的许用拉应力已知材料的许用拉应力 t t=30MPa =30MPa,许用压许用压应力应力 c c=160MPa=160MPa.试按立柱的强度确定压力机的许可压力试按立柱的强度确定压力机的许可压力F F.yzz0z15050150150350FF第12页/共76页解：（解：（1 1）截面几何性质的计算）截面几何性质的计算A A=15=15 1010-3-3 mm2 2z z0 0=7.5 cm=7.5 cmI Iy y =5310 cm=5310 cm4 4 计算截面对中性轴计算截面对中性轴 y y 的惯性矩的惯性矩yzz0z15050150150350FF（2 2）外力简化，确定危险截面外力简化，确定危险截面M 由轴力由轴力 F FN N产生的拉伸正应力为产生的拉伸正应力为 由弯矩由弯矩 MMy y产生的最大弯曲正应力为产生的最大弯曲正应力为拉F FFMM每一个截面受力相同都是危险截面每一个截面受力相同都是危险截面（3 3）确定危险点，建立强度条件）确定危险点，建立强度条件第13页/共76页危险点为截面的左右边缘上的点危险点为截面的左右边缘上的点 F F 45.1 kN 45.1 kNyzz0z15050150150350FF拉压 在截面外侧有最大压应力在截面外侧有最大压应力 F F 171.3 kN 171.3 kN F F 45.1 kN 45.1 kN所以取所以取第14页/共76页例题例题2 2 矩形截面柱如图所示矩形截面柱如图所示,F F1 1的作用线与杆轴线重合的作用线与杆轴线重合,F F2 2作用在作用在 y y 轴上轴上.已知已知:F F1 1=F F2 2=80kN,=80kN,b b=24cm,=24cm,h h=30cm.=30cm.如要使柱的如要使柱的 mm-mm 截面只出现压应力截面只出现压应力,求求F F2 2的偏心距的偏心距e e.yzebhF F1 1F F2 2mm第15页/共76页解：解：（1 1）外力简化）外力简化 将力将力 F F2 2 向截面形心简化后向截面形心简化后,梁上的外力有梁上的外力有 轴向压力轴向压力 力偶矩力偶矩yzeb bh hF F1 1mmmmF F2 2MMz z（2 2）mm-mm 横截面上的内力有横截面上的内力有 轴力轴力 弯矩弯矩 轴力产生压应力轴力产生压应力 弯矩产生的最大正应力弯矩产生的最大正应力（3 3）依题的要求）依题的要求,整个截面只有压应力整个截面只有压应力得得 因为只让求因为只让求mmmm截面，也可使用截面法计算横截面，也可使用截面法计算横截面上的内力值。截面上的内力值。第16页/共76页 8-3 偏心压缩 截面核心（Eccentric loads&the kern of a section）1.1.定义定义（DefinitionDefinition）短柱上压力与轴线平行但不重合时短柱上压力与轴线平行但不重合时,即为偏心压缩即为偏心压缩O1yzF一、偏心压缩一、偏心压缩 （Eccentric loadsEccentric loads）A(yF,zF)第17页/共76页x xy yz zF FeF F2.2.以横截面具有两对称轴的等直杆承受偏心压缩以横截面具有两对称轴的等直杆承受偏心压缩 F F 为例为例 （1 1）将外力向截面形心简化）将外力向截面形心简化,使每个力（或力偶）只产生一种基本变形形式使每个力（或力偶）只产生一种基本变形形式O1yzA(yF,zF)FFeFe轴向拉力轴向拉力 F F力偶矩力偶矩 M=F eM=F e，将将 MM向向y y轴和轴和z z轴分解轴分解第18页/共76页F F 使杆发生拉伸变形使杆发生拉伸变形MMy y 使杆发生使杆发生xOzxOz平面内的弯曲变形（平面内的弯曲变形（y y 为中性轴）为中性轴）MMz z 使杆发生使杆发生 xOy xOy 平面内的弯曲变形（平面内的弯曲变形（z z 为中性轴）为中性轴）yzO1FxMMy yMMz z若杆件横截面不存在两个对称轴若杆件横截面不存在两个对称轴,则应该找到则应该找到两个形心主惯性轴两个形心主惯性轴第19页/共76页 二、任意横截面二、任意横截面n n-n n上的内力分析上的内力分析（Analysis of internal Analysis of internal force on any cross section force on any cross section n-nn-n）轴力轴力 F FNN=F FyzMyMzF FNN弯矩弯矩yzO1FxMMy yMMz z第20页/共76页yzMyMzF FNN三、任意横截面三、任意横截面 n n-n n 上上C C 点的应力分析点的应力分析（Stress analysis at point Stress analysis at point C C on cross section on cross section n n-n n）由由 F F产生的正应力产生的正应力由由 MMy y 产生的正应力产生的正应力由由 MMz z 产生的正应力产生的正应力(y,z)C第21页/共76页 由叠加原理由叠加原理,得得 C C点处的正应力为点处的正应力为 式中式中 A A为横截面面积为横截面面积;I Iy y ,I Iz z 分别为横截面对分别为横截面对 y y 轴和轴和 z z 轴的惯性矩轴的惯性矩;（z zF F，y yF F ）为为力力 F F 作用点的坐标作用点的坐标;（z z，y y）为所）为所求应力点的坐标求应力点的坐标.yzMyMzF FNN(y,z)C第22页/共76页上式是一个平面方程上式是一个平面方程.应力平面与横截面的交线（直线应力平面与横截面的交线（直线 =0=0）就是中性轴）就是中性轴.四、中性轴的位置四、中性轴的位置（The location of neutral axisThe location of neutral axis）第23页/共76页令令 y y0 0,z z0 0 代表中性轴上任一点的坐标代表中性轴上任一点的坐标,即得中性轴方程即得中性轴方程讨论讨论（1 1）在偏心拉伸）在偏心拉伸 (压缩压缩)情况下情况下,中性轴是一条不通过截面形心的直线中性轴是一条不通过截面形心的直线Oz中性轴y y第24页/共76页y yz z中性轴OO（2 2）用用 a ay y和和 a az z 记中性轴在记中性轴在 y,zy,z 两轴上的截距两轴上的截距,则有则有(yF ,zF)a aya az（3 3）中性轴与外力作用点分别处于截面形心的相对两侧）中性轴与外力作用点分别处于截面形心的相对两侧第25页/共76页y yOz z中性轴外力作用点y yz z中性轴（4 4）中性轴将横截面上的应力区域分为拉伸区和压缩区中性轴将横截面上的应力区域分为拉伸区和压缩区 横截面上最大拉应力和最大压应力分别为横截面上最大拉应力和最大压应力分别为D D1 1,D D2 2 两切点两切点D D1(y y1,z z1)D D2(y y2,z z2)第26页/共76页(a)(b)(c)yyzz（5 5）对于周边具有棱角的截面）对于周边具有棱角的截面,其危险点必定在截面的棱角处其危险点必定在截面的棱角处,并可根据杆件的变形来并可根据杆件的变形来确定确定F/AF/AyzFyF/WzFzF/Wy 最大拉应力最大拉应力 tmaxtmax 和最大压应力和最大压应力 cmincmin 分分别在截面的棱角别在截面的棱角 D D1 1 D D2 2 处处.无需先确定中性无需先确定中性轴的位置轴的位置,直接观察确定危险点的位置即可直接观察确定危险点的位置即可由于危险点处仍为单向应力状态由于危险点处仍为单向应力状态,因此因此,求得最大正应力后求得最大正应力后,建立的强度条件为建立的强度条件为第27页/共76页y yz z五、截面核心五、截面核心（The kern of a sectionThe kern of a section）中性轴（y yF F，z zF F）为外力作用点的坐标）为外力作用点的坐标a ay y,a az z为中性轴在为中性轴在y y轴和轴和z z轴上的截距轴上的截距(yF,zF)当中性轴与图形相切或远离图形时当中性轴与图形相切或远离图形时,整个图整个图形上将只有压应力形上将只有压应力第28页/共76页y yz z中性轴yz中性轴中性轴y yz z(yF,zF)(yF,zF)(yF,zF)第29页/共76页y yz z截面核心1 1.定义定义（DefinitionDefinition）当外力作用点位于包括截面形心的一个区域内时当外力作用点位于包括截面形心的一个区域内时,就可以保证中性就可以保证中性轴不穿过横截面（整个截面上只有压应力）轴不穿过横截面（整个截面上只有压应力）,这个区域就称为这个区域就称为截面核心截面核心 （the kern of a the kern of a sectionsection）第30页/共76页yz z 当外力作用在截面核心的边界上时当外力作用在截面核心的边界上时,与与此相应的中性轴正好与截面的周边相切此相应的中性轴正好与截面的周边相切.截面核心截面核心的边界就由此关系确定的边界就由此关系确定.中性轴2.2.截面核心的确定截面核心的确定（Determine the kern of a sectionDetermine the kern of a section）(yF,zF)截面核心第31页/共76页例例5 5 求圆形截面的截面核心求圆形截面的截面核心y yz zOdA 解解:（）（）作切线作切线 为中性轴为中性轴 ,在两个形心主惯性轴上的截距分别为在两个形心主惯性轴上的截距分别为 圆截面的惯性半径圆截面的惯性半径1d/8（）由于圆截面对于圆心（）由于圆截面对于圆心OO是对称的是对称的,因而因而,截面核心的边界对于圆也应是对称的截面核心的边界对于圆也应是对称的,从从而可知而可知,截面核心边界是一个以截面核心边界是一个以OO为圆心为圆心,以以d d/8/8为半径的圆为半径的圆第32页/共76页h hbA ABCDyzO解解:作切线作切线 为中性轴，为中性轴，得两截距分别为得两截距分别为 矩形截面的矩形截面的1例例6 6 求矩形截面的截面核心求矩形截面的截面核心第33页/共76页h hb bA ABC CD Dy yz zO1234（2 2）同理）同理,分别作切线分别作切线 、，可求得对应的核心边界上点的坐标可求得对应的核心边界上点的坐标依次为依次为（3 3）矩形截面核心形状分析）矩形截面核心形状分析 直线直线绕顶点绕顶点B B旋转到直线旋转到直线时时,将得到一系列通过将得到一系列通过 B B点但斜率不同的中性轴点但斜率不同的中性轴,而而 B B点坐标点坐标 y yB B ,z zB B 是这一系列中性轴上所共有的是这一系列中性轴上所共有的.第34页/共76页hbABCDyzO2341 这些中性轴方程为这些中性轴方程为上式可以看作是表示外力作用点上式可以看作是表示外力作用点坐标间关系的直线方程坐标间关系的直线方程.故外力作用点移动的轨迹是直线故外力作用点移动的轨迹是直线.第35页/共76页 （a a）对于具有棱角的截面）对于具有棱角的截面,均可按上述方法确定截面核心均可按上述方法确定截面核心 （b b）对于周边有凹进）对于周边有凹进 部分的截面部分的截面,不能取与凹进部分的周边相切的直线作为中性不能取与凹进部分的周边相切的直线作为中性 轴轴,因为这种直线穿过因为这种直线穿过 横截面横截面.（4 4）讨论）讨论 （discussiondiscussion）ABCDEabdzyec第36页/共76页8.4 两相互垂直平面内的弯曲所有外力都作用在同一平面内，但是这一所有外力都作用在同一平面内，但是这一平面不是对称面。平面不是对称面。所有外力都作用在对称面，但不是在同所有外力都作用在对称面，但不是在同一对称面内。一对称面内。梁也会产生弯曲，但不是平面弯曲，这种弯曲称为梁也会产生弯曲，但不是平面弯曲，这种弯曲称为斜弯曲。斜弯曲。第37页/共76页B BA Ay yz zx xFyFzF F试分析如图所示梁的弯曲情况试分析如图所示梁的弯曲情况第38页/共76页1.1.分析方法分析方法 (Analysis method for unsymmetrical bending)(Analysis method for unsymmetrical bending)（2 2）.叠加叠加(Superposition)(Superposition)对两个平面弯曲进行研究，然后将计算结果叠加起来对两个平面弯曲进行研究，然后将计算结果叠加起来FzF Fy yy yz zFB BA Ay yz zx xFyFzF F（1 1）.分解分解(Resolution)(Resolution)将外载沿横截面的两个形心主轴分解，于是得到两个正交的将外载沿横截面的两个形心主轴分解，于是得到两个正交的平面弯曲平面弯曲第39页/共76页 梁在垂直纵向对梁在垂直纵向对称面称面 xyxy 面内发面内发生平面弯曲生平面弯曲 。z z轴为中性轴轴为中性轴yxz挠曲线梁的轴线对称轴垂直纵向对称面第40页/共76页xyz梁的轴线对称轴水平纵向对称面 梁在水平纵向对称面梁在水平纵向对称面 xz xz 平面内平面内弯曲，弯曲，y y 轴为中性轴。轴为中性轴。挠曲线第41页/共76页2.2.梁内任意横截面上的内力分析梁内任意横截面上的内力分析 (Analysis of internal force on any cross section)(Analysis of internal force on any cross section)B BA AFyFzy yz zx xx xMMy y =F Fz z x=Fxx=Fxsinsin (使梁在使梁在xzxz平面内弯曲，平面内弯曲，y y为中性轴为中性轴)MMz z =F Fy y x x=FxFxcoscos (使梁在使梁在 xy xy 平面内弯曲，平面内弯曲，z z 为中性轴为中性轴)mmmmmmzyMyxMz第42页/共76页3 3、横截面上的应力分析、横截面上的应力分析（Stress analysis of cross Stress analysis of cross sections)sections)第43页/共76页3 3、横截面上的应力分析、横截面上的应力分析（Stress analysis of cross Stress analysis of cross sections)sections)mmzyMyxMz1.1.与与 MMy y 相应的正应力为相应的正应力为(The bending normal stress(The bending normal stress corresponding to corresponding to MMy y)2.2.与与 MMz z 相应的正应力为相应的正应力为(The bending normal stress(The bending normal stress corresponding to corresponding to MMz z)C C 点处的正应力点处的正应力(The normal stress at point(The normal stress at point C C)C(y,z)第44页/共76页4 4、横截面上中性轴的位置、横截面上中性轴的位置(Location of neutral(Location of neutral axis on cross section)axis on cross section)中性轴上的正应力为中性轴上的正应力为零零假设假设点点 e(z0,y0)为中性轴上任意一点为中性轴上任意一点zyxMMzOe(z0,y0)中性轴方程为中性轴方程为中性轴是一条通过横截面形心的直线中性轴是一条通过横截面形心的直线(the neutral axis(the neutral axis is a line which cross the centroid of an area)is a line which cross the centroid of an area)中性轴MMy y第45页/共76页中性轴的位置由它与中性轴的位置由它与 y y 轴的夹角轴的夹角 确定确定 zyx中性轴 公式中角度公式中角度 是是横截面上力横截面上力P P矢量与矢量与 y y 轴轴的夹角。的夹角。横截面上合成弯矩横截面上合成弯矩 MM 为为MMMMy y =F Fz z x=Fxx=Fxsinsin MMz z =F Fy y x x=FxFxcoscos MMy yMMz z F F 第46页/共76页yzOM中性轴MMz zMMy yy y5 5、斜弯曲的挠度、斜弯曲的挠度分别求出分别求出 F Fy y 引起的挠度引起的挠度 w wy y 和和 F Fz z 引起的挠度引起的挠度 w wz z方法：叠加原理方法：叠加原理wzwyw总挠度为总挠度为 w w总挠度与轴的夹角为总挠度与轴的夹角为y y第47页/共76页yxyMM中性轴 z yO 讨 论：（1 1）一般情况下，截面的一般情况下，截面的 I Iz z I Iy y ,故中性轴与合成弯矩故中性轴与合成弯矩 MM 所在所在平面不垂直，此为斜弯曲的受力特征。所以挠曲线与外力（合成平面不垂直，此为斜弯曲的受力特征。所以挠曲线与外力（合成弯矩）所在面不共面弯矩）所在面不共面 ,此为斜弯曲的变形特征。此为斜弯曲的变形特征。z第48页/共76页 （2 2）对于圆形、正方形等对于圆形、正方形等 I Iy y=I=Iz z 的截面，有的截面，有 =y y，梁发生，梁发生平面弯曲平面弯曲(plane bending)(plane bending)，正应力可用合成弯矩，正应力可用合成弯矩 M M 按正应力计按正应力计算公式计算。梁的挠曲线一般仍是一条空间曲线，故梁的挠曲算公式计算。梁的挠曲线一般仍是一条空间曲线，故梁的挠曲线方程仍应分别按两垂直面内的弯曲来计算，不能直接用合成线方程仍应分别按两垂直面内的弯曲来计算，不能直接用合成弯矩进行计算。弯矩进行计算。中性轴 z yOMy第49页/共76页对于圆形截面对于圆形截面 因为过形心的任意轴均为截面的对称轴，所以当横截面上同时作用两个弯矩时，因为过形心的任意轴均为截面的对称轴，所以当横截面上同时作用两个弯矩时，可以将弯矩用矢量表示，然后求二者的矢量和。于是，斜弯曲圆截面上的应力计算公式可以将弯矩用矢量表示，然后求二者的矢量和。于是，斜弯曲圆截面上的应力计算公式为：为：注意：斜弯曲任一横截面依然存在中性轴，而且中性轴一定通过横截面的形心，但不垂直于加载方向。第50页/共76页z zy y中性轴6 6、最大正应力分析、最大正应力分析（Analysis of maximum normal stress)Analysis of maximum normal stress)作平行于中性轴的两直线分别与作平行于中性轴的两直线分别与横截面周边相切于横截面周边相切于 D D1 1、D D2 2两点两点，D D1 1 、D D2 2 两点分别为横截面上两点分别为横截面上最大拉应力点和最大压应力点。最大拉应力点和最大压应力点。D2D1O第51页/共76页D1D2zyz zy yOO中性轴中性轴 对于矩形、工字形等有两个相互垂直的对称轴的截面对于矩形、工字形等有两个相互垂直的对称轴的截面，梁横截面的最大正应力发生在截面的棱角处。梁横截面的最大正应力发生在截面的棱角处。可根据梁的变形可根据梁的变形情况，直接确定截面上最大拉、压应力点的位置，无需定出中情况，直接确定截面上最大拉、压应力点的位置，无需定出中性轴。性轴。D2D1OO第52页/共76页 xA B CzyF2=2kNF1=1kN 0.5m 0.5m 4080zyO a da d b b c c例题例题 矩形截面的悬臂梁承受荷载如图所示矩形截面的悬臂梁承受荷载如图所示.试确定危险截面上危险点所在的位置，计试确定危险截面上危险点所在的位置，计算梁内最大正应力的算梁内最大正应力的值值.第53页/共76页解解:（1 1）外力分析外力分析 梁在梁在 F F2 2 的作用下将在的作用下将在 xOzxOz 平面内发生平面内发生平面弯曲平面弯曲 (y y 为中性轴）为中性轴）故此梁的变形为两个相互垂直平面弯曲的组合故此梁的变形为两个相互垂直平面弯曲的组合-斜弯曲斜弯曲 梁在梁在 F F1 1的作用下将在的作用下将在xOyxOy平面内发生平面平面内发生平面弯曲（弯曲（z z为中性轴）为中性轴）xA B CzyF2=2kNF1=1kN 0.5m 0.5m 第54页/共76页（2 2）绘制弯矩图绘制弯矩图绘出绘出 MMz z (x x)图图 绘出绘出 MMy y(x x)图图 A A截面为梁的危险截面截面为梁的危险截面 MMz z =1 kNm=1 kNm MMy y=1 kNm=1 kNm xA B CzyF2=2kNF1=1kN 0.5m 0.5m 1kNmx xMz(x)图1kNmx xMy(x)图MMz z使使A A截面上部受拉，下部受压截面上部受拉，下部受压MMy y使使A A截面前部受拉，后部受压截面前部受拉，后部受压第55页/共76页zyxMyzyxMMzzyx（3 3）应力分析应力分析D D1 1 是最大拉应力点是最大拉应力点D D2 2 是最大压应力点是最大压应力点两点正应力的绝对值相等两点正应力的绝对值相等拉压压拉压D2D1第56页/共76页8040zyzyxMyzyxMMz拉压压拉压第57页/共76页（4 4）中性轴的位置）中性轴的位置80804040zy中性轴第58页/共76页（5 5）绘制总应力分布图）绘制总应力分布图8040zy中性轴D D1D D2 2+-D D1 1=7.02=7.02 D D2 2=-7.02=-7.02拉压第59页/共76页laABCF研究对象研究对象（research objectresearch object）圆截面杆圆截面杆（circular barscircular bars）受力特点受力特点（character of external forcecharacter of external force）杆件同时承受转矩和横向力作用杆件同时承受转矩和横向力作用变形特点变形特点（character of deformationcharacter of deformation）发生扭转和弯曲两种基本变形发生扭转和弯曲两种基本变形8-5 扭转与弯曲的组合（Combined bending and torsion）第60页/共76页一、外力简化一、外力简化 设一直径为设一直径为d d 的等直圆杆的等直圆杆AB,BAB,B端具有与端具有与ABAB成直角的刚臂成直角的刚臂.研究研究ABAB杆的内力杆的内力.将力将力 F F 向向 ABAB 杆右端截面的形心杆右端截面的形心B B简化简化得得 横向力横向力 F F （引起平面弯曲）（引起平面弯曲）力偶矩力偶矩 MM=FaFa （引起扭转）（引起扭转）AB AB 杆为弯曲与扭转组合变形杆为弯曲与扭转组合变形BA AFMxlaABCF F第61页/共76页二、画内力图确定危险截面二、画内力图确定危险截面 固定端固定端A A截面为危险截面截面为危险截面AAFMMFl第62页/共76页A截面 C3C4T C3C4 C2C1三、确定危险点三、确定危险点 危险截面上的危险点为危险截面上的危险点为C C1 1 和和 C C2 2 点点最大扭转切应力最大扭转切应力 发生在截面周边上的各点处发生在截面周边上的各点处.C2C1危险截面上的最大弯曲正应力危险截面上的最大弯曲正应力 发生在发生在C C1 1 、C C2 2 处处 对于许用拉压应力相等的塑性材料制成的杆对于许用拉压应力相等的塑性材料制成的杆,这两点的危险程度是相同的这两点的危险程度是相同的.可取任意点可取任意点C C1 1 来研究来研究.C C1 1 点点处于平面应力状态处于平面应力状态,该点的单元体该点的单元体如图示如图示C C1 第63页/共76页四四、强度分析强度分析（Analysis of strength conditionAnalysis of strength condition）1.1.主应力计算主应力计算 （Calculating principal stressCalculating principal stress）C12.2.相当应力计算相当应力计算（Calculating equal stressCalculating equal stress）第三强度理论第三强度理论,计算相当应力计算相当应力第四强度理论第四强度理论,计算相当应力计算相当应力3.3.强度校核强度校核（Check the strengthCheck the strength）第64页/共76页 该公式适用于图示的平面应力状态该公式适用于图示的平面应力状态.是危险点的正应力是危险点的正应力,是危险点的切应力是危险点的切应力,与与截面形式，所受外力无关。截面形式，所受外力无关。讨 论C C1 该公式适用于弯扭组合变形该公式适用于弯扭组合变形;拉（压）与扭转的组合变形拉（压）与扭转的组合变形;以及拉（压）扭转与弯曲以及拉（压）扭转与弯曲的组合变形的组合变形（1 1）第65页/共76页弯扭组合变形时弯扭组合变形时,相应的相当应力表达式可改写为相应的相当应力表达式可改写为（2 2）对于圆形截面杆有）对于圆形截面杆有C C1 式中式中WW为杆的抗弯截面系数为杆的抗弯截面系数.MM,T T分别为危险截面的弯矩和扭矩分别为危险截面的弯矩和扭矩.以上两式只适用于以上两式只适用于弯扭组合变形下的圆截面杆弯扭组合变形下的圆截面杆.第66页/共76页例题例题3 3 图示一钢制实心圆轴图示一钢制实心圆轴,轴上的齿轮轴上的齿轮C C上作用有铅垂切向力上作用有铅垂切向力 5 kN,5 kN,径向力径向力 1.82 kN;1.82 kN;齿轮齿轮 D D上作用有水平切向力上作用有水平切向力10 kN,10 kN,径向力径向力 3.643.64 kN.kN.齿轮齿轮 C C 的节圆直径的节圆直径 d d1 1=400 mm,=400 mm,齿齿轮轮 D D 的节圆直径的节圆直径d d2 2=200mm.=200mm.设许用应力设许用应力 =100 MPa=100 MPa,试按第四强度理论求轴的直径试按第四强度理论求轴的直径.BACDyz5kN10kN300mm300mm100mmx1.82kN3.64kN第67页/共76页解解:（1 1）外力的简化）外力的简化将每个齿轮上的外力向该轴的将每个齿轮上的外力向该轴的截面形心简化截面形心简化BACDyz5kN10kN300mm300mm100mmx1.82kN3.64kNxyzACBD5kN1kNm1.82kN3.64kN10kN1kNm 1 kN 1 kN mm使轴产生扭转使轴产生扭转 5kN 5kN,3.64kN3.64kN 使轴在使轴在 xzxz 纵对纵对称面内产生弯曲称面内产生弯曲 1.82kN,10kN 1.82kN,10kN 使轴在使轴在 xy xy 纵纵对称面内产生弯曲对称面内产生弯曲 第68页/共76页T T=1kNm=1kNm由于通过圆轴轴线的任一平面都是纵由于通过圆轴轴线的任一平面都是纵向对称平面向对称平面,故合成弯矩仍然在纵向对称故合成弯矩仍然在纵向对称面内，仍可应用第五章推导的弯曲正应力面内，仍可应用第五章推导的弯曲正应力公式计算正应力。公式计算正应力。xyzACBD5kN1kNm1.82kN3.64kN10kN1kNm（2 2）确定危险截面）确定危险截面C-1T 图My图0.57CB0.36Mz图0.2271CBxzxz和和xyxy两平面内弯矩可用勾股定理两平面内弯矩可用勾股定理合成一个合成弯矩合成一个合成弯矩第69页/共76页 B B 截面是危险截面截面是危险截面 B B和和C C截截面的总弯矩为面的总弯矩为1CT 图-My图0.57CB0.36Mz图0.2271CB第70页/共76页（3 3）由强度条件求轴的直径）由强度条件求轴的直径轴需要的直径为轴需要的直径为第71页/共76页例题例题4 4 F F1 1=0.5kN,=0.5kN,F F2 2=1kN,=1kN,=160MPa.=160MPa.（1 1）用第三强度理论计算）用第三强度理论计算 AB AB 的直径的直径（2 2）若）若ABAB杆的直径杆的直径 d d=40mm,=40mm,并在并在B B端加一水平力端加一水平力 F F3 3=20kN,=20kN,校核校核ABAB杆的强度杆的强度.F F1 1F F2 2A AB BC CD D400400400400400第72页/共76页F F1 1F F2 2A AB BC C400400MMe e解解:（1 1）外力简化）外力简化 AB AB为弯扭组合变形为弯扭组合变形F F1 1F F2 2A AB BC CD D400400400400400（2 2）确定固定端截面是危险截面）确定固定端截面是危险截面（3 3）建立强度条件）建立强度条件第73页/共76页F F3 3 AB AB 为弯为弯,扭与拉伸组合变形扭与拉伸组合变形 固定端截面是危险截面固定端截面是危险截面（2 2）在在 B B 端加拉力端加拉力 F F3 3F F3 3F F1 1F F2 2A AB BC C400400MMe eF F1 1F F2 2A AB BC CD D400400400400400固定端截面最大的正应力为固定端截面最大的正应力为最大切应力为最大切应力为由第三强度理论由第三强度理论第74页/共76页第75页/共76页感谢您的观看！第76页/共76页