常微分方程数值解欧拉方法.pptx

引子人口模型（看书上）人口理论一阶常微分方程的初值问题数值解：离散点上的近似值第1页/共22页一阶线性常微分方程初值问题 数值方法的基本思想 在解的存在区间上取n+1个节点 利用数值计算方法寻求y(x)在节点上的近似值：y0,y1,.yn连续 离散 第2页/共22页一阶线性常微分方程初值问题 x0 x1x2xixi+1xn6.1 欧拉方法与Runge-Kutta法一、欧拉(Euler)方法xn=x0+nh，h为步长第3页/共22页一.欧拉方法差分和差商用差商代替导数用差商代替导数,将微分方程离散化将微分方程离散化,得到递推公得到递推公式式1.差分方法第4页/共22页几何意义：用折线近似曲线y=y(x),欧拉法又称为折线法已知初值y0,依据递推公式逐步算出y1,y2,yn,yn+1,递推公式又称为差分格式或差分方程，它与常微方程的误差称为截断误差第5页/共22页2.数值积分方法（也可导出欧拉公式）第6页/共22页（1）显式差分格式（单步）显式格式左矩形公式第7页/共22页（2）隐式差分格式由右矩形公式由右矩形公式想求（近似的）想求（近似的）yy，但等式的等号左右都有：隐式，但等式的等号左右都有：隐式如如第8页/共22页还有一种隐式：积分用梯形公式也是隐式第9页/共22页思索显式的欧拉公式，好用，粗糙隐式的梯形公式，通常具有较好的数值稳定性，每次计算得求解方程组合之？组合：预报-校正第10页/共22页预测-校正公式也叫预报-校正公式改进的欧拉公式第11页/共22页例6.1 欧拉公式求解f(0,0)的处理（也可以理解为一种近似）表6-1图6-1本身有解析解，可与数值解比较第12页/共22页二、欧拉方法的局部截断误差与精度前提：一个假设（重要！即所谓的局部）一阶精度，看书上泰勒公式：泰勒公式：第13页/共22页关于精度:常微分方程数值方法理论中同阶无穷小精度：p阶第14页/共22页类似地，梯形公式/改进的欧拉公式-局部截断误差有二阶精度参考第5章5.1节P66页第15页/共22页第16页/共22页三、几种差分格式的数值稳定性比较例6.2 三种方法的比较注意：取最大误差（有多个点，有多个误差）有精确解，一起比较看教材第17页/共22页例 用欧拉法求初值问题 补例子：欧拉(Euler)方法当h=0.02时在区间0,0.10上的数值解 第18页/共22页欧拉(Euler)方法nxnyny(xn)n=y(xn)-yn001.00001.0000010.020.98200.98250.000520.040.96500.96600.000530.060.94890.95030.001440.080.93360.93540.001850.100.91920.9230.0021第19页/共22页再补例子：例 在区间0,1.5上，取h=0.1。（1）用欧拉法计算公式如下：（2）用改进欧拉法计算公式如下：第20页/共22页计算要点步长区间改进欧拉法（两步走）前提：欧拉法、梯形法第21页/共22页感谢您的观看！第22页/共22页